Техническая механика часть 1

1 / 2 = u12

и зависят от геометрических размеров зубьев. При этом точки зубьев, лежащие на начальных окружностях, проходят по этим окружностям некоторые дуги.

Дугой зацепления lз называют дугу начальной окружности, которую проходит точка бокового профиля зуба за время контакта одной пары зубьев. Так как в процессе работы зубчатой передачи начальные окружности радиусов rW1 и rW2 перекатываются друг по

другу без проскальзывания (являясь центроидами относительного движения), то дуги зацепления на зубчатых колесах передачи будут иметь одинаковые длины.

При известной длине дуги зацепления условие непрерывности передачи вращательного движения в зубчатой передаче может быть записано следующим образом

lз pW ,

(10.49)

то есть длина дуги зацепления должна быть больше шага зацепления по дуге начальной окружности.

На практике непрерывность работы зубчатой передачи принято характеризовать коэффициентом торцового перекрытия:

= lз / pW .

(10.50)

С учетом (10.49) и (10.50) условие непрерывности работы зубчатой передачи может быть записано в виде

1 .

(10.51)

Если допустить < 1 (то есть lз < pW), то передача движения окажется прерывистой, будет сопровождаться периодически повторяющимися ударами в момент вхождения в зацепление очередной пары зубьев. Если допустить = 1, то теоретически непрерывность передачи движения будет обеспечена. Однако на практике возможные неточности, допущенные при изготовлении зубчатых колес и монтаже зубчатой передачи, неизбежно приведут к нарушению условия непрерывности передачи движения. Практикой проектирования зубчатых передач выработано условие

> 1,1 .

Таким образом, вводится количественная оценка условия непрерывности передачи движения в зубчатой передаче. Величина

251

коэффициента торцового перекрытия указывает на время, в течение которого находятся в зацеплении две пары зубьев.

Например, при = 1,6 время, приходящееся на зацепление двух пар зубьев, равно 60%, а на одну пару – 40%.

Схема для определения длины дуги зацепления представлена на рис. 10.13. На линии зацепления N-N отмечены точки А и В пересечения дуг окружностей выступов шестерни 1 и колеса 2 с линией зацепления. Поскольку точка контакта двух совместно работающих профилей перемещается по линии зацепления, то точки А и В характеризуют положения зубьев колес в момент начала и окончания зацепления. При ведущей шестерне 1 в точке А профили начинают контактировать (профиль зуба шестерни 1 соприкасается с точкой профиля зуба колеса 2, лежащей на его окружности выступов), а в точке В – контакт зубьев прекращается (точка зуба шестерни 1, лежащая на ее окружности выступов, выходит из зацепления). Если провести через точки А и В левые боковые профили зубьев шестерни 1, то эти эвольвентные профили будут определять положение зуба колеса шестерни 1 в момент начала и окончания его работы. При этом дуга c1d1 начальной окружности шестерни будет дугой зацепления. Аналогичным образом, дуга c2d2 начальной окружности зубчатого колеса 2 будет дугой зацепления. Таким образом, длина дуги зацепления

lз = c1d1 = c2d2 .

(10.52)

Дуга зацепления может быть выражена через длину участка АВ (активного или рабочего участка линии зацепления N-N). Из рис. 2.13 с учетом изложенного выше следует, что

cidi = rWi i ,	(10.53)
aibi = rbi i ,	(10.54)
aibi = AB .	(10.55)
Поскольку треугольники О1М1Р и О2М2Р прямоугольные, то
rWi = rbi / cos W.	(10.56)
Следовательно, справедливо соотношение

	с d	i		rW		1
	i			i
	aibi			r		cos	.
							W
				b i

252

			O1
		rp1
		rb1	αw
	N
			φ1
		M1	αa1		rw1	ra1
αw			a1
					b1
		c1	A			w
					d1	a
T		с2	P	B	d2	T
		a2
	ra2	rw2			b2
			αa2
					M2
			αw		rb2	N
			φ2		rp2
			O2
			Рисунок 10.13

Таким образом, длина дуги зацепления равна:

lз = cidi = AB / cos W ,

(10.57)

Подставляя правую часть этого соотношения в выражение (10.50) для коэффициента торцового перекрытия, для последнего получаем следующую формулу:

з			AB		АВ
	pW		pW cos W			.	(10.58)
					рn

где рn – шаг по линии зацепления.

