Электронные пучки

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
Оглавление
Предисловие...............................................................................................................	4
Часть I. Электронные пучки малой плотности в приближении
заданного внешнего электромагнитного поля
Глава I. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях..............	5
§ 1. Уравнение движения заряда в электромагнитном поле..............................................	5
§ 2. Движение в постоянном однородном электрическом поле.........................................	7
§ 3. Движение в постоянном однородном магнитном поле.............................................	10
§ 4. Движение в постоянных однородных электрическом и магнитном полях ............	11
§ 5. Движение в медленно меняющемся магнитном поле. Адиабатический
инвариант.......................................................................................................................	13
§ 6. Дрейфовое приближение..............................................................................................	18
§ 7. Рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле точечного заряда.
Релаксация электронного пучка в плазме...................................................................	18
Глава II. Основы электронной оптики...............................................................	28
§ 8. Необходимые сведения из геометрической оптики...................................................	28
§ 9. Аналогия между движением электрона в электростатическом поле
и распространением луча в прозрачной среде...........................................................	32
§ 10. Строгая теория параксиальных аксиально-симметричных
электронно-оптических систем....................................................................................	37
§ 11. Фокусировка электронных пучков постоянным магнитным полем.......................	42
§ 12. Электронный микроскоп.............................................................................................	50
Глава III. Эмиссия электронов с поверхности проводников..........................	54
§ 13. Электроны в проводниках..........................................................................................	54
§ 14. Термоэлектронная эмиссия.........................................................................................	58
§ 15. Автоэлектронная эмиссия...........................................................................................	59
Часть II. Электронные пучки большой плотности в приближении
самосогласованного электромагнитного поля
Глава IV. Основные характеристики плотных электронных пучков
и методы их теоретического описания................................................	65
§ 16. Параметры сильноточных релятивистских электронных пучков, объемный
электрический заряд и собственное электромагнитное поле...................................	65
§ 17. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем...........................................	71
§ 18. Уравнения многожидкостной гидродинамики.........................................................	74

1

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
§ 19. Уравнения электромагнитного поля, материальные уравнения,
граничные условия, потенциальное приближение....................................................	77
§ 20. Движение заряженных частиц в стационарном нескомпенсированном
пучке, находящемся во внешнем магнитном поле....................................................	82
Глава V. Равновесные конфигурации электронных пучков..........................	89
§ 21. Уравнение баланса радиальных сил..........................................................................	89
§ 22. Нерелятивистское недиамагнитное равновесие.......................................................	91
§ 23. Равновесие релятивистского электронного пучка....................................................	94
§ 24. Учет диамагнетизма пучка и релятивизма вращательного движения....................	96
§ 25. Пинч Беннета.............................................................................................................	108
Глава VI. Предельные токи и динамика электронных пучков
в сильном внешнем магнитном поле..............................................	111
§ 26. Предельный вакуумный ток.....................................................................................	111
§ 27. Волны плотности заряда в одномерном пучке электронов...................................	118
§ 28. Волны плотности заряда электронного пучка в волноводе...................................	121
§ 29. Предельный ток скомпенсированного электронного пучка..................................	130
§ 30. Линейная теория неустойчивости Пирса................................................................	134
§ 31. Нелинейная динамика неустойчивости Пирса.......................................................	138
Глава VII. Неустойчивости прямолинейных электронных пучков
в плазме...................................................................................................	146
§ 32. Черенковская пучковая неустойчивость.................................................................	146
§ 33. Формальное решение кинетического уравнения Власова.....................................	154
§ 34. Нелинейные уравнения пучковой неустойчивости в плазме................................	156
§ 35. Нелинейная теория резонансной пучково-плазменной неустойчивости.............	160
§ 36. Нелинейные равновесные состояния замодулированного электронного
пучка в плазме...........................................................................................................	172
§ 37. Резонансная пучковая неустойчивость в плазменном волноводе........................	177
§ 38. Неустойчивость плазмы с током..............................................................................	181
§ 39. Общая классификация резонансных пучковых неустойчивостей........................	192
Глава VIII. Неустойчивости электронных пучков в конечном
внешнем магнитном поле....................................................................	197
§ 40. Общее уравнение линейной теории электростатических колебаний
цилиндрического столба радиально неоднородной заряженной плазмы..............	197
§ 41. Электрон - электронные двухпотоковые неустойчивости....................................	201
§ 42. Электрон – ионные двухпотоковые неустойчивости.............................................	205

