Ксе

вотсутствие самого оригинала, а также применять экспериментальный метод исследования к таким объектам, непосредственное оперирование с которыми затруднительно или даже невозможно. Благодаря этому моделирование широко распространено

внауке.

Модель – аналог или образец объекта исследования, который воспроизводит наиболее существенные его признаки.

Виды моделей:

1)познавательские и прагматические (модель Вселенной / ландшафтный план). Познавательские модели отражают существующее, прагматические – желаемое;

2)статические и динамические (организм человека / функционирование органов);

3)абстрактные и материальные (мысленные модели / материальные конструкции);

4)образные и знаковые (модели-аналогии, например Земля – шар / математические модели).

В зависимости от характера используемых моделей различают несколько видов моделирования:

1. Мысленное (идеальное) моделирование является способом представить реальность в виде некоторой упрощенной ее схемы (например, планетарная модель атома).

2. Физическое моделирование – это эмпирический метод ис-

следования, предполагающий воспроизведение процессов и объектов с сохранением их физической природы.

3. Символическое (знаковое) моделирование связано с услов-

но-знаковым представлением каких-то свойств, отношений объ- екта-оригинала. Частным случаем символического моделирова-

ния является математическое моделирование – описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, экономических и других процессов.

Процесс моделирования можно разделить на четыре этапа:

1. Формулирование законов, связывающих оригинал и модель, и построение модели.

2. Исследование изучаемого процесса или явления с применением модели.

11

3.Согласование результатов наблюдения с результатами моделирования и решение о состоятельности модели.

4.Последующий анализ модели. Если она признана удовлетворительной, то производится дальнейшее накопление данных об изучаемых явлениях, если нет – требуется модернизация модели.

Контрольные вопросы

1.Охарактеризуйте основные этапы становления научного знания.

2.Приведите определение науки и назовите ее основные функ-

ции.

3.Чем различаются естественные и гуманитарные науки?

4.Назовите уровни научного познания.

5. Дайте определение понятию «гипотеза».

6. Перечислите основные характеристики научного исследования. 7. Перечислите методы научного познания, дайте им краткую ха-

рактеристику.

8. Какие методы используются на теоретическом уровне?

9. Какие методы используются на эмпирическом уровне?

10. Перечислите общенаучные методы, используемые и на теоретическом, и на эмпирическом уровнях.

11. Дайте определение понятию «эксперимент».

2. Практическая работа «Моделирование в научном познании»

Изучение объектов или процессов в современной науке в большинстве случаев производится путем набора экспериментальных данных с последующим модельным описанием. Достаточно часто параметры функциональной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены на основе метода наименьших квадратов.

Этот метод применим к линейной зависимости вида y = ax + b и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также их погрешностей.

Суть построения модели с использованием метода наименьших квадратов (МНК) заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а

n

и b F a,b yi (axi b) 2 принимает наименьшее значение.

i 1

То есть при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей.

12

Для нахождения коэффициентов составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю:

		F a,b	0,
		a
		F a,b
			0
		b

		n		(axi b) xi 0,
	2 yi
		i 1
	2 n		y (ax b) 0
			i	i
		i 1

		n	2			n			n
		i		b		i			i i
	a		x				x			x y	,
		i 1				i 1			i 1
		n			n			n
			2					i
	a	i					b
			x						y
		i 1			i 1			i 1

		n
	a x
		i 1
		n
	a x
		i 1

	n	n
2	b xi xi yi ,
i
	i 1	i 1
		n
2	nb yi ,
i
		i 1

где n – количество измерений.

Решаем полученную систему уравнений и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК):

	n					n	n
	n x		y	i	x		y		i
		i				i
a	i 1				i 1		i 1		,	(1)
								2
	n		2			n
	n xi					xi
	i 1				i 1
	n				n
	yi	a xi
					i 1	;				(2)
b i 1
			n

n

i 1

n

i 1

n

i 1

n

i 1

xi yi xi xi2

= x1 + x2 + … + x8,

= y1 + y2 + … + y8,

yi = x1 y1 + x2 y2 + … + x8 y8,
x2	x2	… x2	,
1	2	8

n		2
xi		= (x1 + x2 + … + x8)2.
i 1

При данных а и b функция принимает наименьшее значение.

13

Задание для практической работы

Построить математическую модель вида y = ax + b по экспериментальным данным x и y, значение которых приведено в приложении.

Для выполнения задания необходимо:

1.Выбрать (из приложения) по своему варианту значения

экспериментальных данных xi и yi, где i – порядковый номер измерения.

2.Нанести значения экспериментальных данных xi и yi на график в осях x0y.

3.Используя метод наименьших квадратов, построить математическую модель y = f (x). Эта функция будет описывать точки, соответствующие результатам измерений по уравнению прямой вида y = ax + b. Для этого нужно знать коэффициенты а и b, которые рассчитываются по формулам (1) и (2).

4.Подставить найденные коэффициенты а и b в уравнение прямой y = ax + b.