253

Так как радиус начальной окружности (10.56) можно выразить через шаг рW по формуле (10.16) то

rW		pW	z	rb		r cos		mz		cos	.
				cos W		cos W
		2					2			cos W

Отсюда шаг зацепления по дуге начальной окружности pW = π m cosα / cosαW . Тогда шаг по линии зацепления из (10.58) выражается следующим образом:

pn = pW cos W = m cos = pb ,

(10.59)

где pb – шаг по основной окружности.

С учетом (10.58) и (10.59) окончательно получим формулу для расчета коэффициента перекрытия через длину рабочего участка линии зацепления

	АВ		AB
	m cos		.		(10.60)
			pb

Коэффициент перекрытия может быть определен и аналитически. Из рис. 10.13 нетрудно видеть, что

АВ = М1М2 – М2В – М1А =

=М1М2 – [М1М2 – М1В] – [М1М2 – М2А] =

=М1В + М2А – М1М2 =

r2		r2		r2		r2	a	sin	W .
	a	b		a	2	b	W
1		1				2

Окончательно аналитическое выражение для коэффициента торцового перекрытия имеет вид:

		r 2	r 2	r 2		r 2	a	sin	W
		a	b		a	b	W
		1	1	2		2				.	(10.61)
				m cos

Анализ формулы (10.60) и (10.61) позволяет сделать ряд следующих полезных для практики проектирования зубчатых передач выводов:

254

1.Коэффициент торцового перекрытия увеличивается с увеличением числа зубьев колес передачи (так как с ростом числа зубьев колес уменьшается модуль m);

2.Коэффициент торцового перекрытия уменьшается с увеличением положительного суммарного коэффициента смещения x

=x1 + x2. Это объясняется тем, что с увеличением x увеличивается монтажный угол зацепления W и, следовательно, уменьшается длина рабочего участка зацепления. Отсюда следует, что отрицательные зубчатые передачи обеспечивают большую плавность передачи движения, чем нулевые или положительные, а нулевые зубчатые передачи имеют большую плавность, чем положительные.

Как было показано выше, существует предельный случай, при котором радиусы начальных окружностей зубчатой передачи

обращаются в бесконечность rW1 = и rW2						= , а зубчатые колеса
вырождаются в зубчатые рейки (рис. 10.14) .						Из этой схемы следует,
что
			АВ = 2 ha*		m / sin .
		rw1 = r1= ∞
1					pb

pb

c

hw		A
haw2
	P
B	αw= α	haw1

c

2	0,5 p
pw = p = m	pw = p = m
rw2= r2= ∞

hw – глубина захода зубьев колес,

haw1 = ha* m – высота начальной головки зуба колеса 1, haw2 = ha* m – высота начальной головки зуба колеса 2

Рисунок 10.14

255

Тогда с учетом выражения (10.60), формула значения коэффициента торцового перекрытия имеет вид:

	пр		4ha*
			sin( 2 ) .

для предельного зубчатой передачи

(10.62)

	Подстановка в данную формулу стандартных значений	ha* = 1 и
=	20 дает пр 1,982 . Следовательно для прямозубой	передачи

справедливо неравенство:

1< < 2 .

Это означает, что в зацеплении одновременно могут находиться одна или две пары зубьев. На практике для увеличения коэффициента перекрытия применяют косозубые и шевронные зубчатые передачи.