2

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
§ 43. Неустойчивости пучка с неоднородным поперечным профилем
продольной скорости - slipping-неустойчивость......................................................	209
§ 44. Неустойчивость пучка с неоднородным поперечным профилем
плотности - диокотронная неустойчивость..............................................................	217
Часть III. Применение электронных пучков для получения
сверхвысочастотного излучения
Глава IX. Теоретические основы высокочастотной электроники..............	221
§ 45. Основные уравнения электроники высоких частот...............................................	221
§ 46. Генераторы попутных волн на коллективном вынужденном
эффекте Черенкова......................................................................................................	225
§ 47. Генераторы встречных волн на коллективном вынужденном
эффекте Черенкова......................................................................................................	229
§ 48. Генераторы попутных волн на одночастичном вынужденном
эффекте Черенкова......................................................................................................	235
§ 49. Генераторы встречных волн на одночастичном вынужденном
эффекте Черенкова......................................................................................................	240
Глава X. СВЧ приборы на релятивистских электронных пучках..............	242
§ 50. Плазменные СВЧ генераторы...................................................................................	242
§ 51. Ондуляторное излучение..........................................................................................	252
§ 52. Лазеры на свободных электронах............................................................................	254
§ 53. СВЧ генераторы на основе периодических волноводов........................................	262
§ 54. Мазеры на циклотронном резонансе.......................................................................	267
§ 55. Некоторые вопросы нелинейной теории СВЧ генераторов
на релятивистских электронных пучках...................................................................	273
Литература..............................................................................................................	280

3

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Предисловие

В основу данного учебного пособия положены лекции по курсу “Физика релятивистских электронных пучков”, читаемого студентам кафедры физической электроники Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Физика электронных пучков является быстро развивающимся разделом современной физики, что учтено в учебном пособии, опирающемся на достижения последних лет в соответствующих областях науки. Авторы стремились создать пособие, призванное помочь студентам физических специальностей, в первую очередь специальности “фундаментальная радиофизика и физическая электроника”, глубоко овладеть современными методами теоретического исследования электронных пучков на основе кинетической модели Максвелла-Власова, модели многожидкостной гидродинамики и модели независимых частиц. В данной книге весь комплекс физических проблем, связанных с электронными пучками (получение электронных пучков, транспортировка пучков в вакууме, газе и плазме, устойчивость электронных пучков, применение пучков в других областях физики), рассматривается в рамках этих основополагающих моделей. Большое внимание уделяется нелинейным явлениям в электронных пучках.

Естественно, что в рамках одного учебного пособия авторы не могли охватить, хотя бы частично, всех вопросов физики электронных пучков, что не только невозможно, но и просто нецелесообразно. Многим разделам (например, физике ускорителей заряженных частиц, физике взаимодействия пучков с твердым телом и его поверхностью, многочисленным пучковым технологиям и т.д.) посвящены отдельные специальные курсы. В настоящем учебном пособии электронные пучки рассматриваются как разновидность неравновесной заряженной плазмы, что в основном и определило содержание книги и используемые в ней методы исследования. Учебное пособие состоит из трех частей. Первая часть посвящена электронным пучкам малой плотности, при рассмотрении которых можно не учитывать собственные электромагнитные поля пучков. Во второй части исследуются плотные электронные пучки. Динамика таких пучков в значительной степени, помимо внешних полей, определяется собственными квазистатическими и высокочастотными полями, порождаемыми самими пучками. В третьей части, как одно из важных применений электронных пучков, рассмотрено создание на их основе мощных излучателей электромагнитных волн сверхвысокочастотного диапазона.

Учебное пособие написано в соответствии с Государственными образовательными стандартами специальностей 010400 “Физика” и 013900 “Фундаментальная радиофизика и физическая электроника”. Авторы надеются, что книга окажется полезной студентам, аспирантам и научным работникам, специализирующимся и в иных областях физики, связанных с электродинамикой плазмы, физической кинетикой, теорией волн и неустойчивостей.

4

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Часть I. Электронные пучки малой плотности в приближении заданного внешнего электромагнитного поля

Глава I. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях

§ 1. Уравнение движения заряда в электромагнитном поле

При рассмотрении движения электронных пучков не достаточно учитывать только внешнее, созданное некоторыми сторонними источниками, электромагнитное поле. Электроны пучка создают собственные электрическое и магнитное поля, которые оказывают обратное воздействие на движение электронов. Учет собственных самосогласованных полей необходим в случае электронных пучков большой плотности, что и будет осуществлено во второй части настоящего курса. Однако значительный интерес и большое прикладное значение представляют электронные пучки, плотность которых настолько мала, что принимать во внимание собственные поля нет необходимости. Такие пучки можно рассматривать как совокупности независимых электронов, движущихся в заданном электромагнитном поле. Электронным пучкам малой плотности посвящена первая часть курса.