5.На созданном графике построить функцию y = f (x). Для этого достаточно отметить три точки (табл. 2) и через них провести прямую линию. Она должна пройти как можно ближе к точкам, соответствующим данным измерений.

			Таблица 2
	Точки для построения графика функции y = f (x)
Х	х1	х2	х3
Y	Y = aх1 + b	Y = aх2 + b	Y = aх3 + b

Пример выполнения задания

Построить математическую модель вида y = ax + b по экспериментальным данным xi и yi.

1. Экспериментальные данные xi и yi представлены ниже.

I	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	13,2	16,9	25,3	44,3	46,1	62,7	70,0	89,1
yi	11,3	19,3	28,3	36,3	46,3	57,3	67,3	76,3

2. По полученным данным строим график (рис. 1).

14

у

х

Рис. 1

3. Находим численное значение коэффициентов а и b, где n – количество измерений (n = 8). Для этого выполним следующие вычисления:

n
X i				= 13,2 + 16,9 + 25,3 + … + 89,1 = 367,6;
i 1
n
Yi = 11,3 + 19,3 + 28,3 + … + 76,3 = 342,4;
i 1
n
X iYi = 13,2 · 11,3 + 16,9 · 19,3 + 25,3 · 28,3 + … + 89,1 · 76,3
i 1
= = 20 035,88;
n			2	= 13,22 + 16,92 + 25,32 + … + 89,12 = 21 957,74;
X i
i 1
	n				2
	X i				= (13,2 + 16,9 + 25,3 + … + 89,1)2			= 135 129,8.
i 1
Для удобства данный расчет можно представить в форме
таблицы.
i					xi	yi	xiyi		(xi)2
1				13,2		11,3	149,2		174,2
2				16,9		19,3	326,2		285,6
3				25,3		28,3	716,0		640,1
4				44,3		36,3	1608,1		1962,5
5				46,1		46,3	2134,4		2125,2
6				62,7		57,3	3592,7		3931,3
7				70,0		67,3	4711,0		4900,0
8				89,1		76,3	6798,3		7938,8
n
				367,6		342,4	20 035,88		21 957,74
i 1

15

Получим

	20 035,88	1	367,6 342,4
		8
a					0,85;
			1
	21 957,74			135129,8
			8

b1 342,4 0,85 367,6 3,74. 8

4.	Уравнение прямой имеет вид: y = 0,85x + 3,74.
Точки для построения графика приведены ниже.
		x	15	50	85
		y	16,5	46,2	76,0
5.	На графике (рис. 2) по значениям х и у строим прямую.

у

х

Рис. 2

Библиографический список

1.Габриэлян О.С. и др. Концепции современного естествознания. М.:

Дрофа, 2009. 206 с.

2.Гранатов Г.Г. Концепции современного естествознания. М.: Флин-

та: МПСИ, 2005. 575 с.

3.Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. М.: Ака-

демия, 2009. 607 с.

4.Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания. М.: Высш.

шк., 2005. 327 с.

5.Лавриненко В.Н., Ратникова В.П. Концепции современного естествознания. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. 319 с.

6.Романов В.П. Концепции современного естествознания. М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2011. 286 с.

7.Романов В.П. Концепции современного естествознания: Практикум. М.: Вузовский учебник, 2008. 127 с.

