Таблица 4.1. Значения параметров (групповые варианты)

Номер	U(1)	U(3)	L1	L2	L3	R1	R2	R3	C1	C2	C3
группы	B	B	мГн	мГн	мГн	Ом	Ом	Ом	мкФ	мкФ	мкФ
1	10	5	0,3	0,2	0,15	100	80	70	–	10	–
2	12	6	–	0,3	–	120	120	100	15	10	5
3	18	10	0,4	0,4	–	100	60	80	–	20	10
4	20	8	–	0,5	0,2	150	70	50	20	50	–

Таблица 4.2. Схемы цепей при несинусоидальном воздействии

1

2

3

L1 С1

L3 С3

L3 С

3

R2

L2

L

С3

L2

R2 L1

3

L1

С1

R1

R1

R4

R2

С1

4

5

6

L1 С1 L2

R1

L3

С

3

L2

L

С

1

R2

1

L3

L3

С3

R2

R4

R3

R1

С3

7

8

9

R2

L1

L3

С3

R2

L1

L2

L3 L2

С1

R3

С1 L1

С1

L3

R2

С3

R4

С2

R4

С3

28

Продолжение табл. 4.2

10		11				12
L1	R1	R2	L3	R1	С1	L3	С2
С1	L3						L2
						С3
	С3 L2	R3 С3			L1	С1	L1
R4						R4	R1
	R2

13					14				15
R2
	L3	R1		С1	R2	L3			С2	R1	С2
					С3
										С1
R3 С3				L1		С1	L1	R1	С3	L1
										L3
16					17				18
	R1		R2						L3	L1	С1
	С1		L
					L3 С3		R2	L2		С3
			1
	С2		L				L1	С1			R1
			2			R2				R2

L3

29

Окончание табл. 4.2.

19			20		21
	L3 С3		L1 С1 L3		L3 С3	L1 С1
L2	R2	L1		R3
	R1	С1	R1	С3	R3	R2
			R2		R1

22			23				24
L1		R1	L1			L2	L1		R1
С1		R3	С1		R3		С1	R3
						L3			L3
			L3
	R2	С3		R2	С3		L2	С3

4.2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задана схема на рис. 4.1. Параметры элементов: R1=100 Ом; R3=70 Ом; R4=75 Ом; L1=0,3 мГн; L3=0,15 мГн. Входное несинусоидальное напряжение u c параметрами U(0)=2 В; U(1)=10 В; U(3)=5 В. Начальные фазы напряжений гармоник нулевые. Требуется выполнить приведенное выше задание.

	L1	С	L3
		1
			R4
	u	R3	С3
		R1

Рис. 4.1. Исходная схема цепи для примера

30

Нахождение неизвестных параметров конденсаторов C1 и С3

При резонансе напряжений на первой гармонике реактивное

сопротивление контура равно нулю:												= .
Отсюда искомая						−			= 0; 1
					1		1			1	1			1
				1
При			=	емкость:						∙ 0,3 ∙ 10				= 0,034 Ф.	(4.1)
				2	1	= 314			2
		1										−3
	резонансе токов на третьей гармонике реактивная
проводимость контура равна нулю:												=		3 3.
Отсюда искомая						−		= 0; 3
				3		3					3			1
			1								1
	3	=		емкость:									−элементов3 = 0,0075 Фна.		нулевой(4.2)
					2	=	реактивных2
Определение(3 токов) 3							942			∙ 015 ∙ 10

гармонике. Строим схему замещения на постоянном токе (рис.4.2), при этом E(0)=U(0).

IL1(0)	UС1(0)	IL3(0)
E(0)		R4
	R3
		UС3(0)
	R1

Рис. 4.2. Схема цепи при постоянном воздействии

Ток IL1(0)	=0, поскольку ветвь разорвана. Ток IL3(0)				находится по
где цифра в		(0)	(0)	2		(4.3)
			= 3 + 1	= 70 + 100 = 0,0117 А,
закону Ома с учетом, что сопротивление R4 замкнуто накоротко:
	3

скобках в верхнем индексе означает номер гармоники.

