Bezverkhniy_Kratnye_integraly_2014
.pdfМосковский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
Н. В. Безверхний
Кратные интегралы
Методические указания к решению задач по дисциплине «Кратные интегралы и теория функций комплексного переменного»
Москва
2014
УДК 517.37 ББК 22.161.1 Б39
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book200.html
|
Факультет «Фундаментальные науки» |
|
Кафедра «Математическое моделирование» |
|
Рекомендовано Учебно-методической комиссией |
|
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» |
|
МГТУ им. Н. Э. Баумана |
|
Рецензент : д-р физ.-мат. наук, профессор О. В. Пугачев |
|
Безверхний Н. В. |
Б39 |
Кратные интегралы : метод. указания / Н. В. Безверхний. — |
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 64, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3990-4
В методических указаниях дано описание предусмотренных учебным планом МГТУ им. Н Э. Баумана приемов и задач, связанных с вычислением кратных интегралов. Приведен справочный материал, содержащий основные определения и формулировки теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предложены задачи для самопроверки. Рассмотрены приложения кратных интегралов к задачам механики.
Для студентов младших курсов МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специальностей.
УДК 517.37 ББК 22.161.1
|
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 |
|
© Оформление. Издательство |
ISBN 978-5-7038-3990-4 |
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 |
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов младших курсов всех специальностей, изучающих математический анализ и его раздел «Кратные интегралы». Цель пособия — помочь студентам в освоении практической составляющей раздела «Кратные интегралы», поэтому его основу составляют примеры и задачи. При этом рассмотрены не только примеры решения задач теоретического характера на вычисление объемов тел, площадей и т. п., но и приложение теории кратных интегралов к задачам механики.
Теоретический материал изложен в объеме, необходимом для понимания рассматриваемых методов решения. Весь материал разбит на подразделы, соответствующие различным типам задач, таким как вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах или замена переменных в двойном интеграле.
Каждый раздел содержит основы теории, примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельной работы, которые можно использовать как на практических занятиях, так и в качестве вариантов домашних заданий.
Прилагаемый в конце пособия список литературы рассчитан на углубленное изучение теоретического материала и рекомендуется для подготовки к экзамену. Кроме того, он поможет освежить знания, полученные в предыдущих семестрах и необходимые для решения задач текущего раздела.
Автор выражает свою благодарность доценту кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана О.В. Пугачеву, давшему ряд полезных советов.
3
1.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
ВПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
1.1.Определение и простейшие свойства двойного интеграла
Пусть в области σ плоскости xOy определена функция
z = f (x, y) = f (P),
где P — точка плоскости xOy с координатами ( x, y). Выполним следующие действия.
1. Разобьем область σ на n малых областей Δσ1 , …, Δσn так, чтобы сумма их площадей была равна площади всей области σ:
S(σ) = ∑in=1S(Δσ1 ) и σ = in=1 Δσi . Совокупность таких областей назовем разбиением области σ и обозначим T = {Δσ1, …, Δσn }.
2. В каждой малой области Δσi выберем произвольную точку
Pi ( xi , yi ). Множество {P1, …, Pn } таких точек назовем разметкой разбиения T области σ и обозначим ξ. Разбиение T вместе с разметкой ξ назовем размеченным разбиением области σ и обозначим Tξ .
3. Составим сумму
n |
n |
|
S f (Tξ ) = ∑f (Pi )S(Δσi ) = ∑f (xi , yi )S(Δσi ). |
(1.1) |
|
i=1 |
i =1 |
|
Сумму вида (1.1) называют интегральной суммой, составлен- |
||
ной для функции двух переменных |
z = f (P) = f (x, y) |
по разме- |
ченному разбиению Tξ . |
|
|
4
4. Предположим, что существует предел интегральных сумм S f (Tξ ) при неограниченном увеличении числа n малых областей
и стягивании каждой из них в точку и что этот предел не зависит от способа разбиения области σ на малые области Δσi и от выбора в каждой из них точек Pi ( xi , yi ). Этот предел называют двойным интегралом от функции z = f (P) = f (x, y) по области σ и обозначают
∫∫ f (P)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy,
σσ
афункцию f ( x, y) называют интегрируемой в области σ.
