Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

вательность частичных сумм Sa n ограничена сверху числом Sb .

Но эта последовательность не убывает. Следовательно, согласно теореме Вейерштрасса существует limn Sa n Sa Sb. Послед-

нее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном пере-

ходе в неравенстве. Следовательно, ряд an сходится.

n 1
Пусть ряд an расходится. Если ряд	bn сходится, то и ряд
n 1	n 1

an сходится. Пришли к противоречию с расходимостью ряда

n 1

an. Следовательно, ряд bn расходится.

	n 1		n 1
		1		1	1		1
	Пример. Ряд		расходится, так как			, а ряд
	n 2 ln n			ln n n		n 2 n

(гармонический) расходится.

Теорема (второй признак сравнения). Пусть существует ко-

нечный предел отношения

	lim		an	C 0.
		n b
			n
Тогда ряды an	и bn		сходятся или расходятся одновре-
n 1	n 1

менно (оба сходятся или оба расходятся).

Каждый из таких рядов называется рядом сравнения для другого ряда.

Доказательство. Раскроем определение предела:

0 N , n N	an	C	.
	b
	n

Получим двойное неравенство

160

С an C ; bn (C ) an bn (C ). bn

Если ряд an сходится, то по первому признаку сравнения ряд
n 1
bn (C ) сходится ( C 0, так как		малó). Тогда ряд bn
n 1			n 1
сходится(свойство сходящихсярядов).
Если ряд bn сходится, то ряд	bn (C ) сходится (свойство
n 1	n 1
сходящихся рядов). Тогда по первому признаку сравнения ряд an
сходится.			n 1
Пусть ряд an расходится. Если ряд		bn сходится, то по
n 1		n 1
первой части доказательства ряд	an	сходится	(противоре-
	n 1
чие). Пусть ряд bn расходится.	Если ряд an		сходится, то
n 1		n 1

ряд bn сходится (противоречие).

n 1

Замечание. Если C 0, то из сходимости ряда bn следует

		n 1
сходимость ряда an .	Если C ,	то из расходимости ряда bn
n 1		n 1

следует расходимость ряда an . Докажите это самостоятельно.

n 1

Пример. Ряд с an n23 4n 2 расходится по второму при- n n 5

знаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

161

sin

1

n 1

1

1

n2

Пример. Ряд

сходится. Функция

sin

~

n arctg n

n

2

n

2

n 2

1

n , функция

arctg n

ограничена. Ряд сравнения

–

2

n 2 n

сходящийся ряд Дирихле.

П1.3.3. Признак Даламбера

Теорема (конечная форма признака Даламбера). Пусть для любого числа n N выполнено неравенство

an 1 q 1, an

тогда ряд an

сходится. Пусть для любого числа

n N выпол-

n 1

нено неравенство

an 1

1,

an

тогда ряд an

расходится.

n 1

Доказательство. Пусть для любого числа n N выполне-

но неравенство

an 1

q 1. Тогда справедливо неравенство

a

n

a

qa

q2a

n 1

q3a

n 2

... qna .

n 1

n

1

Оценим частичную сумму ряда:

Sn a1

a2

... an a1 a1q ...

a qn 1 a (1 q q2 ... qn 1)

a1

.

1

1

1

q

162

Следовательно, ряд an сходится. Можно было, не оценивая

n 1

частичную сумму ряда, заключить, что ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть для любого числа n N выполнено неравенство an 1 1. an

Отсюда следует неравенство

a2 a1 a1, a3 a2 a1, ..., an a1.

Поэтому an не стремится к нулю при n , необходимый

признак сходимости ряда не выполнен, ряд an расходится.

n 1

Теорема (предельная форма признака Даламбера). Пусть спра-

ведливо неравенство

limn an 1 q 1, an

тогда ряд an сходится. Пусть выполнено неравенство

n 1

limn an 1 q 1, an

тогда ряд an расходится. Если

n 1

limn an 1 q 1, an

то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

163

Доказательство. Пусть справедливо неравенство

limn an 1 q 1. an

Раскроем определение предела: для любого числа 0 существует номер N, такой, что для любого номера n > N выполнено нера-

	венство	an 1	q	. При малом ε выполнено двойное неравенство
		a
		n
				0 q	an 1	q 1.
					a
					n

Согласно конечной форме признака Даламбера ряд an схо-

n 1

дится.

Пусть выполнено неравенство

limn an 1 q 1. an

Раскроем определение предела: для любого числа 0 существует номер N, такой, что для любого номера n > N выполнено неравенство

an 1 q . an

При малом ε выполнено неравенство

1 q an 1 . an

Поэтому для любого номера n > N выполнено неравенство an 1 an . Следовательно, an не стремится к нулю при n ,

необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд an

n 1

расходится.

164

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.

Если общий член ряда содержит факториал, то его можно за-

	n n				при n
менить, используя формулу Стирлинга	n! ~			2 n
	e

и применять второй признак сравнения.

Пример. Исследовать

сходимость

ряда

n!

. Применим

n

предельную форму признака Даламбера:

n 1 n

a

(n 1)!nn

lim

n 1

lim

n

n (n 1)n 1 n!

an

nn

1

1

limn

limn

e 1.

(n 1)n

1

n

1

n

Ряд сходится по признаку Даламбера.

e

n

n!

Пример. Исследовать сходимость ряда

. Рассмотрим

n

n

отношение последующих членов ряда:

n 1

a

en 1 n 1 !nn

e n 1 nn

e

n 1

1.