Нахождение комплексных действующих токов реактивных элементов на первой гармонике. Строим на рис. 4.3,а схему

31

замещения для первой гармоники с учетом резонанса напряжения. Находим комплексную действующую ЭДС первой гармоники,

комплексные сопротивления

катушки индуктивности L3

и

=

= 10 В;

=

= ∙ 314 ∙ 0,15 ∙ 10

= 0,0471 Ом;

конденсатора C3:

(1)

−3

(1)

(1)

3

3

= −

= 0,423 Ом,

=

циклическая частота.

(31)

1

= 2 ∙ 3,14 ∙ 50 = 314 рад⁄с

3

(4.4)

где

j –

мнимая

единица;

ω

2πf

–

(1)

(1)

(1)

I

(3)

ZL1(3) Z (3)

IL1

IL3

ZL3

L1

С1

E

(1)

R4

E(3)

R4

R3

R3

IC3(1)

R1

ZС3(1)

R1

а

б

Рис. 4.3. Схема замещения для первой (а) и третьей (б) гармоники с учетом резонанса напряжений и токов соответственно

Для анализа схемы на рис. 4.3,а используется метод схемных определителей [6]. Формула для тока IL1 представляется в виде отношения определителей схем числителя и знаменателя (строка 1 в

табл. П1): (1)

(1) = 1,

1 (1)

где числитель и знаменатель имеют вид соответственно:

ZL3(1)

ZL3(1)

1

R4

= R3

1

R4

2

2

=

R3

ZС3(1)

R1

Z

(1)

R1

С3

(1)

ZL3(1)

(1)

= R3

ZL3

ZС3(1)

+

ZC3

=

R1

R4

R4

R1

4 3

1

3

4 3

3 3

1 .

32

1

ZL3(1)

R4

1

1

R3

R1

R4

=E

( R3

ZL3

+

ZС3(1)

ZС3(1)

ZС3(1)

E

(1)

(1)

(1)

R4

=

L3	C3	4	C3	4	3
Здесь и далее	двумя	вертикальными			линиями обозначается

схемный определитель, одной увеличенной заштрихованной стрелкой

–	нуллатор,	а	двумя стрелками – норатор. В числителе
	(11) выделяется сопротивление R3, параллельное нуллатору (строка 5
в	табл. П3),	а	в знаменателе		(1) выделяется короткозамкнутое

сопротивление R3 (строка 2 в табл. П3), поэтому в искомом выражении тока оно сокращается. В числителе удаляется последовательное встречное соединение норатора и нуллатора (строка 6 в табл. П3) и выделяется комплексное сопротивление ZL3(1) (строка 1 в табл. П3). В знаменателе схема делится по узлам 1 и 2 на две подсхемы (строка 3 в табл. П3), полученные схемные

определители

раскрываются

по

формулам

для простейших

схем

(строки 1 и 2 в табл. П2).

В результате искомая символьная формула для тока получается в

виде

(1)

(13) ∙ (13) + 4 + (13) ∙ 4 ∙ (1)

1 =

3 + 4 ∙ 3 ∙ 1 + 3 ∙ 4 ∙ 3 + 1

.

(1)

(1)

(1)

(1)

Аналогично

получаются

символьные

выражения

для

токов

(1)

3 ∙ 4 ∙ (13) ∙ (1)

(1)

3 ∙ 4 ∙ (13) ∙ (1)

конденсатора C3

и катушки индуктивности L3:

3

=

(1)

; 3

=

(1)

.

33

Подставляя в полученные выражения численные значения сопротивлений и ЭДС, находим искомые токи реактивных элементов:

IL1(1)=0.0999999 –j0.0000530 А;IC3(1)=– 0,0125000 +j 0,0000155 А; IL3(1)=0,1124998 –j0,0001391А.

Поскольку мнимая часть токов много меньше (в 100 раз) действительной части, то ей пренебрегаем. При округлении до трех значащих цифр токи приобретают вид

IL1(1)= 0,1 А; IC3(1)=–0,0125 А; IL3(1)= 0,112 А.