Уравнение движения электрона, как и любого другого точечного заряда, в электромагнитном поле можно записать в виде

dpr = r e E(t,

dt

Здесь

r	mvr
p =	1 − v2

r		1	rr	r
r )	+		[vB(t, r )] .			(1.1)
		c
c2	-					(1.2)

релятивистский импульс, vr- скорость заряда, c - скорость света, e и m - заряд и масса покоя,

E(t, rr) - напряженность электрического поля, B(t, rr) - магнитная индукция. Координата за-

ряженной частицы r = rr(t) , входящая в правую часть уравнения (1.1), определяется из сле-

дующего уравнения:

	drr		r	pr
	dt	= v = c		m2c2 + p2 .					(1.3)
	Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс pr								приближенно ра-
	вен классическому значению mvr							и уравнение (1.1) переходит в нерелятивистское уравнение
		dvr	r	r	1 rr		r
	m		= e E(t, r ) +			[vB(t, r )] .			(1.4)
		dt			c

Выражение в правых частях уравнений (1.1) и (1.4) называется силой Лоренца. Часть этой силы, обусловленная электрическим полем, не зависит от скорости заряда и ориентирована

5

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

вдоль поля Er , а часть силы связанная с магнитным полем пропорциональна скорости v и

направлена перпендикулярно к скорости и к направлению магнитного поля Br . Кинетическая энергия релятивистской частицы (включая энергию покоя) определяет-

ся формулой

	Wкин =	mc2	.	(1.5)
		− v2
	1		c2

Прямой проверкой можно убедиться, что имеет место соотношение

dWкин	= vr	dpr	.	(1.6)
dt
		dt

Подставляя в (1.6) уравнение (1.1), найдем следующее уравнение для кинетической энергии заряженной частицы в электромагнитном поле:

	dW	rr
	кин	= eEv .	(1.7)
	dt

Изменение кинетической энергии равно работе, произведенной полем за единицу времени. Из (1.7) следует, что работу совершает только электрическое поле. Магнитное поле работы не совершает, поскольку сила, обусловленная магнитным полем, перпендикулярна вектору скорости электрического заряда.

Преобразуем еще уравнение движения (1.1) таким образом, чтобы оно содержало ус-

корение частицы dvrdt . Выразим импульс по формуле

pr =	vrWкин	,	(1.8)
	c2

являющейся следствием (1.2) и (1.5). Подставляя это выражение в (1.1) и учитывая при этом (1.7), получим искомое уравнение для ускорения релятивистской заряженной частицы

m

dvr

= e 1

−

v2

r

1

rr

1

r rr

dt

c2

E +

c

[vB]−

c2

v(vE) =

1 rr .

(1.9)

v2

v2 r

1

r rr

= e 1 − c2

[v[vE]]+ c [vB] .

1 − c2 E − c2

Предположим,

что магнитное поле отсутствует, а электрическое поле Er

в каждый

момент направлено вдоль скорости частицы

v , т.е. [vrE] = 0 . В этом случае из уравнения

(1.9) находим

dvr

r

v2 −3 2

m||

= eE,

2

(1.10)

dt

m|| = m 1 −

c

.

Величина m|| называется продольной массой заряженной частицы. Пусть теперь отсутствует электрическое поле. Тогда из уравнения (1.9) имеем

6

				Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
	dvr		1 rr				v	2 −1 2
m		= e		[vB],		−			(1.11)
	dt		c		m = m 1		c	2 .

Величина m называется поперечной массой. Поскольку сила со стороны магнитного поля всегда перпендикулярна скорости, то скорость меняется только по направлению, оставаясь неизменной по абсолютной величине, т.е. только в магнитном поле v2 =const. Значит поперечная масса заряженной частицы в (1.11) постоянна. Продольная масса, как это видно из уравнения (1.10) изменяется со временем.

Имеет смысл отдельно остановиться на движении заряда в постоянных (т.е. не зависящих от времени) электрическом и магнитном полях. В этом случае напряженность электрического поля можно выразить через скалярный потенциал ϕ(r)

r				∂ϕ
E = −gradϕ ≡ −					.			(1.12)
				r
				∂r
Правую часть уравнения (1.7) можно преобразовать следующим образом:
rr	∂ϕ drr					dϕ
eEv = −e	r			= −e			,	(1.13)
						dt
	∂r dt
где учтено, что на траектории частицы ϕ(rr) =ϕ(rr(t)), а r(t)								удовлетворяет уравнению (1.3).

Подставляя (1.13) в уравнение (1.7) и интегрируя по времени, получим закон сохранения энергии заряда в постоянном электромагнитном поле

	W =Wкин + eϕ =	mc2	+ eϕ =W0 ,	(1.14)
		− v2
	1		c2

где W0 - постоянная. Поскольку магнитное поле работы не производит, то оно и не дает вкла-

да в полную энергию частицы.