Еще одним важным вопросом при анализе работы зубчатых передач, а также при их проектировании является вопрос об изменении нагрузки на отдельный зуб колеса по времени зацепления.

Для иллюстрации закономерностей изменения нагрузки на зуб по мере перемещения точки контакта по рабочему участку АВ линии зацепления служит диаграмма изменения нагрузки на зуб по времени зацепления (рис. 10.15).

Q

0,5Q

A		A1	P			B1	B
			pn = pb
				pn = pb
				Рисунок 10.15

При построении диаграммы для передачи с внешним зацеплением, для которой справедливо условие:

1< < 2

256

считают, что зубчатая передача работает в установившемся режиме, и, следовательно, момент движущих сил, приложенный к шестерни и момент сил сопротивления, приложенный к зубчатому колесу, постоянны по величине. Рабочий участок линии зацепления изображают отрезком АВ таким же как и на картине зацепления (рис. 10.11). Вправо от точки А отложен шаг зацепления, измеренный по линии зацепления N-N (он, очевидно, совпадает с шагом по основной окружности pb)

pn = pb = m cos .

Если в точке А в данный момент времени находится одна пара контактирующих эвольвентных профилей зубьев шестерни и колеса, то в точке В1 (на расстоянии pn = pb от точки А) будет находится вторая пара контактирующих эвольвентных профилей. Если принять условия работы зубьев колес одинаковыми, то нагрузка, передаваемая с шестерни на колесо, в рассматриваемый момент будет поровну распределяться между обеими контактирующими парами профилей. В процессе перемещения точек контакта профилей по линии зацепления расстояние между двумя соседними профилями одного и того же зубчатого колеса будет сохраняться. Через некоторое время пара эвольвентных профилей, контактировавшая в точке В1, переместится в точку В и в следующий момент времени выйдет из зацепления. Точка контакта пары профилей, соприкасающихся в начальный момент в точке А, за это же время переместится в точку А1, находящейся на расстоянии pn = pb от точки В.

Поскольку расстояние между точками А и А1 меньше, чем pn = pb , то следующая за двумя рассмотренными третья пара профилей зубьев колес не начнет контактировать до того момента времени, пока не попадет в точку А. Следовательно, в пределах отрезка А1В1 линии зацепления нагрузка, передаваемая от шестерни к зубчатому колесу, будет передаваться одной парой зубьев, а на участках АА1 и ВВ1 – двумя. Эта особенность нагружения зубьев колес отображена на диаграмме сил взаимодействия профилей (рис. 10.15). При этом сила Q изображена произвольно. Конкретное численное значение силы может быть определено только при заданном значении мощности передаваемой передачей.

10.10.Проверка профилей на взаимное внедрение

Внеправильно спроектированной зубчатой передаче при ее работе может иметь место интерференция профилей. Это явление возникает, когда зубья колес в ходе зацепления занимают одновременно одну и ту же часть пространства, т.е. происходит наложение одной части зуба на другой. В этом случае траектория

257

точки К, вершины зуба большего колеса в его относительном
движении пересекает профиль ножки зуба шестерни, вызывая
заклинивание передачи и возможную поломку зубьев (рис. 10.16). С
целью проверки спроектированной передачи на отсутствие
интерференции зубьев производят построение указанной выше
траектории.
		O1
	rb1	αw
N		rf1
				rw1	ra1
αw		M1	К	Bi
		Кi			w
					a
T		P			T
				Ai
			Pi	M2
ra2		rw2
		Эпициклоида
		αw
		rf2		rb2	N
		O2
		Рисунок 10.16

При выполнении данного построения одно колесо мысленно останавливают, в данном случае ведущее колесо (см. рис. 10.16), а ведомое перекатывают по начальной окружности. Порядок построения включает следующие пункты.

1. Дуги начальных окружностей обоих колес передачи делятся на некоторое число равных участков

РА1 = А1А2 = А2А3 = . . . = Аi-1Аi .