Нахождение действующих комплексных токов реактивных элементов на третьей гармонике. Строим схему замещения на третьей гармонике с учетом резонанса токов (рис.4.3,б). Комплексные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора находятся по формулам (4.4), в которых вместо основной частоты ω используется

(31) = ∙3 ∙ 314 ∙0,3 ∙ 10−3

= 0,282 Ом;

утроенная частота 3ω:

= 0,141 Ом;

(33)

= ∙ 3 ∙ 314 ∙ 0,15 ∙ 10−3

(33) = −

3 ∙3141∙ 0,0075

= −0,141 Ом;

(4.5)

(31) = −

1

= −0,0312 Ом.

(3)

(3)

Комплексная

3 ∙314 ∙0,034

действующая ЭДС имеет вид

определителей схем

Формула для тока L1 находится в виде отношения

=

= 5 В.

числителя и знаменателя (строка 1 в табл. П1):

(13) =

(3)

Выражения

для

(13).

знаменателя

тока

(3)

числителя

и

IL1

соответственно:

34

					1														1		ZL1(3)						ZС1(3)
													E(3)																					R4					=E R3;
																			1				R3				R1
																																					(3)
		ZL1(3)+ ZС1(3)
															R4
																																							R3
					R3																(3)						(3)																		+									=
								R1											= (ZL1 + ZС1											)						R1+R4													R3
																																															R1		+R		4
1					1									3					4		1									3			4			1
В			числителе													стягиваются последовательно																														соединенные								с

нуллатором сопротивления ZL1(3), ZС1(3) (строка 4 в табл. П3), выделяется параллельное соединенное с нуллатором сопротивление R3(строка 5 в табл. П3) и удаляется последовательное соединение норатора и нуллатора (строка 6 в табл. П3), оставшийся схемный определитель равен 1 (строка 4 в табл. П2). В знаменателе выделяется сопротивление (ZL1(3)+ZС1(3)) (строка 1 в табл. П3) и записываются определители простейших схем (строки 1 и 2 в табл. П2).

	В результате					комплексный					действующий						ток				катушки					L1 для
			(3)								3	∙ (3)
третьей гармоники получается в виде
			1		=	(3)		(3)	∙ (		+		+		) +			∙ (				+		)	.		(4.6)
	Выражения для +																										3
						1	1		3			4		1		3					4		1				C и
							токов, протекающих								через конденсатор
катушку			индуктивности						L3,	находятся					по		закону						Ома				через
		(3)		4 ∙ 3 + (31) + (31)						∙ (3)				(3)		(33)					(3)		(33)
напряжение на конденсаторе:													;		=				;			=			( ,		(4.7)
		(3)	=				аналогично
															(3) 3					3			3
	3							(3)					3		1
где				находится								току					по				САФ					схемно-
алгебраическим							формулам)						в			строке								2			из
	3

табл. П1.

35

Подставляя в (4.6) и (4.7) численные значения сопротивлений, находим искомые токи реактивных элементов:

	IL1(3)=0,0285707 – j0,0001435А; IC3(3)=0,0217682 + j15,165192А;
							IL3(3)=–0,0217682 –j 15,165192 A.
	Поскольку в каждом значении тока одна из частей – мнимая или
действительная							– в	100			раз меньше другой, то ей пренебрегаем.
В результате: IL1(3)=0,0286А; IC3(3)=j15,2А; IL3(3)=–j15,2А.
	Действующие значения входного напряжения и токов
реактивных					элементов.						Формулы						для	действующих									значений
= (					)		+ (		)		+ (			)		; = (			)		+ (			)		+	(		) .
несинусоидального напряжения и тока имеют вид соответственно:
				(0)		2		(1)		2		(3)			2			(0)		2			(1)		2			(3)		2
	Действующие значения входного напряжения и токов
реактивных элементов:																=	0 + 0,1					+ 0,0286					= 0,1 А;
	=		2 + 5 + 10					= 11,36 В;													2
вх			2		2		2										2									2
	=				+ 0,112				+ 15,2
3		0,117											=		15,2 А; 3 = 15,2 А.
				2				2			2

Мгновенные значения токов реактивных элементов. Общая

формула для мгновенного значения тока:

= (0) + √2 (1) sin + (1) + √2 (3) sin 3 + (3) .

