hw_4.79
.pdf
4.79. Затухающие колебания Частицу сместили из положения равновесия на расстояние l = 1; 0 см и предоставили самой себе. Какой путь пройдёт, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания = 0; 020?
Из условия следует, что колебания частицы слабо затухают, частица сможет совершить много (больше сотни точно) колебаний относительно положения равновесия, а также что скорость частицы в начальный момент равна нулю. Будем рассматривать каждый полупериод отдельно, включая начальный «четверть-период», колебание, за которое частица пройдёт путь l. Следующее качание будет меньшей амплитуды, поскольку есть декремент затухания. Уравнение для координаты частицы, совершающей затухающие колебания имеет вид:
x(t) = ae t cos(!t + ) |
|
(1) |
Запишем начальные условия: |
|
|
x(0) = l |
x(0) = 0 |
(2) |
Из начальных условий определим a и
x(0) = a cos( ) = l |
|
x(0) |
= a ( cos( ) ! sin( )) = 0 |
(3) |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tan = /! |
cos = |
|
|
a = cosl = l√1 + 2/!2 |
(4) |
||||
|
1 + 2/!2 |
||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти максимальное отклонение на каждом колебании, найдём моменты времени, когда частица находится на максимальном удалении от точки равновесия. Приравняем нулю производную, таким образом найдём t при которых частица имеет нулевую скорость, то есть, проходит через точку максимального отклонения за полупериод. Принимая во внимание (3) и то, что cos( +ϕ) = cos(ϕ) и sin( +ϕ) = sin(ϕ) получим
x = ae t ( cos(!t + ) ! sin(!t + )) = 0 |
(5) |
!t = ; 2 ; 3 : : : |
(6) |
В точках, где выполняется (6) обе функции sin и cos в (5) имеют одинаковый знак после приведения и незатухающая часть выражения для производной переходит в (3). Осталось вычислить величину отклонения в каждой точке остановки. Из (1) и (4) получим:
jx(t)j!t=n j =ae n/!j cos(n + ) ! sin(n + )j = |
(7) |
=a cos( )e n/! = le n/! |
(8) |
Каждое последующее отклонение меньше предыдущего в e /! раз. Путь, пройденный частицей при втором и последующих колебаниях это удвоенное максимальное отклонение, что даёт возможность составить геометрическую прогрессию с показателем e /!.
1 |
n |
le /! |
1 |
|
|
|
e /! + |
1 |
(9) |
||||
S = l + 2 |
le /! = l + 2 |
|
|
|
= l + 2l |
|
|
|
= l |
|
|
|
|
|
|
e /! |
e /! |
|
1 |
e /! |
|
1 |
|||||
n∑ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в (9) логарифмический декремент затухания, заданный в условии:
= |
2 |
|
S = l |
e /2 |
+ 1 |
= 200 см |
|
(10) |
! |
e /2 |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|||
1