258

Так как начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения, то со временем точки А1, А2, . . . Аi будут совпадать с точками В1, В2, . . . Вi «неподвижного» колеса, т.е. РВi = РАi.

2.Методом засечек строится вспомогательная траектория точки

Рзуба перекатываемого колеса – эпициклоиду:

-из точки Вi радиусом РАi проводится дуга;

-из точки Р радиусом ВiАi на построенной дуге делается засечка, и отмечается точка Рi ;

-построение повторяется для получения остальных точек Рi, которые представляют траекторию точки Р на начальной окружности (эпициклоиду).

Для контроля точности построения используют: РiBi = РАi и РiР = ВiАi. 3. Методом засечек строится искомая траектория точки К. При

перекатывании колеса по начальной окружности шестерни положение точек Аi и Рi изменяется, но расстояния между точками одного колеса сохраняется: АiК = const и РК = const. Построения выполняются в следующей последовательности:

-из точки Вi радиусом КАi проводится дуга;

-из точки Рi радиусом КР на построенной дуге делается засечка, отмечается точка Кi ;

-построение повторяется для получения траектории движения точки К.

Для контроля точности построения используют проверяются равенства длин: КiВi = КАi и КiРi = КР.

В правильно спроектированной передаче траектория вершины зуба, т.е. точки К, должна касаться ответного профиля. Пересечение траекторией профиля зуба или отсутствие касания с ним указывает на ошибки в проектировании передачи.

Аналитическая проверка отсутствия интерференции заключается в сравнении радиусов кривизны, как профиля зуба шестерни, так и

профиля зуба колеса. Для этого определяются радиусы кривизны 1 и

	в граничной точке К (рис. 10.9) и радиусы	кривизны p в нижней
2		1
точке активного профиля шестерни (точка А)		и p2 в нижней точке

активного профиля колеса (точка В) (рис. 10.13). В результате должны выполняться два условия:

	p ,	(10.63 а)
1	1
	p .	(10.63 б)
2	2

Радиусы кривизны профилей зубьев в граничных точках для шестерни и для колеса вычисляются с помощью соотношений:

259

		r1 sin	1 x1		m ,	(10.64 а)
			sin
		1
		r2 sin	1 x2		m ,	(10.64 а)
			sin
		2

а радиусы кривизны активных профилей зубьев в нижних точках для шестерни и для колеса – с помощью соотношений:

	p1 = аW sin W – rb2 tg a2 ,	(10.65 а)
	p2 = аW sin W – rb1 tg a1 ,	(10.65 б)
где a1	и a2 – соответственно углы профиля зуба	в точке на

окружности вершин шестерни и колеса (рис. 10.13), определяются по формуле (10.41).

10.11.Коэффициент скольжения зубьев

Взубчатой передаче при работе без проскальзывания перекатываются друг по другу только начальные окружности. Следовательно, относительное проскальзывание боковых профилей зубьев отсутствует только в момент их контакта в полюсе Р зацепления. По мере удаления точек контакта от полюса относительное проскальзывание профилей возрастает, вызывая износ и нагрев зубьев, а также снижение коэффициента полезного действия зубчатой передачи.

Поскольку в различных точках профилей, удаленных от начальных окружностей величина относительного проскальзывания различна, то для практики проектирования эвольвентных зубчатых передач необходимо определение зон боковых профилей зубьев наиболее подверженных износу. Это необходимо, чтобы в дальнейшем при изготовлении зубчатых колес уменьшить износ рабочих профилей с использованием специальных технологических приемов.

Следует отметить, что интенсивность износа зависит не только от величины силы, действующей со стороны профиля зуба шестерни на профиль зуба колеса, но и от конструкционного материала шестерни и колеса, условий смазки, температуры и других факторов.

Для количественной оценки величины относительного проскальзывания профилей используется коэффициент скольжения зубьев, который зависит от геометрических и кинематических параметров колес передачи:

260