16

Приложение

Экспериментальные данные xi и yi

	Вари-	i	1	2	3	4	5	6	7	8
	ант
	1	xi	12,1	15,9	26,0	45,2	47,1	63,0	70,5	90,1
		yi	11,3	19,8	27,3	35,9	46,3	58,3	69,0	75,9
	2	xi	5,7	7,8	14,0	17,3	23,5	38,0	46,4	52,9
		yi	4,5	8,9	15,4	22,3	27,7	34,5	46,1	52,2
	3	xi	7,1	12,7	19,3	26,9	30,8	39,0	47,1	55,7
		yi	6,1	9,5	19,2	23,9	26,1	35,5	48,5	52,1
	4	xi	10,2	13,9	22,3	41,3	43,1	59,7	67,0	86,1
		yi	11,5	19,0	26,8	36,2	45,4	58,1	68,5	76,1
	5	xi	14,5	18,6	27,8	48,7	50,7	69,0	77,0	98,0
		yi	14,7	25,1	36,8	47,2	60,2	74,5	87,5	99,2
	6	xi	15,8	20,3	30,4	53,2	55,3	75,2	84,0	106,9
		yi	13,2	20,4	28,5	35,7	44,7	54,6	63,6	71,7
	7	xi	12,0	15,7	25,8	45,3	47,4	62,9	70,1	90,3
		yi	11,0	19,2	26,8	35,2	45,5	58,2	68,9	75,8
	8	xi	6,6	8,5	12,7	22,2	23,1	31,4	35,0	44,6
		yi	7,9	13,5	19,8	25,4	32,4	40,1	47,1	53,4
	9	xi	14,7	18,8	28,0	48,9	50,9	69,2	77,2	98,2
		yi	10,5	17,7	25,8	33,0	42,0	51,9	60,9	69,0
	10	xi	11,3	15,3	25,2	44,0	47,3	62,9	72,0	90,1
		yi	11,5	19,0	26,8	36,2	45,4	58,1	68,5	76,1
	11	xi	14,2	18,3	27,5	48,4	50,4	68,7	76,7	97,7
		yi	14,9	25,3	37,0	47,4	60,4	74,7	87,7	99,4
	12	xi	11,0	13,9	20,6	35,8	37,3	50,6	56,4	71,7
		yi	9,2	13,2	17,7	21,7	26,7	32,2	37,2	41,7
	13	xi	5,1	7,3	13,0	16,7	23,0	36,9	45,4	50,4
		yi	4,1	7,9	15,1	21,9	25,5	33,7	44,9	51,7
	14	xi	10,7	13,9	20,7	38,0	45,0	58,7	67,0	83,0
		yi	9,3	18,5	27,4	35,0	44,3	54,1	62,6	74,3
	15	xi	13,0	15,9	22,6	37,8	39,3	52,6	58,4	73,7
		yi	11,4	17,0	23,3	28,9	35,9	43,6	50,6	56,9
	16	xi	6,7	8,2	11,5	19,1	19,8	26,5	29,4	37,0
		yi	9,5	15,9	23,1	29,5	37,5	46,3	54,3	61,5
	17	xi	7,5	13,1	20,1	27,4	30,0	38,3	48,2	56,0
		yi	6,9	10,3	20,6	24,8	30,1	35,8	48,1	52,8
	18	xi	11,3	13,9	19,8	33,1	34,4	46,0	51,1	64,5
		yi	6,9	9,3	12,0	14,4	17,4	20,7	23,7	26,4
	19	xi	9,1	11,3	16,4	27,8	28,9	38,8	43,2	54,7
		yi	7,1	11,9	17,3	22,1	28,1	34,7	40,7	46,1
	20	xi	5,8	8,8	14,5	17,1	22,9	37,2	44,8	50,6
		yi	4,3	8,2	16,0	21,1	26,1	35,7	45,2	52,3
	21	xi	6,5	8,0	11,3	18,9	19,6	26,3	29,2	36,8
		yi	10,6	17,8	25,9	33,1	42,1	52,0	61,0	69,1

17

Окончание приложения

	Вари-	i	1	2	3	4	5	6	7	8
	ант
	22	xi	7,6	9,8	14,9	26,3	27,4	37,3	41,7	53,2
		yi	5,9	9,9	14,4	18,4	23,4	28,9	33,9	38,4
	23	xi	9,2	11,8	17,7	31,0	32,3	43,9	49,0	62,4
		yi	13,6	23,2	34,0	43,6	55,6	68,8	80,8	91,6
	24	xi	6,0	7,1	9,6	15,3	15,8	20,8	23,0	28,7
		yi	7,0	11,8	17,2	22,0	28,0	34,6	40,6	46,0
	25	xi	9,2	11,8	17,7	31,0	32,3	43,9	49,0	62,4
		yi	2,8	4,4	6,2	7,8	9,8	12,0	14,0	15,8
	26	xi	4,0	5,1	7,6	13,3	13,8	18,8	21,0	26,7
		yi	6,8	11,6	17,0	21,8	27,8	34,4	40,4	45,8
	27	xi	14,0	17,3	24,9	42,0	43,6	58,5	65,1	82,3
		yi	12,5	18,9	26,1	32,5	40,5	49,3	57,3	64,5
	28	xi	5,3	6,8	10,1	17,7	18,4	25,1	28,0	35,6
		yi	10,2	17,4	25,5	32,7	41,7	51,6	60,6	68,7
	29	xi	6,2	9,4	15,2	18,5	26,0	38,2	45,3	53,0
		yi	4,5	9,1	16,1	22,5	24,2	35,5	46,8	51,9
	30	xi	7,9	10,1	15,2	26,6	27,7	37,6	42,0	53,5
		yi	6,2	10,2	14,7	18,7	23,7	29,2	34,2	38,7

18

Оглавление
Введение...............................................................................................................	3
1. Общие представления о становлении и структуре научного знания.........	4
1.1. Становление научного познания ............................................................	4
1.2. Определение науки и ее функции ..........................................................	5
1.3. Уровни научного познания действительности .....................................	7
1.4. Методы научного познания ....................................................................	9
2. Практическая работа «Моделирование в научном познании»................	12
Библиографический список..............................................................................	16
Приложение. Экспериментальные данные xi и yi ..........................................	17

Учебное издание

Шахов Сергей Александрович Рудая Татьяна Леонтьевна

СТРУКТУРНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ

Методические указания к практическим занятиям

Редактор Е.Е. Рыжкова

Компьютерная верстка Ю.В. Борцовой

Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98 Подписано в печать 12.12.2014

1,25 печ. л. 1,2 уч.-изд. л. Тираж 150 экз. Заказ № 2857

Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения

630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191 Тел./факс: [phone]. E-mail: [e-mail]

19