ЗФ_ОАиП / ЭУМК_ОАиП__PDF / pract1

i

x

3xi 1

;

к 14;

x 3,6;

x

2

1,7

1)

i 2

4 xi 2

1

S

x

x3

x5

...; x 0,76;

10 5

2)

3!

5!

7!

ВАРИАНТ № 8

i

4xi 1

5xi 2

;

к 16;

x 6,9;

x

2

4,5

1)

3 xi 1

1

S

x

x3

x5

...;

x 0,74;

10 5

2)

3 !

5 !

7 !

ВАРИАНТ № 9

	i					xi 1					;		к		15;			x1 2,8;	x2	3, 9
1)				2xi 2					xi 1
	S		1			x				x2				x3			...;	x 0,12;		10 4
2)											4
			1				3			2			3			5

ВАРИАНТ № 10

	i	xi 1			2xi 1				;		к	17; x1			0,9;	x2 1, 1
1)				3		xi 2
	S	1	x2				x4					x6		...;	x 0,09;	10 6
2)			2				4 6
				4						6			8

ВАРИАНТ № 11

1)

i

xi2 1

2xi

2 ;

к 8;

x1

1,3;

x2

1,4

S

x

x3

x5

x7

...;

x

0,14;

10 5

2)

2 !

4 !

6 !

8 !

ВАРИАНТ № 12

1)		i	x2	3x	;	к 9;	x 0,9;	x 0,4
			i 2	i 1			1	2

S

x 2

x 4

x

6

...;

x 0,87;

10 6

3 !

5 !

7

!

2)

ВАРИАНТ № 13

1)

i

x3

x

;

к

7;

x

0,85 ;

x

0,87

i 2

i 1

1

2

S

1

x

x 2

x

3

...;

x

0,16;

10 5

2)

2 !

3 !

4

!

ВАРИАНТ № 14

1)	i	xi3 1		xi2 2		;	к 11;			x1	0,12; x2	0,12
				x3		x4		x6				10 4
	S	1								...;	x 0,33;
2)						3 4		5 6
		1		2

ВАРИАНТ № 15

1)

i

xi2 1

xi 1

2xi 2 ;

к 12;

x1

0,2;

x2 0,1

S

x 2

x 4

x6

...;

x 0,25;

10 5

2)

1 !

3 !

5 !

ВАРИАНТ № 16

1)

i

2xi2 1

3xi2 2 ;

к 10;

x1

0,17;

x2 0,09

S

x

x2

x3

...;

x

0,08 ;

10 4

2)

1

3

2

4

3 5

ВАРИАНТ № 17

i

xi 1

1

;

к

13;

x1

2 ;

x2

0,5

1)

xi 2

S

x3

x 4

x5

...;

x 0,4;

10 3

2)

1 !

2 !

3 !

ВАРИАНТ № 18

x

i 2

x 2

к 7;

1, 2;

1,3

i

i 1

;

x

x

2

1)

3 xi 1

1

S

x3

x4

x5

...;

x

0,6;

10 5

2)

2 !

3 !

4 !

ВАРИАНТ № 19

xi 1

2

;

к

9;

x

0,1;

x

0,2

i

2

1)

2

xi 2

1

S

x3

x4

x5

...;

x

0,55;

10 4

2)

1 2

2

3

3

4

ВАРИАНТ № 20

1)

i

xi 2

xi 1 2 ;

к

8;

x1

0,2;

x2

0,1

S

1

x2

x4

x6

...;

x 0,14;

10 3

2)

3

4

5

6

7

8

ВАРИАНТ № 21

1

x 2

10;

0,3;

0,4

i 1

;

к

x1

x2

1)

3

xi 2

S

x

x3

x5

x7

...;

x 0,23;

10 4

2)

2!

3!

4!

5!

ВАРИАНТ № 22

i

x2

xi 2

;

к 11;

x

0,12;

x

1,2

1)

i 1

xi 1

1

2

S

x

x2

x3

x4

...;

x

0,19;

10 5

2)

2 4

4 6

5

3 5

7

ВАРИАНТ № 23

i

1

;

к

12;

x1

2 ;

x2

3,1

1)

xi2 1

xi 2

S

x2

x3

x4

x5

...; x

0,18;

10 4

2)

1 3

2 4

3

5

4

6

ВАРИАНТ № 24

i

1

xi 2 3;

к

13;

x1

0,7;

x2

2,2

1)

xi2 1

S

x

x2

x3

...;

x 0,32;

10 5

2)

3!