§ 2. Движение в постоянном однородном электрическом поле

Рассмотрим движение заряда e в однородном электрическом поле Er0 . Направим ось

x координатной системы вдоль поля, а ось							y направим так, чтобы движение заряда проис-
ходило в плоскости xy . Тогда уравнения движения (1.1) запишутся в виде
	dp	x		= eE0 ,	dpy	= 0 ,	(2.1)
					dt
	dt
откуда для компонент импульса находим
	px		= eE0t + p0 x ,			py = p0 y .	(2.2)
Здесь p0 x			и p0 y - компоненты импульса при t = 0 . Подставляя (2.2) в уравнение (1.3), полу-

чим следующие уравнения для координат заряженной частицы:

7

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

	dx	=		ceE0t + cp0 x	,
	dt		W02	c2 + (eE0t)2 + 2eE0 p0 xt
	dy	=		cp0 y	,
	dt		W02	c2 + (eE0t)2 + 2eE0 p0 xt

где W0 = c m2c2 + p02x + p02y - кинетическая энергия частицы при

ния (2.3) с нулевыми начальными условиями, получим

x(t) =

c

[ W02 c2 + (eE0t)2 + 2eE0 p0 xt −W0 c],

eE0

y(t) =

cp

0 y

p

0 x

+ eE

t + W 2

c2 + (eE

t)2

+ 2eE

p

0 x

t

ln

0

0

0

0

.

eE0

p0 x +W0 c

(2.3)

t = 0 . Интегрируя уравне-

(2.4)

Чтобы перейти в решениях (2.4) к нерелятивистскому пределу следует начальную энергию W0 представить в виде

		p2	+ p2
W = mc2	+	0 x	0 y	(2.5)
0			2m

и разложить выражения в квадратных скобках с точностью да членов порядка c−1 . В результате получатся известные нерелятивистские решения

x(t) =

p

0 x

t +

eE

0

t2 ,

y(t) =

p0 y

t .

(2.6)

m

m

2m

В частном случае p0 x = 0 решения (2.4) значительно упрощаются

ξ(τ) =

1 +τ 2

−1, ζ (τ) = (cp0 W0 )ln(τ +

1 +τ 2 )= (cp0 W0 )arshτ .

(2.7)

Здесь введены безразмерные переменные

τ =

eE0c

t,

ξ =

eE0

x,

ζ =

eE0

y .

(2.8)

W

W

W

0

0

0

Безразмерные решения (2.7)

для cp0

W0 = v0

c = 0.5 представлены на Рис. 2.1. При τ >1

движение заряженной частицы становится релятивистским в том смысле, что начинает сказываться релятивистское изменение массы. При τ <<1 релятивизм проявляется только в за-

мене массы покоя m на m(1− v02 c2 )−1 2 , где v0 - начальная скорость заряда в направлении оси y .

Исключая из (2.7) время τ , получим уравнение траектории релятивистской заряжен-

ной частицы в однородном электрическом поле
ξ = ch((W0 cp0 )ζ )−1.	(2.9)

Это – уравнение цепной линии. Или в размерной форме

8

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

4					ξ
3
2					ζ
1
0					τ
0	1	2	3	4	5

Рис. 2.1

Безразмерные координаты релятивистского электрона в однородном электрическом поле

9

				Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
	W0
x =			eE0
		ch			y	−1 .	(2.10)
	eE0
			cp0

В нерелятивистском случае, разлагая гиперболический косинус по степеням c−1 , из (2.10) имеем

x =	eE0		y2	,	(2.11)
	2mv	2
	0

т.е. заряд движется по параболе.

§3. Движение в постоянном однородном магнитном поле

Воднородном постоянном магнитном поле B0 = B0nr , где n - единичный вектор, урав-

нение движения (1.11) можно записать в виде

	dvr	= Ωe[vrnr] .
	dt
Здесь
				v2		1 2			eB0
Ωe			−		2		,	ωe =		-
		= ωe 1		c					mc

(3.1)

(3.2)

релятивистская и нерелятивистская циклотронные частоты частицы с зарядом e и с массой m . Поскольку в магнитном поле v2 = v02 = const , то релятивистская циклотронная частота в

(3.1) постоянна. Применительно к электрону после подстановки в (3.2) значений универсальных констант для нерелятивистской электронной циклотронной частоты получим

ω

e

=1.76 107 B рад/с,

(3.3)

0

где индукция B0 должна быть выражена в гауссах.

Выбирая координатную систему так, что nr ={0,0,1} ,

распишем уравнение (3.1) по

компонентам

dv

x

= Ωevy ,

dvy

= −Ωevx ,

dv

z

= 0 .

(3.4)

dt

dt

dt

Из уравнений (3.4) следует, что

vx2 + vy2

= v2

= const,

(3.5)

v

= v

= const, v2

+ v2 = v

,

z

||

||

0

где v0 - полная скорость частицы. Решение уравнений (3.4), удовлетворяющее соотношениям

(3.5), имеет вид

vx = v cos(Ωet +α), vy = −v sin(Ωet +α), vz = v|| ,

(3.6)

10