Мгновенные токи катушек индуктивности L1,L3, конденсатора С3

и мгновенное напряжение на входе цепи имеют вид соответственно:

1

= √2 ∙ 0,1 ∙ sin 314

)

+ √2 ∙ 0,0286 ∙sin 942

)

А;

(4.8)

(

(

3

= 0,0117 + √2 ∙0,112 ∙ sin(314 )

+ √2 ∙ 15,2 ∙ sin(942 −90°) А;

3

= −√2 ∙0,0125 ∙ sin(314 ) + √2 ∙

15 ,2 ∙ sin(942 + 90°) А;

(4.9)

вх

= 2 + √2 ∙ 10 ∙ sin 314

+ √2L∙15

∙ sin 942 В.

на входе цепи u

вх

Построение графиков(

)тока i

и напряжения( )

Графики iL1 и uвх показаны на рис.

4.2 и рис. 4.3,

они строятся по

36

точкам путем суммирования гармонических составляющих в (4.8) и (4.9) или с помощью математических систем [7].

В примере искомые токи и напряжения найдены для каждой из гармоник в отдельности. Можно найти искомые выражения токов и напряжений для произвольной гармоники с номером k, а затем получить выражения для заданных значений k.

37

5.ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Вразделе рассматривается задача расчета режима симметричных трехфазных электрических цепей. Решение этой задачи сводится к анализу схемы одной из фаз цепи. Такой подход упрощает анализ симметричных трехфазных цепей.

5.1.ЗАДАНИЕ ПО РАСЧЕТУ РЕЖИМА ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Дана симметричная трехфазная электрическая цепь (табл. 5.1), параметры элементов которой приведены в табл. 5.2. Частота трехфазного источника f = 50 Гц. Задание является индивидуальным в соответствии с вариантом, который определяется порядковым номером студента в учебном журнале.

Требуется:

1)найти действующие комплексные токи и напряжения всех элементов цепи любым известным методом;

2)построить векторные диаграммы напряжений и токов для схемы замещения одной из фаз;

3)составить баланс мощности в цепи.

			Таблица 5.1. Симметричные трехфазные цепи
1	Lл	Rл	L2 R2	2				3	Lл	Rл
					Lл Rл	C1 R1		A
A				A
										R2
В				В				В
С				С
			R3
						L2	R2
			C3					С
										L1	R1

38

Продолжение табл. 5.1

	4	L1	5	Lл Rл	R1	6	Lл Rл	L1
	A Lл Rл		A			A
	В		В			В
	С		С		R2	С		R2
		C	R1
					C2			C2

	7			8			9
		Rл	L1 R1	Lл	C1	R1
	A						Lл	C1 R1
				A
	В			В			A
							В
	С			С
			R2		L2		С
						R2		L2
			C2

10	Lл	R1	11	Rл	L1	12
A		L1	A			A	Rл	R1
		C
В			В			В
						С
С			С
						R2		R2
		R2				C2		C2

39

Продолжение табл. 5.1

13		14	Lл	L1	15 L	л	R2
A Lл	C1 R1	A
					A		C2
В		В
С		С		R2	В
	R2
				C2	С		R1

16

L1

17

18

A

L

R

л

R

1

A

L

л

L1

л

A

Lл

R1

В

В

В

С

С

С

C1

R2

C1 R1

C1 R2

19		20		21	Rл
A Rл	L1 R1	A Rл	L1	A	R2
В		В
				В	C2
С		С
	C1 R2		C1 R1	С	L1 R1

40

									Окончание табл.5.1
22	R	L	R		23			24	Lл	C1	R1
A				1	A
		1						A
В					Lл	R2
								В
С					В	C2
								С
			R2								R2
		C2								C2
					С	L1	R1

Таблица 5.2. Значения параметров (групповые варианты)