4!

5!

ВАРИАНТ № 25

1

xi 2

1

;

к

14;

x1

0,6;

x2

2,3

1)

xi2 1 4

S

x

x2

x3

x4

...;

x

0,27;

10 4

2)

4!

5!

6!

7!

ВАРИАНТ № 26

i

3 xi 1

;

к

10;

x1 0,5;

x2

1,4

1)

xi2 2

4xi 1

S

x2

x3

x4

...;

x 0,18;

10 5

2)

1 4

2

5

3

6

ВАРИАНТ № 27

1)

i

5 x2i 2

xi 2 ;

k

11;

x1

2,1;

x2

1,6

S

x

x2

x

x4

...;

x 0,25;

10 6

2)

1 4

2 5

3

6

4

7

ВАРИАНТ № 28

1)

i

(xi 1

xi 2

3)2;

k

9;

x1 0,1;

x2 3,2

S

1

x2

x4

x6

...;

x 0,16;

10 4

2)

3!

5!

7!

ВАРИАНТ № 29

1)

i

(2xi 1

3xi 2 )2 ;

k

8;

x1

0,7;

x2 0,8

S

x

x3

x5

...;

x

0,32;

10 5

2)

6 7

2

3

10 11

ВАРИАНТ № 30

i

1

;

k 12;

x1

1,09;

x2

1,08

1)

2

x

i 1

x2i 2

x2

x4

x6

10 4

S

1

...;

x 0,19;

2)

4

6

8

10

12

14

Задача 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД

с использованием рекуррентных вычислений

Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции,

заданной с помощью ряда Тейлора, на интервале от xначдо xкон с шагом dx с точностью .

Таблицу снабдить заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента, значение функции, вычисленной по формуле, значение функции, разложенной в ряд Тейлора, количество просуммированных членов ряда.

Указание. При вычислении суммы ряда использовать рекуррентные вычисления.

x 1

1

1

ln

2

2

x 1

(2n 1)x

2n 1

1.

n 0

x

x

n

x

2

x

3

x

4

ex

1 x

2.

n 0

n!

2!

3!

4!

( 1)

n

x

n

x

2

x

3

e x

1 x

3.

n 0

n!

2!

3!

	1			1
						...
	3x	3		5x	5

...

x4 ...

4!

x1

									( 1)								n	x		n 1																	x				2										x			3										x		4
	ln (x 1)																									x																																											...																				1 x 1
4.												n 1																																																				4
							n 0																															2														3
		1 x							x2n 1																											x3													x5
	ln	1 x		2					2n 1														2 x													3													5										...																																x			1
5.							n 0
												x		n																	x			2										x			4
	ln 1 x																	x																																		...
																																																																																								1 x 1
6.												n																				2												4
							n 1
																					( 1)							n 1				x			2n 1																																x		3								x			5
	arcctg				x																																																			x																												...							x					1
																									2n 1
7.									2						n 0																																					2														3 5
																					( 1)							n 1
8.	arctg		x																																																				1									1											1										...						x 1
																(2n 1)x														2n 1																																						3								5x					5
							2		n 0																																					2 x 3x
									( 1)							n		x		2n 1																				x		3									x				5							x		7
	arctg		x																								x																																								...																							x			1
									(2n
9.							n 0													1)																		3														5									7
												x			2n 1																		x			3										x		5									x			7
		Arth			x																		x																																														...																					x			1
												2n 1
10.							n 0																											3										5													7
																							1																									1													1														1
		Arth			x																																																																																...						x					1
11.																					1)x								2n 1																				x												3																		5
							n 0 (2n																																																					3x														5x
																																	( 1)											n 1																																					1						1								1
		arctg				x																																																																																											...	x 1
12.										2																		(2n 1)x																					2n 1																				2												x							3							5
																					n 0																																																																	3x							5x
									( 1)							n		x		2n																																			x		4									x		6											x			8
		e x2																								1							x2																																																				...							x
13.														n!																																									2!											3!													4!
							n 0
										( 1)									n		x		2n																					x			2											x			4								x				6
		cos	x																														1																																												...											x
14.															(2n)!																													2!																									6!
							n 0																																																				4!
		sin	x								( 1)								n		x		2n																					x			2												x		4									x			6
																																	1																																												...											x
15.		x								(2n 1)!																																		3!															5!										7!
							n 0

16.

