- •3.5. Магнитостатика
- •3.5.1. Природа магнитного поля
- •3.5.2. Свойства магнитного поля. Закон Био-Савара
- •3.5.3. Силы в магнитном поле
- •А. Сила Лоренца
- •Б. Сила Ампера
- •В. Силы, действующие на замкнутый контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент тока
- •3.5.4. Магнитное поле в веществе. Магнетики
- •3.5.5. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля. Поле соленоида
- •3.5.6. Электромагнитная индукция
- •3.5.7. Энергия магнитного поля
- •3.6. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.
- •3.6.1. Ток смещения. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля
- •3.6.2. Уравнения Максвелла.
- •IV. Колебания и волны
- •4.1. Механические колебания
- •4.1.1. Гармонические колебания. Осциллятор
- •4.1.2. Сложение колебаний
- •4.2. Электрические колебания
- •4.2.1. Свободные колебания в электрическом контуре
- •4.2.2. Вынужденные колебания. Резонанс
- •4.2.3. Переменный электрический ток
- •4.3. Волновое движение
- •4.3.1. Связанные гармонические осцилляторы. Упругие волны
- •4.3.2. Свойства бегущих волн
- •4.3.3. Энергия, переносимая волной. Стоячие волны
- •4.4. Генерация электромагнитных волн
- •4.4.1. Электромагнитные волны и уравнения Максвелла. Скорость распространения электромагнитных волн
- •4.4.2. Свет как электромагнитная волна. Шкала электромагнитных волн
- •4.4.3. Энергия электромагнитной волны.
- •4.4.4. Импульс электромагнитного поля
- •4.4.6. Заключение
- •Контрольная работа 4.
- •4.5. Равновесное электромагнитное излучение
- •4.5.1. Абсолютно черное тело
- •4.5.2. Классическое рассмотрение излучения черного тела. Ультрафиолетовая катастрофа
- •Глава 5.ОПТИКА.
- •5.1. Геометрическая оптика
- •5.1.1. Принцип Ферма
- •5.2. Волновая оптика
- •5.2.1. Опыт Юнга. Интерференция волн. Принцип Гюйгенса.
- •5.2.2. Метод графического сложения амплитуд. Дифракция от простейших преград.
- •5.2.3. Дифракционная решетка. Дифракция рентгеновских лучей
- •5.3. Физическая оптика
- •5.3.1. Поляризация света
- •5.3.2. Дисперсия света
- •Глава 6. ФОТОНЫ.
- •6.1. Коротковолновая граница рентгеновского спектра
- •6.2. Внешний фотоэффект
- •6.3. Эффект Комптона
- •Контрольная работа №5
- •7.1. Строение атома
- •7.1.1 Планетарная модель
- •7.1.2. Атомные спектры
- •7.1.3 Постулаты Бора
- •7.1.4. Упругие и неупругие столкновения
- •7.1.5. Опыты Франка и Герца
- •7.2. Волновые свойства микрочастиц
- •7.2.1. Гипотеза де Бройля
- •7.2.2. Свойства микрочастиц
- •7.2.3. Соотношение неопределенностей
- •7.2.4. Волна де Бройля.
- •7.3. Уравнение Шредингера.
- •7.3.1. Волновые функции
- •7.3.2. Уравнение Шрёдингера
- •7.3.3 Прохождение частиц через потенциальный барьер
- •7.3.4. Квантование энергии
- •7.3.5. Собственные значения физических величин
- •7.3.6. Квантование момента импульса
- •7.3.7. Гармонический осциллятор
- •7.3.8. Атом водорода
- •Глава 8. АТОМНОЕ ЯДРО
- •8.1. Ядерные силы
- •8.2. Некоторые свойства ядер
- •8.3. Энергия связи ядра
- •8.4. Радиоактивность
- •8.5. Постоянная распада
- •8.6. Период полураспада
- •8.7. Кривая роста дочерних ядер
- •8.8. Радиоактивные семейства ядер
- •8.9. Датировка событий методом радиоактивных распадов
- •Контрольная работа №6
са) частицы. Если известно состояние в начальный момент времени и силовое поле, в котором находится частица, то, решив уравнение Ньютона, можно найти положение и скорость частицы в любой последующий момент времени. В этом состоит сущность причинности в классической механике.
В квантовой механике классическое понятие состояния лишено смысла, ибо координата и скорость частицы принципиально не могут иметь одновременно определенных значений. Соответственно классическое понятие причинности также неприменимо в квантовой теории. Состояние частицы задается в квантовой механике волновой функцией. Если известны волновая функция в начальный момент времени и силовое поле, в котором движется частица, то, решив уравнение Шрёдингера, можно найти волновую функцию в последующие моменты времени. В этом заключается сущность причинности в квантовой механике. Таким образом, квантовая механика не отменила принцип причинности. Она лишь придала ему форму, соответствующую истинной природе вещей.
