Техническая механика часть 1

материального тела, если до приложения к нему сил оно находилось в состоянии покоя.

Все силы по отношению к данной механической системе делятся на внешние и внутренние. Внешними называются силы, которые действуют на точки данной механической системы со стороны тел или точек, не входящих в эту систему. Внутренними силами называются силы взаимодействия точек самой системы.

Основные положения статики выводятся из нескольких простых и наглядных аксиом, справедливость которых подтверждена опытом.

Аксиома 1. Система из двух сил, действующих на тело, является уравновешенной в том случае, если эти силы имеют общую линию действия, равны по величине и направлены в противоположные стороны.

F1

A

B

F2

Рисунок 1.1

Используя ранее введенное обозначение, для системы сил, изображенной на рис. 1.1, можно написать:

{F1, F2} ~ 0, если F1 = F2.

Из первой аксиомы следует, что система из одиночной силы не может быть уравновешенной.

Аксиома 2. Две системы сил, отличающиеся друг от друга на уравновешенную систему сил, эквивалентны.

Согласно этой аксиоме действие любой системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Аксиома 3. Система двух сил, приложенных в одной точке, имеет равнодействующую, равную их векторной сумме и приложенную в той же точке.

Из векторной алгебры известно, что сумма двух векторов может быть представлена диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах как на его сторонах. Следовательно, равнодействующая R двух сил F1 и F2 может быть получена с помощью несложного построения (рис. 1.2), а ее величина по теореме косинусов равна:

R F12 F22 2F1F2cosα ,			(1.1)

11

где α – угол между силами.

Следует подчеркнуть, что аксиома 3 справедлива для сил, линии действия которых пересекаются. Если это не так, то силы могут не иметь равнодействующей.

	F1
A	α	R
	F2
	Рисунок 1.2

Аксиома 4. При взаимодействии двух тел они действуют друг на друга с силами, равными по модулю, имеющими общую линию действия и направленными по ней в противоположные стороны.

В отличие от аксиомы 1 в этой аксиоме речь идет о двух силах, приложенных к разным телам. Поэтому силы взаимодействия двух тел не составляют уравновешенную систему. С другой стороны, внутренние силы, действующие между отдельными точками одной и той же механической системы, всегда уравновешивают друг друга.

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не изменится, если оно станет абсолютно твердым.

Последнюю аксиому часто называют принципом отвердевания. Она позволяет рассматривать деформируемые тела, находящиеся в равновесии, как абсолютно твердые. Следовательно, все результаты, полученные в статике, могут быть использованы при анализе конструкций, деформации которых нельзя не учитывать.

Шестая аксиома статики будет сформулирована после введения ряда необходимых понятий.

1.2. Виды связей и вызываемые ими реакции

Движение элементов химического оборудования, как правило, не может быть произвольным. Соседние с ними элементы ограничивают их перемещение в некоторых направлениях, что сказывается на характере их возможного движения. Тела, ограничивающие перемещение рассматриваемого элемента, называются связями, а силы, за счет которых связи препятствуют его перемещению в определенном направлении, называются реакциями связей.

Таким образом, на любое материальное тело со стороны других тел могут действовать два рода сил. К первому относятся силы, способные привести в движение первоначально покоящееся тело.

12

Они называются активными. Активные силы не зависят от величины и направления действия других сил.

Ко второму роду сил относятся реакции связей. Они называются пассивными. Пассивные силы возникают лишь тогда, когда под действием активных сил тело оказывает давление на связь. Согласно аксиоме 4 реакция связи будет равна по величине такому давлению и направлена в противоположную сторону. Следовательно, пассивные силы зависят не только от характера связи, но и от величины и направления активных сил.

Одна из важнейших задач статики – определение реакций связей, наложенных на механическую систему при равновесии. Их величина необходима для расчета внутренних усилий в конструкционном материале элементов технологического оборудования, а также непосредственно участвует при расчете опор, фундаментов, подвесок, кронштейнов и т. д.

Определение реакций связей основано на принципе освобождаемости, который составляет содержание еще одной аксиомы механики.