						(x 1)2n 1																													x 1													(x 1)3																					(x 1)5
ln x 2																															2																																																		...										x	0
																			2n 1																																									3																		5
		(2n				1) (x										1)																																3(x 1)																				5(x					1)
	n 0																																		x 1
17.
									( 1)				n	(x						1)				n													1) 1											(x 1)									2										(x			1)				3
ln x																													(x																																																	...)									0				x			2
																																																				2																		3
				n 0								n 1
			x 1															(x 1)n 1																						x 1												(x 1)											2							(x 1)3																								1
																																																																																			...								x
18.					x											(n 1)													x		n				1								x												2x					2											3x				3																			2
												n 0
19.
						1 3 ... (2n 1) x																					2n 1															x		3					1 3 x								5						1 3							5 x			7							1 3					5		7 x			9
arcsin x x																																						x																																																					...					x	1
						2 4 ... 2n (2n 1)																																		2 3										2 4 5															2 4 6 7
		n 1																																																																															2 4 6 8 9
																																							1 3 ... (2n 1) x2n 1
										arccos x														2			x														2 4 ... 2n (2n 1)
20.																																						n 1
																									x3									1 3 x5											1 3 5 x7																			1 3 5 7 x9
																x																																																																		...						x	1
												2												2		3									2 4 5											2 4 6 8																			2 4 6 8 9
		sin					x					x						x3											x5									... ( 1)n 1																							x2n 1									...														x
21.																3!													5!																											(2n								1)!
22.
(1 x)m							1 mx														m(m 1)																	x2		...							m(m 1)...(m n 1)																																				xn			...						x		1
					1																						2!																																						n!
													xn									1							x								x2						... xn																...												x				1
23.		1					x
													n 0
		ln			3		1					2x								x								1			x2						x3									5				x4				...															x					1
24.							1 x																				2																			4																												2
					1																								2n 1 !!
													1																													x2n												x	1
25.			1 x2																			n 1									(2n)!!
																							ln			2			2 (x									3)				n
		2x 8 8																																																	x
26.																																	n!
																		n 1
			ex			1							1							x				...														x4 1					...													x
27.						x													2 !																			n!

					( 1)n x2n 1
	(x tg x) cos x						x
				(2n	1)! (2n 1)
	28.		n 1

Задача 4 Составить программу вычисления значений функций на заданном

отрезке с точностью e=10-6, воспользовавшись формулами разложения элементарных функций в ряд Тейлора (использовать рекуррентные вычисления)

1.

y ex

1;

x [ 4.2;61.];

h 0.2

2.

y x sin x ;

x [0;6.3];

h 0.5

3.

y sin

1

;

x [0.0210;];

h 0.2

x

4.

y sin 2 x ;

x [0;2 ];

h 01.

5.

y x cos x ;

x [0.05;3];

h 0.05

6.

y sin x sin 2 x ;

x [0;2 ];

h 0.05

7.

y

sin 2 x

;

x [0;2 ];

h 01.

2

y cos2 x ;

3

3

8.

x

;

;

h 0.2

2

2

9.	y sin x sin 2x ;				x [ 11;];	h 0.2
10.	y 4 sin 2x 3x ;				x [0;2 ]	h 0.05
11.	y	sin x		x [ 314.;314.];		h 0.0628
			;
		1 x 2
12.	y 2(x sin x ) ;				x [ 314.;314.];		h 01.