7.3.3 Прохождение частиц через потенциальный барьер
Различие в поведении классической и квантовой частиц отчетливо проявляется в тех случаях, когда на пути частицы встречается потенциальный барьер. Будем считать, что частица движется вдоль оси x. Пусть имеется потенциальный барьер, изображенный на риc.
Потенциальная энергия частицы U при x < 0 равна нулю, при x ≥ 0 — имеет значение U0.
Потенциальный барьер в виде ступеньки (а) и потенциальный
185
барьер конечной ширины (б)
Рассмотрим вначале поведение классической частицы (т. е. частицы, подчиняющейся законам классической механики). Если полная энергия E частицы меньше высоты барьера U0 (E1 на рис.a), частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону с той же энергией, какую она имела первоначально. В случае, когда E > U0 (E2 на рис.а), частица пройдет над барьером, потеряв лишь «часть» своей скорости, и будет беспрепятственно двигаться в прежнем направлении.
Совершенно иначе выглядит поведение квантовой частицы. Такая частица, налетев на ступенчатый барьер, имея энергию, меньшую U0, проникает в него на некоторую глубину (причем ее волновая функция убывает экспоненциально) и лишь затем поворачивает в обратную сторону. Под глубиной проникновения понимают расстояние xe, на котором вероятность обнаружения частицы уменьшается в e раз (напомним, что граница барьера имеет x = 0). Соответствующий расчет дает, что
xe = |
|
|
|
|
. |
(7.28) |
|
|
|
|
|
||||
8m(U0 |
− E) |
||||||
|
|
|
|
Из этой формулы вытекает, что чем легче частица (чем меньше m) и чем меньше превышение высоты барьера U0 над E, тем на большую глубину проникает частица в процессе отражения.
Произведем оценку xe для свободного электрона в металле. Металлическое тело представляет собой для электрона потенциальную яму глубины U0. Поэтому электрон, движущийся к поверхности металла, «натыкается» на ступенчатый потенциальный барьер высоты U0. Превышение этого барьера над энергией E наиболее быстрых электронов составляет величину порядка нескольких электронвольт. Примем U0 — E равной 1 эВ = 1,6∙10-19 Дж. Тогда согласно (16.1)
x = |
|
1,05 10−34 |
≈10−10 м = 0,1 нм. |
|
|
||
e |
8 0,91 10−30 1,6 10−19 |
|
|
|
|
Получилось значение порядка межатомных расстояний в кристалле. Таким образом, свободные электроны вылетают за преде-
186
лы металла на расстояние порядка 0,1 нм, после чего возвращаются обратно. В результате металлическое тело оказывается окруженным облаком электронов.
В случае, когда E > U0 (E2 на рис.a), квантовая частица не обязательно проникает в область x > 0 и движется в первоначальном направлении. Имеется вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратном направлении. Эта вероятность равна
R= E −E −U0 2 .
E + E −U0
Для случая E = 2U0
R= 2 −1 2 = 0,030 .
2 +1
Если E = 1,1U0, то R = 0,29.
Еще разительнее различие в поведении классической и квантовой частиц в случае потенциального барьера конечной ширины (рис. б). Для такого барьера U = 0 при x < 0 и при x>1, а в области
0 ≤ x ≥ U = U0. При E < U0 (E1 на рис. б) классическая частица от-
ражается от такого барьера точно так же, как от ступенчатого барьера, изображенного на рис.a. Вероятность проникнуть за барьер у классической частицы равна нулю. При E > U0 (E2 на рис. б) частица проходит над барьером и продолжает двигаться за барьером с первоначальной скоростью. Вероятность отразиться от барьера у классической частицы равна нулю.
Квантовая частица может оказаться за барьером даже при E < U0 и отразиться от барьера при E > U0. Это вытекает из уравнения Шрёдингера и стандартных условий, налагаемых на волновые функции. Не приводя в принципе простых, но громоздких вычислений, дадим только конечный результат. Вероятность того, что частица окажется за барьером, называется коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности). В случае прямоугольного барьера, изображенного на рис. б, коэффициент прохождения D может быть представлен приближенной формулой
187
D ≈ exp −( ) |
|
|
|
|
8m(U0 |
− E) |
(7.29) |
||
|
|
|
|
|
Из этой формулы следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барье-
ра и от его превышения над E, т. е. от U0 - E. Если при какой-то
ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,012 = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины U0 - E. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.
Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы формула (7.29) должна быть заменена более общей формулой
D ≈ exp −(1 |
)∫b |
|
|
dx , |
|
8m(U0 |
− E) |
(7.30) |
|||
|
a |
|
|
|
|
где U = U(x).
При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис., в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.
С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле E <. U0). Однако туннельный эффект — явление специфически
188