	Номер		Rл,	Lл,	L1,	L2,	C1,	C2,	R1,	R2,	M,
	учебной	Uл, B
			Ом	мГн	мГн	мГн	мкФ	мкФ	Ом	Ом	мГн
	группы
	1	380	2	5	4	2	1000	500	4	3	1
	2	220	2	6	5	3	500	1000	5	2	2
	3	127	3	8	4	6	800	440	3	3	3
	4	380	4	5	6	8	600	450	4	2	2

Обозначения: Uл – действующее значение линейного напряжения; Rл, Lл – активное (резистивное) сопротивление и индуктивность линейного провода; L1,L2,C1,C2 – индуктивности и емкости нагрузок; R1, R2, R3 – активные сопротивления нагрузок. При отсутствии в схеме элемента, параметр которого приведен в табл. 5.2, этот параметр не учитывается при расчете режима.

5.2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задана схема на рис. 5.1,а. Параметры элементов даны в строке 1

в табл. 5.2: R1=4 Ом; R2=3 Ом; Lл=5 мГн; L2=2 мГн; C1=1000 мкФ и

Uл=380 В. Требуется выполнить приведенное выше задание.

41

Lл	C1	R1	Lл			R1 I2
A					C1
В			IE
С					L2
			E
	L2	R2		I11
					R2	I22
					I1
	а				б

Рис. 5.1. Схемы цепи для примера: исходная (а); схема замещения для фазы А (б)

Нахождение комплексных действующих токов и напряжений элементов цепи методом контурных токов. Построим комплексную схему замещения цепи для фазы А (рис. 5.1,б). Здесь и далее обозначение фазы A при символах токов и напряжений не

показываются. Комплексные сопротивления катушек индуктивности

2

= 2

= 2

= ∙ 314 ∙2 ∙ 10−3

= 0,628 Ом;

и конденсатора находятся по формулам:

= 1,57 Ом;

л = л

= л

= ∙314 ∙5 ∙ 10−3

1

= −

1

1

−6 = −3,18 Ом,

(5.1)–

мнимая= −единица= − ;

ω = 2πf

где

j –

1

1

314 ∙ 1000 ∙10

= 2 ∙ 3,14 ∙50 = 314 рад⁄с –

циклическая частота;

реактивные

2 = 0,628 Ом; л

= 1,57 Ом; 1 = 3,18 Ом

сопротивления катушек индуктивности и конденсатора

соответственно.

л

фазы А имеет вид

Комплексное действующее значение ЭДС

Рассчитываем

=

контурных= 219,4 В.токов [1–3]

численные

методом

√3

значения комплексных действующих напряжений и токов всех элементов цепи. Задаем в контурах I и II комплексные контурные токи I11, I22 и составляем систему уравнений:

42

11

∙ 11

+ 12

∙ 22

= 11;

(5.2)

где 11

= 2

21

∙ 11

+ 22

∙ 22

= 22;

+ ( л + 2); 12

= 21

= −2

− 2;

=

+

−

1 +

;

= ;

= 0.

22

2

2

1

11

22

1

Решаем систему уравнений (5.2) методом Крамера аналогично

= 21

22 =

∙

−

∙ .

(5.3)

примеру в п. 1.2. Главный определитель имеет вид

11

12

11

22

12

21

11

12

Модифицированные определители:

− 12

∙ 22

,

(5.4)

I11

= 22

22

= 11

∙ 22

Токи I11

и I22

= 21

22 =

∙

−

∙

,

(5.5)

I11

11

11

11

22

11

21

находятся как отношение числителей (5.4) и (5.5)

соответственно к знаменателю (5.3):

(5.6), (5.7)

11

=

I11

; 22

=

I22

.