Аксиома 6. Всякое тело, на перемещения которого наложены ограничения, можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить связи, а их действие заменить соответствующими реакциями связей.

Для правильного применения принципа освобождаемости необходимо четко различать характер различных связей. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей и их реакции, учитывая, что последние всегда направлены в сторону, противоположную направлению недопустимого перемещения.

1. Гладкая поверхность. Поверхность называется гладкой, если движение по ней происходит без трения. Связь этого типа исключает перемещение тела вдоль внутренней нормали к поверхности в данной точке. Поэтому реакция связи будет направлена вдоль внешней нормали и приложена в точке касания тела и поверхности (рис. 1.3).

а

R

б

R

в

R2

R1

Нормаль

Рисунок 1.3

13

В случае угловой опоры (угловая точка нормали не имеет) реакция направлена по нормали к поверхности тела в точке соприкосновения с углом.

2. Гибкая нерастяжимая невесомая нить. Этот вид связи моделирует ограничения на перемещения тел, которые закреплены канатами, тросами и т. п. Реакция всегда направлена вдоль нити к точке ее закрепления (рис. 1.4).

R1R2

Рисунок 1.4

3. Шарнирно-подвижная опора. Так же как и гладкая поверхность, эта связь допускает движение тела по касательной, но препятствует перемещению как по внутренней, так и по внешней нормали к опорной поверхности. Поэтому реакция направлена перпендикулярно к ней. На практике такой тип связи реализуется при использовании опор с катками. Возможность свободного перемещения вдоль поверхности отражена в принятых для шарнирно-подвижных опор обозначениях

(рис. 1.5, а, б).

а	R		б	R		в	R	г	Ry
											Rx

Рисунок 1.5

4. Шарнирно-неподвижная опора. Этот тип связи, в отличие от предыдущей, исключает и перемещение по касательной к опорной поверхности. Реакция связи имеет неизвестное направление. Ее удобно разложить на две составляющие: по касательной и по нормали к опорной поверхности (рис. 1.5, в, г). При этом направление и величина реакции связи определяются через обе составляющие в соответствии с аксиомой 3 и формулой (1.1).

14

5.Опорный стержень. Опорным стержнем называется связь, моделируемая прямолинейным невесомым стержнем, на концах которого имеются шарниры. Шарнир, как известно, допускает свободный поворот тел вокруг оси этого шарнира. Поэтому на концы опорного стержня действуют только две силы, которые согласно аксиоме 1 имеют общую линию действия. Следовательно, реакция опорного стержня направлена по его оси.

6.Жесткая заделка. Такой тип связи накладывает наибольшее количество ограничений на перемещение некоторых точек тела. Жесткая заделка исключает возможность любых линейных перемещений, а также поворот вокруг опорных точек. Возникающие в жесткой заделке реакции показаны на рис. 1.6.

R1 F

M0 R2

Рисунок 1.6

1.3. Плоская система сходящихся сил

Анализ систем сил целесообразно начать с наиболее простых случаев. Одним из них является плоская система сил, которая состоит из сил, линии действия которых лежат в одной плоскости. Если к тому же их линии действия пересекаются в одной точке, то силы называются сходящимися. Для двух сходящихся сил справедлива аксиома 3. Она допускает обобщение на любое число сил: если линии действия сил F1, F2 … Fn сходятся в одной точке, то их равнодействующая R равна векторной сумме всех сил:

n
R Fi	(1.2)

i 1

В некоторых задачах удобно находить равнодействующую системы сходящихся сил графически. В этом случае каждый вектор силы, начиная со второго, откладывается из конца предыдущего (рис. 1.7). Затем строится вектор, начало которого совпадает с началом вектора первой силы, а конец - с концом вектора последней силы. Полученный

15

вектор и будет равнодействующей сил F1, F2 … Fn. Построенный таким образом многоугольник называется силовым многоугольником. В определенных случаях силовой многоугольник может оказаться замкнутым. Следовательно, система сил в этом случае эквивалентна нулевой силе, т. е. является уравновешенной.