Итак,
n
∫∫ f (x, y)dxdy = lim ∑f (xi , yi )Δσi .
σ n→∞ i=1
Область σ называют областью интегрирования, функцию f ( x, y) — подынтегральной функцией, f ( x, y)dxdy — подынтегральным выражением.
Любая непрерывная в ограниченной области σ функция интегрируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только непрерывных функций.
Двойной интеграл обладает следующими свойствами:
1) для любой действительной константы C и интегрируемой функции f (P) функция f1(P) = Cf (P) тоже интегрируема, и верно равенство
∫∫ f (P)dxdy = C∫∫ f (P)dxdy;
σσ
2)если для интегрируемых функций f1(P), f2 (P) определить новую функцию f (P) = f1(P) ± f2 (P), то она тоже будет интегрируема, и
∫∫f (P)dxdy = ∫∫ f1(P)dxdy ± ∫∫ f2 (P)dxdy;
σ |
σ |
σ |
5
3) если область σ состоит из двух областей σ1 и σ2 , то
∫∫ f (P)dxdy = ∫∫ f (P)dxdy + ∫∫ f (P)dxdy.
σ |
σ1 |
σ2 |
Свойства 1 и 2 называют свойствами линейности интеграла, а свойство 3 — свойством аддитивности.
1.2.Вычисление двойного интеграла
впрямоугольных координатах
Область σ на плоскости xOy назовем простой областью:
1) относительно оси Ox, если она ограничена справа графиком непрерывной функции x = ψ2 ( y), слева — графиком непрерывной функции x = ψ1( y), а сверху и снизу отрезками прямых y = c, y = d, каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.1);
2) относительно оси Oy, если она ограничена сверху графиком непрерывной функции y = ϕ2 (x), снизу — графиком непрерывной функции y = ϕ1 (x), а с боков отрезками прямых x = a, x = b, каждый из которых может вырождаться в точку (рис. 1.2).
Рис. 1.1 Рис. 1.2
Следует заметить, что если область σ не является простой, то ее разбивают на конечное число простых областей σ1 , …, σn и при
6
вычислении двойного интеграла по области σ используют третье свойство двойного интеграла.
Если область σ является простой относительно оси Ox , то двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле
|
d ψ2 ( y) |
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy |
∫ f (x, y)dx. |
(1.2) |
|
σ |
c |
ψ1 ( y) |
|
|
ψ2 ( y) |
|
|
Здесь внутренний интеграл |
∫ f ( x, y)dx берут по x |
при фикси- |
|
|
ψ1 ( y) |
|
|
рованном, но произвольном в отрезке [c, d ] значении |
y от левой |
границы области σ до правой. В результате получается некоторая функция от y, которую интегрируют затем по отрезку [c, d ].