13.y

14.y

3

5

sin

; x

;

;

h 01256.

x

2

2

3x cos x

;

x [ ; ];

h 01.

x 2

1

Формулы разложений в ряд Тейлора:

e x		1			x			x	2					x		3			...
				1!				2!						3!
ln(1 x ) x										x 2							x 3						x 4				...
												2							3				4
ln(1 x ) x												x 2							x	3				x	4			...
												2							3				4
1			1		x			x 2 x 3 ...
1 x

1 1 2x 3x 2 4x 3 (1 x )2

1						1								2 3									x					3 4									x 2			4 5
	(1 x )3
																	2														2										2
1					1 x 2													x 4								x 6								x 8 ...
1 x 2
											1				x									1															1 3
	1 x 1																												x 2															x
										2														2 4															4		6
																																				2
cos x 1								x		2										x				4				x 6						...
								2!												4!								6!
sin x x									x 3												x			5					x 7						...
								3!												5!								7!
ex 1 x											x 2												x		3						x 4						...
										2!														3!							4!
chx			1				x 2												x 4								x	6				...
							2!										4!										6!
																			(x 1)2																(x 1)3
ln x (x 1)
																								2												3

5x 4 ...

x3 ...

3 1 3 5 x 4

2 4 6 8

(x 1)4 ...

4

Задача 6

Дано действительное число х (0<x<=1). Вычислить сумму ряда с точностью =10-6 и указать количество слагаемых. Считать, что

требуемая точность достигнута, если очередное слагаемое по модулю меньше :

2.1.1.

( 1)k x 2 k 1

k!(2 k 1)

k 1

( 1)

k

x

4 k 1

2.1.2.

(4 k 1) (2 k)!

k 1

( 1)k

x

4 k

2.1.3.

(2 k)!

k 1

3

( 1)k x2 k

2.1.4.

2

k

k!

k 1

(x)2 k 1

2.1.5.(2 k 1)!

	k 1
		( 1)k x k (k 1)
2.1.6.
		(2 k 1)! 3	k
	k 1

( 1)k x4 k 3

2. 4.7.

(4

k 3) (2 k 1)!

k 1

( 1)k

x

2 k 1

2.4.8.

k 1 k!(k 1)!

2

( 1)k 1 x2 k 1

2.4.9.

(2

k 1) (2 k 1)!

k 1

( 1)k

x

2 (k 1)

2.4.10.

((k 1)!)

2

k 1

2

( 1)

k

x

k 2

2.4.11.

(k 2)!(k 1)

k 1

( 1)

k

x

2 k n

2.4.12.

(k n)!k!

k 1

Задача 7

Дано натуральное n. Вычислить сумму ряда двумя способами – организовав вычисления суммы слева направо и справа налево. Сравнить и объяснить полученные результаты.

	n				1
2.1.7.									.
				k (k 1) ... k				2
	k 1
	n			1
2.1.8.						.
				2
	k 1			(k	)!
	n			(2 k)! x k
2.1.9.							.
				(k 2 )!
	k 1

	n
2.5.7.	1 k k .
	k 1
			n
2.5.8.		( 1)k (2 k 2 1)!.
		k 1
	n		( 1)k xk
2.5.9.				.
			(k! 1)!
	k 1

n

n

n

2.1.10.

k k 1

x2 k .

2.5.10.

(x k) / m .

k 1

k 1 m k

k

n

sin( k m)

n

k 1

2.1.11.

m 1

.

2.5.11.

(1

x)

1

.

k!

k

k 1

k 1

k

n

1/ 2 1/ 3 ... 1/(k 1)

n

1/ 2 1/ 3 ... 1/(k 1)

2.1.12.

.

2.5.12.

.

k

k

(k! 2)!

k 1

k 1

Задача 8

Выполнить следующие задания без хранения последовательностей значений

1.Даны натуральное число n и целые числа а1,...,an . Вычислить а1 + а2 2+ ... + ann

2.Вводятся целые числа x1 ,x2 ,...,xn.

Вычислить величину N x1 (x2 x3 ) (x4 x5 x6 ) (x7 x8 x9 x10 ) ...

3.Даны а1,...,an .

Вычислить b1 +...+ bm ,
где b1	=а1 + а2 + ... +an; b2 = а12
.
4.	Даны натуральные числа

Вычислить

+ а2 2+ ... + an2 ; bm = а1 m+ а2 m+ ... + anm m,n и действительные числа а1,...,anm.

a1 a2 ...

am am 1 am 2 ...

a2 m ...

a(n 1) (m 1) a(n 1) (m 2) ...

an m

5.Дано n вещественных чисел (n заранее не известно. Найти порядковый номер того из них, которое наиболее близко к какому-либо целому.

6.Дано n вещественных чисел (n – заранее не известно). Определить, сколько из них больше своих соседей, т.е. предыдущего и последующего.