(n 1)n 1 enn!

n 1 n 1 n

n

an

1

1

n

Так						1	n
	как последовательность 1					n	, монотонно возрастая,
стремится к e при n ,				то для любого n N выполнено нера-
венство		an 1	1. Следовательно, для любого номера n > N выпол-
		an
нено неравенство an 1 an.				Поэтому an			не стремится к нулю при
							165

n , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд

	an расходится.
	n 1
	Отметим, что
	lim	n	an 1		e				1.
			an				1	n
					limn 1
							n

Поэтому признак Даламбера в предельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак в конечной форме позволяет установить расходимость ряда.

П1.3.4. Радикальный признак Коши

Теорема (конечная форма радикального признака Коши). Пусть для любого номера n > N выполнено неравенство n an q 1, тогда

ряд an сходится. Пусть для любого номера n > N выполнено

n 1

неравенство n an 1, тогда ряд an расходится.

n 1

Доказательство. Пусть для любого номера n N выпол-

нено неравенство	n a	q 1.	Тогда	справедливо неравенство
	n
an qn, q 1, ряд an		сходится по первому признаку сравнения
	n 1
с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Пусть для любого номера n N выполнено неравенство n a 1.
				n
Тогда справедливо неравенство			an 1,	ряд an расходится, так

n 1

как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Теорема (предельная форма радикального признака Коши).

Пусть выполнено неравенство limn n an q 1, тогда ряд

166

an	сходится. Пусть выполнено неравенство limn	n an
n 1

q 1, тогда ряд an расходится.

n 1

Доказательство. Пусть limn n an q 1, тогда для любого номера 0 существует номер N, такой, что для любого но-

мера n N выполнено неравенство n an q . Тогда при малом ε

выполнено неравенство n an q 1. Следовательно, ряд	an
	n 1

сходится в соответствии с конечной формой радикального признака Коши.

Пусть		lim	n			n	a	n	q 1, тогда для любого номера	0 су-
ществует номер N,							такой, что для любого n N выполнено нера-
		n a	q		.
венство									Тогда при малом ε выполнено неравенство
		n
n an q 1. Отсюда следует неравенство an qn 1.
										Ряд an

n 1

расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

									n
Пример. Исследовать сходимость ряда									n2	. Рассмотрим
									n 1
предел						n 1		3
lim		n a	lim	2n 3n		2		1,
	n			n 3		3
		n

ряд сходится по радикальному признаку Коши в предельной форме. Замечание. У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость гармонического ряда. Проверьте это. Гармонический ряд расходится, но расходится так слабо, что попадает в «зону нечувствительности» указанных признаков. Интегральный признак Коши имеет меньшую «зону нечувствительности» и позволяет установить расходимость

гармонического ряда.

167

П1.3.5. Перестановка местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах

Теорема Дирихле. Пусть an – сходящийся знакоположи-

n 1

тельный ряд. Тогда его члены можно переставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

Доказательство. Проведем доказательство по индукции. Пусть меняются местами два члена ряда: ak и am , m k. То-

гда в исходном ряде и полученном перестановкой членов ряде частичные суммы, начиная с Sm , будут совпадать. Следовательно,

ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будет сходиться и иметь ту же сумму.

Пусть при перестановке местами r членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму.

Пусть переставляются r 1 членов ряда. Эта перестановка сводится к перестановке r членов ряда, а затем к перестановке еще какого-либо члена с каким-либо другим членом (перестановке двух членов ряда).

По индуктивному предположению при перестановке местами r членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму. Ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будет сходиться и иметь ту же сумму. Следовательно, и при перестановке r 1 членов ряда ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

П1.3.6. Общие признаки сходимости

В подразд П1.3.3 (признак Даламбера) рассматривалось отношение

an 1 1 . an Dn

Обозначим kn Dn 1, k limn kn . Если существует N, такое, что выполнено неравенство kn 0 или k > 0, то ряд сходится (признак Даламбера в конечной форме, или предельной форме), иначе ряд расходится. Здесь Dn – вариáнта Даламбера.

168

Можно сформулировать более сильные признаки сходимости. Обозначим варианту признака Vn. Общая формулировка такова:

пусть limn Vn 1 k. Если k > 0, то ряд сходится; если k < 0, то ряд расходится, если k = 0, признак ответа не дает.

Если выбрать Vn Kn n 1an , получим радикальный признак

Коши; если выбрать Vn Dn – признак Даламбера. Выбрав Vn Rn n Dn 1 , получим более сильный, чем признаки Коши и Даламбера, признак Раабе. Выбрав Vn Bn ln n Rn 1 , получим

еще более сильный признак Бертрана.

Обобщает эти признаки признак Куммера. Сформулируем его в предельной форме.

Пусть c1, c2 , ..., cn – произвольная последовательность поло-

жительных чисел, такая, что ряд		1	расходится. Составим ва-
		c
	n 1 n
рианту Vn cn Dn cn 1 1.	Пусть limn Vn 1 k. Если k > 0, то

ряд сходится; если k < 0, то ряд расходится; если k = 0, признак ответа не дает.

Выбрав cn 1, получим признак Даламбера (а заменив формально Dn на Kn , получим радикальный признак Коши). Выбрав

cn n,

получим

признак Раабе,

тогда

Vn nDn n 1 1

n Dn 1 Rn .

Выбрав

cn nln n,

n 2,

получим признак Бер-

трана, так как

n

n

ln n

n

V nln nD

n 1 ln

n 1 1

n(D

1) 1 nln n

ln n nln n 1 ln n 1 1 Bn n 1 ln n 1 ln n 1

B ln

1

n 1

1,

1

n

n

lim

V

lim

n

B ln lim

1

1

ln e 1 lim

n

B .

n n

n

n

n

n

169