В случае простой относительно оси Oy |
области |
σ двойной |
||||
интеграл по этой области вычисляют по формуле |
|
|
||||
|
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx |
∫ f (x, y)dy. |
|
(1.3) |
|||
σ |
|
a ϕ1( x) |
|
|
|
|
Наиболее простой вид формулы (1.2), (1.3) принимают в случае |
||||||
прямоугольной области |
σ, |
ограниченной прямыми |
x = a, |
x = b, |
||
y = c, y = d : |
|
|
|
|
|
|
|
b |
d |
d |
b |
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx∫ f (x, y)dy = ∫dy∫ f (x, y)dx. |
(1.4) |
|||||
σ |
a |
c |
c |
a |
|
|
Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл ∫∫( x + y3 )dxdy по |
||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
прямоугольной области |
σ, |
ограниченной прямыми |
x = 1, |
x = 2, |
||
y = 0, y = 2 (рис. 1.3). |
|
|
|
|
|
|
Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (1.4): |
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
∫∫(x + y3 )dxdy = ∫dx∫(x + y3 )dy. |
|
|
||||
σ |
|
1 |
0 |
|
|
|
7
|
|
|
Внутренний |
интеграл |
вы- |
|||||||||||||
|
|
|
числяем, считая x постоянным: |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
y4 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∫(x + y |
|
)dy = xy + |
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x + |
24 |
|
= 2x + 4. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученную функцию от x |
|||||||||||||||
Рис. 1.3 |
интегрируем по отрезку [1; |
2] : |
||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫∫(x + y |
|
)dxdy = ∫(2x + 4)dx = |
2 |
|
|
|
+ 4x |
|
|
= 7. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
σ |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечани е. Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не выполняют, а все выкладки записывают в виде цепочки равенств следующим образом:
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
y4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫∫(x + y |
|
)dxdy = ∫dx∫(x + y |
|
)dy = ∫ xy + |
|
|
|
|
dx = |
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
σ |
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫(2x + 4)dx = (x2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x) |
1 = 7. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Такой записью мы и будем пользоваться в дальнейшем. |
|
|
|||||||||||||
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∫∫ |
x |
dxdy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если область σ ограничена параболами |
y = x2 , x = y2 |
и прямой |
|||||||||||||
x = 1 / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Область σ простая относительно оси Oy. |
Она имеет |
||||||||||||||
нижнюю |
границу |
y = x2 |
|
и верхнюю границу x = y2. |
Причем |
8
верхняя граница может быть задана
уравнением y = x, так как область
σ находится в первом квадранте, где y > 0. Заметим, что параболы пере-
секаются в точках O(0; 0) |
и |
A(1; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(рис. 1.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
При любом фиксированном зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
чении x из отрезка [1 / 2; 1] |
|
y |
|
|
меня- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ется от y = x2 |
до |
y = |
|
x. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
по формуле (1.3) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
1 |
x |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫∫ |
dxdy = ∫ dx |
∫ |
dy = ∫ x(ln y) |
|
|
dx = ∫ x(ln |
|
x − ln x2 )dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ |
|
y |
|
1/2 |
2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln x − 2ln x |
dx = − |
|
x ln xdx = − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ln x |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
2 |
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
1/2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
− |
|
|
|
ln |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
ln 2 + |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 4 2 2 2 |
|
|
|
1/2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Замечани е. Интеграл |
|
∫x ln xdx берется методом интегриро- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вания по частям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dxdy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если область σ ограничена кривой x = 2 + sin y |
и прямыми x = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 0, |
y = 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Решение. Область |
σ является простой относительно оси |
|
Ox. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ее левая граница является графиком функции |
x = 0, |
|
|
а правая — |
графиком x = 2 + sin y. При любом фиксированном значении y из
9
отрезка [0; 2π] x меняется от x = 0 до x = 2 + sin y (рис. 1.5). По-
этому по формуле (1.2) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2π 2+sin y |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
dxdy = ∫ dy |
∫ |
dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
2+sin y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ x2 |
|
|
|
|
|
dy = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ (2 + sin y)2 dy = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
2π(4 + 4sin y + sin 2y)dy = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
1 − cos 2 y |
1 2π |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
= |
|
∫ |
|
4 |
+ 4 sin y + |
|
|
|
|
|
dy = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
+ |
4 sin y − |
|
cos 2 y dy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
− 4 cos y − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
1 |
(9π − 4 + 4) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
y |
|
sin 2 y |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
Пример 1.4. Вычислить двойной интеграл
∫∫y ln xdxdy,
=
9π .
4
|
D |
|
если область D ограничена линиями xy = 1, y = |
x, x = 2. |
|
Решение. Область D является правильной относительно оси Oy |
||
и ограничена сверху графиком функции y = x, |
снизу — графиком |
|
функции y = 1 / x, |
справа — отрезком прямой x = 2 (рис. 1.6). Она |
|
проектируется в отрезок [a; b] оси Ox, где b = 2, |
а число a находит- |
|
ся из уравнения |
a = 1 / a : a = 1. |
|
По формуле (1.3) имеем |
|
10