30.Определенный интеграл Римана. Методы вычисления: интегрирование по частям и замена переменной.

Определенные интегралы (интеграл Римана).

     Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке  и составим сумму (интегральная сумма) .

     Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа  существует такое число , что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек  выполняется неравенство

     Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

  

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

  

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмемarctg x. Далее — воспользуемся таблицей интегралов:

  

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

  

  

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

  

  

  

  

  

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

  

  

  

(Здесь (ln(cosx))’ — производная сложной функции. (Пусть функция   определена на множестве  и  – множество значений этой функции. Пусть, множество  является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

)

  )

31.Понятие о несобственныхинтегралах I-города. Интегралывида (a , p 0 ).

Рассмотрим обобщения понятия интеграла – интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций. Это, по существу, новые понятия, поскольку при определении интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция определена и ограничена на этом отрезке. В новой же конструкции придется рассматривать пределы не только интегральных сумм, но и пределы определенных интегралов.

Пусть функция  определена для всех , где - некоторое число, и интегрируема на любом отрезке , где . Если существует конечный предел

,

то говорят, что функция   интегрируема в несобственном смысле на промежутке . Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода и обозначается

Обычно, если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если с>a, то несобственные интегралы

  и  сходиться или расходиться одновременно.

Действительно, если для любого b>a функция  интегрируема, то

, откуда и следует что оба несобственных интеграла одновременно или существуют, или не существуют.

Аналогично можно определить несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков.

Если функция определена при  и интегрируема на любом отрезке , где ,

то

Если же для функции  существуют несобственные интегралы  и , то существует и несобственный интеграл , определенный формулой

,

причем существование и значение несобственного интеграла  не зависят от выбора точки .

Чтобы лучше осознать идею, лежащую в основе понятия несобственного интеграла, рассмотрим положительную убывающую на промежутке  функцию 

Интеграл  численно равен площади фигуры, изображенной на рисунке 10.1. При возрастании  эта площадь увеличивается и, если , то площадь может или возрастать безгранично, или оставаться ограниченной, то есть стремиться к некоторому пределу, который представляет собой площадь, заключенную между осью ОХ и кривой вправо от точки .

Пример. Вычислить несобственный интеграл

Решение. По определению

Несобственный интеграл сходится.