Для получения символьных выражений контурных токов

подставляем

в

формулы

(5.3–5.5)

выражения

комплексных

л

1

2

сопротивлений. Определитель в выражении (5.3) имеет вид

− 2)

= 2 + ( + 22) ∙ 2 + 2

−

1 + 1 −

(−2

= 18,01 + 3,9 Ом ;

11

и I

22

в выражениях (5.6)–(5.7)

Числители для контурных токов I

л

1

соответственно:

−

1 + 1

= 1535,7

−

560,9 В∙ Ом;

I11

=

√3 ∙л 2 + 2

I22

= −√3 ∙ (−2

− 2) = 658,18

+ 137,8 В∙ Ом.

Контурные токи I11 и I22 находятся по формулам (5.6)–(5.7):

43

Токи в ветвях 11 = 88,65 ∙

− 32,4°

А; 22 = 36,46 ∙

− 0,53°

= 11

= 88,65 ∙ −32,4° А; 2 = 22 = 36,46 ∙ − 0,53° А;

1 = 11

цепи на рис.5.1, б:

− 0,34) = 38,3 − 47,19 =

− 22 = 74,8 − 47,5 −(36,5

= 60,77 ∙

− 51°

А;

2

= 2

∙ 1

= 3 ∙60,77 ∙ − 51° = 182,31 ∙ − 51° В;

1

Находим напряжения на всех элементах цепи на рис.5.1,б:

= 1

∙ 2

= 4 ∙ 36,46 ∙ − 0,53° = 145,84 ∙ − 0,53° В;

л

= л

∙ = 74,6 + 117,5 = 139,2 ∙ 57,5°

В;

2

= 2

∙ 1

= 29,6 + 24,1 = 38,2 ∙ 39° В;

В.

= 1

∙

= −1,09 −

116,12 = 116,1 ∙

269,4°

1

−

2

Токи

и

напряжения

фаз

В и

С находятся умножением на

=

∙ 1 = ∙ −120° ;

= ∙ 2 = ∙ 120° . (5.8), (5.9)

соответствующий оператор:

Составление баланса мощности в цепи.

При симметричном

режиме активная, реактивная и комплексная мощности источников и потребителей трехфазной= 3 ∙ цепи; находятся= 3 ∙ ; по=формулам3 ∙ , (:5.10) −(5.12)

где , , − активная, реактивная и комплексная мощность соответствующих элементов в схеме замещения фазы А.

Находим комплексные, активные и реактивные мощности всех элементов в схеме фазы А на рис.5.1,б. Комплексная, активная и

реактивная= ∙ =мощности219,4 ∙ 88,65источника∙ 32,4ЭДС° = 16418,2: + 10429,6 В∙ А;

= 16418,2 Вт; = 10429,6 вар.

Активная мощность резисторов:

44

1

= 1

∙ 2

= 4 ∙ 36,46

2

= 5318,4 Вт.

= 2

2

= 11099,8 Вт.

2

∙ 1

= 3 ∙ 60,77

= л

2

2

л

∙

= 1,57 ∙ 88,65 = 12340,5 вар;

2

2

2

Реактивные мощности конденсатора и катушки индуктивности:

= 2

∙ 1

= 0,628 ∙60,77 = 2323,6 вар;

2

2

1

= − с1 ∙ 2

= −3,18 ∙ 36,46 = −4234,4 вар.

2

2

= 1 + 2

= 5318,4 + 11099,8 = 16418,2 Вт.

Сумма активных мощностей резисторов:

= л + 2 + 1 = 12340,5 + 2323,6 − 4234,4 = 10429,7 вар.

Сумма реактивных мощностей нагрузки:

Находим мощности в трехфазной схеме по формулам (5.10)–

= 3 ∙

= 3 ∙

(16418,2 + 10429,6 ) = 49254,6 + 31288,8 В∙А;

(5.12). Комплексная мощность трехфазного источника:

= 49254,6 Вт; = 31288,8 вар.

= 3 ∙

= 3 ∙16418,2 = 49254,6 Вт;

Активная и реактивная мощности пассивных элементов:

= 3 ∙ = 3 ∙ 10429,7 = 31289,1 вар.

Активная

и реактивная мощности источника равны

соответствующим мощностям потребителей с погрешностью 1%.

Построение векторных диаграмм токов и напряжений для контура I фазы А в схеме 5.1,б

45