а	б	F2	F3
F1	F2
		F1

Fn

O

F3	R	Fn
Рисунок 1.7

Векторное равенство (1.2) может быть записано в проекциях на оси декартовой системы координат. Тогда условие уравновешенности плоской системы сходящихся сил может быть сформулировано в одной из трех форм.

1. В векторной форме:

n
Fi 0	(1.3)

i 1

2. В графической форме: силовой многоугольник должен быть замкнут.

3. В аналитической форме: сумма проекций всех сил на каждую из осей декартовой системы координат должна быть равна нулю

n	n
Fix 0	и Fiy 0	(1.4)
i 1	i 1

Как отмечалось ранее, для тел, находящихся в равновесии под действием системы сил, сформулированные условия являются также условиями равновесия этих тел. Условия 1. – 3. легко обобщаются на пространственную систему сходящихся сил. В этом случае к равенствам (1.4) следует добавить еще одно, отражающее требование обращения в нуль суммы проекций всех сил на ось Оz.

16

1.4. Пары сил на плоскости

Силы могут сообщать телам не только поступательное, но и вращательное движение. Вращательное воздействие силы определяется величиной момента этой силы относительно центра вращения. Моментом МС(F) силы F относительно некоторой точки С называется произведение величины этой силы F на расстояние h от точки С до линии действия силы (рис. 1.8). При этом величина момента МС(F) = F h берется со знаком плюс, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки (как на рисунке), и со знаком минус – в противном случае.

C

h

F

Рисунок 1.8

Расстояние h называется плечом силы F относительно тоски С. Плечо силы не изменится, если точка приложения силы будет перемещаться вдоль линии ее действия. Поэтому величина момента МС(F) не зависит от того, где выбрана точка приложения силы на линии ее действия.

Если имеется система сходящихся сил F1, F2 … Fn, и сила R является их равнодействующей, то справедливо следующее важное соотношение:

n	n
МС (R) MC (Fi ) Fihi ,		(1.5)
i 1	i 1

т.е. момент равнодействующей силы относительно некоторой точки равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно той же точки. Это утверждение носит название теоремы Вариньона. Она справедлива и для пространственных систем сил, которые будут рассмотрены позднее.

Теорема Вариньона позволяет изучить вопрос о сложении параллельных сил. Пусть F1 и F2 - две параллельные одинаково направленные силы. Выберем на плоскости между линиями действия сил некоторую точку, обладающую следующим свойством: расстояния от нее до линий действия сил F1 и F2 обратно пропорциональны модулям сил F1 и F2. Тогда, согласно (1.5), момент равнодействующей

17

R = F1 + F2 относительно этой точки будет равен нулю. Указанная точка называется центром параллельных сил. Следовательно,

линия действия равнодействующей двух параллельных одинаково направленных сил проходит через центр параллельных сил.

Правило сложения двух параллельных сил можно обобщить на любое их число. В частности, если распределенная нагрузка q (н/м) действует на некотором участке длиной а и постоянна на нем, то равнодействующая будет равна q а и приложена к середине участка действия нагрузки.

Если силы F1 и F2 параллельны, противоположно направлены и различны по величине, то центр параллельных сил будет находиться за линией действия большей силы и обладать тем же свойством. В этом случае равнодействующая также проходит через центр параллельных сил и равна разности их модулей.

Момент может создавать не только одиночная сила, но и две особым образом заданные силы – пара сил. Парой сил называется система из двух равных по модулю, противоположно направленных параллельных сил (рис. 1.9). Как следует из аксиомы 1, такая система сил не может быть уравновешенной. Кроме того, она не имеет равнодействующей. Поэтому пара сил представляет собой особую меру механического взаимодействия и является отдельным объектом изучения механики. В самом деле, если отдельная сила может сообщать телу одновременно и поступательное и вращательное движение, то пара сил – только вращательное.

