- •«Санкт-петербургский государственный университет технологии и дизайна»
- •Тема 1.
- •Тема 2.
- •Тема 3.
- •Тема 4. Основные теоремы теории вероятностей
- •Тема 5.
- •Тема 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Тема 8. Нормальный закон распределения
- •Тема 9. Уравнение регрессии.
- •X-Coordinates
- •Variance
- •Intercept
Тема 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей конечное число возможных значений, равно
, (1).
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей бесконечное число возможных значений, равно
, (2).
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
В формулах (1) и (2): - возможные значения случайной величины,- вероятности того, что случайная величинапримет эти значения.
Свойства математического ожидания:
1. (3).
Где - постоянная величина.
2. , (4).
Где =const.
3. (5).
Где и- две любые случайные величины.
4. , (6).
Где и- две независимые случайные величины.
Дисперсия случайной величины определяется равенством
, (7)
Или равносильным ему равенством
(8).
Дисперсию дискретной случайной величины, имеющей конечное число возможных значений, можно вычислять по формуле
, (9).
Соответствующей формуле (7), или по формуле
, (10),
соответствующей формуле (8).
Свойства дисперсии:
(11)
(12)
; (13), гдеи- две независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно
(14).
Задача образец
Дискретная случайная величина задана рядом распределения
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Ответ: ;;
определяем
количество переменных, для того
чтобы
сделать 1..3 надо нажать ":"
для
того, чтобы получить xi
надо
нажать "[",
и
для того, чтобы вставить данные в столбец
надо нажимать
",".
Задача № 2
В результате обработки данных многолетних наблюдений получены распределения случайных величин ичисла хозяйств в каждом из двух районов области, которых урожайность зерновых культур может превысить 35 ц/га.
Для первого района области:
.
Для второго района области:
.
Найти математическое ожидание и дисперсиюслучайной величиныдвумя способами:
А) исходя из закона распределения ;
Б) используя свойства математического ожидания и дисперсию, отраженные формулами (5) и (13).
Убедиться в том, что в условиях данной задачи эти свойства независимых случайных величин выполняются.
Ответ: ;.
Указание: надо найти все возможные значения случайной величины и вероятностиэтих значений. Для этого надо учесть следующее, что суммой (разностью или произведением) случайных величининазывается случайная величина , которая принимает все возможные значения вида(или), гдес вероятностямитого, что случайная величинапримет значение, а- значение:
.
Если случайные величины инезависимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий
.
Для конкретного примера:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Для расчета вероятностей удобно составить следующую таблицу:
Получим следующий ряд распределения
Далее необходимо рассчитать и, а такжеи убедиться , что справедливы свойства математического ожидания и дисперсии.
Задача № 3.
Найти математическое ожидание случайной величины , если известны математические ожидания,.
Ответ: 31.
Задача № 4.
Доказать, что .
Задача № 5.
Доказать, что для независимых случайных величин исправедливо равенство:.
Задача № 6.
Случайные величины и. Известны дисперсии этих величин:. Найти дисперсию случайной величины.
Ответ: 29.
Задача № 7.
На птицефабрике три терморегулятора работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы в течении смены первого терморегулятора равна 0,6. для второго и третьего эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. найти закон распределения случайной величины - числа терморегуляторов, бесперебойно работающих в течение смены. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины.
Ответ:
.
Указание. Рассмотреть события:
- в течение смены будут бесперебойно работать соответственно первый, второй, третий терморегуляторы.
- в течение смены не будут бесперебойно работать соответственно первый, второй, третий терморегуляторы.
- будут сбои в работе трех терморегуляторов;
- бесперебойно будет работать один терморегулятор;
- бесперебойно будут работать два терморегулятора;
- бесперебойно будут работать три терморегулятора.