-F

h

F

Рисунок 1.9

Плоскость, в которой лежат силы, составляющие пару, называется плоскостью действия пары, а расстояние между линиями действия сил h – плечом пары. Моментом пары {F, - F} называется вектор М,

перпендикулярный плоскости действия пары и направленный так, что силы стремятся повернуть тело против часовой стрелки, если смотреть со стороны вектора М. Модуль этого вектора М = F h. Следовательно, момент пары равен по величине моменту одной из сил относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы, составляющей пару.

18

В отличие от вектора силы, момент пары – вектор свободный. Он не зависит от линии действия сил. Поэтому пару можно переносить в любое другое положение в плоскости ее действия. Более того, величина момента пары не изменится, если ее перенести на параллельную плоскость. Следовательно, момент пары можно перенести параллельно самому себе в любую точку тела, к которому она приложена.

Если на тело действуют несколько пар с моментами М1, М2, …, М n , то, так же как и отдельные силы их можно складывать по правилам сложения векторов. Пара, эквивалентная системе пар, действующих в одной плоскости, будет иметь момент М, модуль которого равен:

n	n
М Мi Fi hi ,		(1.6)
i 1	i 1

где знак каждого слагаемого определяется направлением вращения соответствующей пары.

При равновесии тела правая часть соотношения (1.6) должна обращаться в нуль.

1.5. Условия равновесия произвольной системы сил на плоскости

Как уже отмечалось, важнейшими задачами статики является преобразование заданных систем сил в другие, им эквивалентные, но более простые, а также установление условий, которым должны удовлетворять системы сил, чтобы они были уравновешенными. Рассмотрим обе эти задачи применительно к системе сил {Fi}n, вектора которых лежат в одной плоскости (рис. 1.10).

у	F1
-Fn		F2
	F1
-F2
	F2	х
-F1	Fn
	Fn
	Рисунок 1.10

В некоторой точке 0 плоскости приложим систему двух сил {F1, -F1}, эквивалентную согласно аксиоме 1 нулевой силе. Тогда в точке 0 получим силу F1, перенесенную из точки А параллельно самой себе, и

19

пару сил, состоящую из силы - F1 , приложенной в точке 0, и силы F1, приложенной в точке А. Следовательно, действие силы F1 на тело не изменится, если ее линию действия перенести параллельно самой себе, присоединив при этом пару сил {F1, - F1} с плечом, равным расстоянию, на которое перенесена линия действия силы.

Точно так же поступим с другими силами, входящими в исходную систему {Fi}n. В результате получим систему сходящихся сил, действующих в точке 0, и систему пар с моментами Мi = Fi hi. Согласно (1.2) силы будут иметь равнодействующую силу R, а пары – равнодействующую пару с моментом М0, определяемым соотношением (1.6). Другими словами, исходной системе сил эквивалентна система, состоящая из силы R и пары сил с

моментом М0: {Fi}n ~ { R, М0}.

Таким образом, произвольную систему сил, действующих в одной плоскости, можно заменить одной силой, приложенной в некоторой точке плоскости и равной векторной сумме всех сил, и парой силой с моментом, равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар. Точку 0 называют центром приведения, вектор R – главным вектором системы сил {Fi}n, а момент М0 – главным моментом системы сил. Из приведенного выше рассуждения следует, что значение главного вектора не зависит, а значение главного момента зависит от выбора центра приведения.

При равновесии одновременно выполняются условия:
R = 0 и М0 = 0,	(1.7)

которые называются механическими условиями равновесия произвольной плоской системы сил. В проекциях на оси декартовой системы координат векторные равенства (1.7) примут вид:

n	n	n
	Fiy 0 ,
Fix 0 ,		Mi 0 0	(1.8)
i 1	i 1	i 1

В силу произвольности выбора системы координат и центра приведения равенства (1.8) означают, что для равновесия любой системы сил, действующих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на две взаимно перпендикулярные оси равнялась нулю, и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно некоторой точки также равнялась нулю.

Условия равновесия плоской системы сил можно сформулировать в форме отличной от (1.8), а именно: составить одно уравнение для проекций сил на некоторую ось и два уравнения для моментов

20