Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)
.pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
С.В. Галкин
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
С.В. Галкин
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным специальностям
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011
УДК 517.5(075.8) ББК 22.161.5
Г16
Рецензенты: С.А. Агафонов, В.А. Гречихин
Галкин С.В.
Г16 Теорияфункцийкомплексногопеременногоиоперационное исчисление: учеб. пособие для вузов / С.В. Галкин. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 240 с. : ил.
Рассмотрены два раздела общего курса математики для технических университетов: «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление», а также теория числовых рядов, теория поля, рядыФурье ипреобразованиеФурье.
Приведены основные понятия и теоремы, доказательства теорем, примеры.
Для студентов 1–4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех факультетов.
УДК 517.5(075.8) ББК 22.161.5
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ
В учебном пособии излагаются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. По этим дисциплинам написано довольно много хороших учебников и задачников. Это книги для студентов университетов (см., например, [1, 2]) и втузов (см., например, [3, 4]). Они написаны более 20 лет назад и стали библиографической редкостью. Сравнительно недавно коллективом профессоров и преподавателей МГТУ им. Н.Э. Баумана (научные редакторы, профессора В.С. Зарубин и А.П. Крищенко) написана серия учебников по математике для технических университетов, в ее выпусках X и XI [5, 6] подробно рассматриваются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления.
Сами по себе эти разделы очень интересны. Ведь по теореме Фробениуса только четыре алгебраические структуры (действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октавы) являются единственными алгебрами над полем действительных чисел. В ассоциативных октавах — кентаврах [7] — прекрасно описывается окружающая нас реальность, а ее обобщение — в работе [8]. Поскольку умножение на кентавр — это движение, изменение состояния [8], кентавры можно считать «последней» структурой, обеспечивающей алгебраическую замкнутость, т. е. отсутствие влияния на внешнюю среду и, следовательно, отсутствие противодействия с ее стороны.
Операционное исчисление, если его рассматривать с общих позиций, вовсе не имеет только того прикладного смысла, который придается ему со времен Хевисайда. Оно позволяет не только решать дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, но и превращать процессы (дифференцирование и интегрирование) в алгебраическиеоперации.
Чтобы осмыслить эти проблемы, студентам важно знать математические основы и связи этих основ. Основное в обучении и на-
3
учной работе — умение выделять главное в его наибольшей простоте и подбирать наиболее простые, но достаточные для решения проблемы математические методы. Нужно уметь еще понять, насколько упрощена проблема в модели, и правильно оценить погрешность упрощения.
Хотелось бы иметь учебник, кратко, но строго излагающий основные вопросы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление, связи и идейные аналогии их с другими разделами математики, перспективы развития и возможные приложения. Попыткой создания такого учебника является настоящее учебное пособие, в котором наряду с основными вопросами функций комплексного переменного и операционного исчисления в приложениях рассматриваются тесно связанные с ними разделы — теория числовых рядов, теория поля, ряды Фурье и преобразование Фурье.
Ряды в теории функций комплексного переменного основаны на числовых рядах функций действительных переменных, и часто исследование сходимости основано на тех же теоремах. А на рядах в теории функций комплексного переменного — теории аналитических функциях — основано все; сама аналитическая функция есть сумма степенного ряда. Теория вычетов и вычисление интегралов в комплексной области базируются на теореме Лорана, а она, в свою очередь, — на рядах. Поэтому в качестве первого приложения в учебное пособие включены числовые ряды.
Теория поля, потенциальные и соленоидальные поля, характеристики скалярных и векторных полей, дивергенция, ротор, потенциал не только используются в теории функций комплексного переменного, но и служат основой дифференциального исчисления в функциях комплексного переменного и обобщениях — кватернионах и октавах. Например, произведение двух кватернионов содержит скалярное и векторное произведения, а применение к кватерниону оператора набла сводится к взятию градиента, ротора и дивергенции от составляющих кватернион скалярного и векторного полей. Кроме того, операции с комплексными потенциалами сводятся к операциям теории поля. Основные теоремы теории поля (теорема Остроградского — Гаусса и теорема Стокса) используются в доказательствах теорем и приложениях теории функций комплексного переменного. Поэтому в качестве второго приложения в учебное пособие включена теория поля.
4
Операционное исчисление — второй основной раздел учебного пособия — связан и с рядами, и с интегральными преобразованиями. Задача о среднем квадратичном приближении функции приводит к рядам Фурье и далее к интегралу и преобразованию Фурье. Применяя преобразование Фурье к более широкому классу функций, возрастающих не быстрее, чем экспонента, приходим к операционному исчислению с его инженерными приложениями. Поэтому в качестве третьего приложения в учебное пособие включены основы рядов Фурье и преобразования Фурье.
Цель учебного пособия состоит в том, чтобы наряду с усвоением рассматриваемых разделов студенты поняли связь различных разделов математики с этими основными разделами, единство математических методов и универсальность математики как языка естествознания и инструмента исследования.
Весь материал в основной части и в приложениях учебного пособия изложен кратко и доходчиво. Поэтому оно может использоваться студентами при подготовке к экзаменам и в научной работе как справочное пособие.
5
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1.1.Комплексные числа и операции над ними
1.1.1.Три формы записи комплексных чисел
Комплексное число — это совокупность двух действительных чисел, соединенных символом i: z = x + iy. Такая форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. Здесь x = Re z — действительная часть комплексного числа, y = Im z — мнимая часть, i — мнимая единица (i2 = —1). Умножив мнимую единицу
саму на себя, получим степени мнимой единицы: i0 = 1, i1 = i, i2 = — 1, i3 = —i, i4 = 1, i5 = i, i6 = —1, i7 = —i, i8 = 1… Значения степеней повторяются через 4, например: i23 = i20 i3 = —i, i61 = i60 i = i и т. д.
Комплексное число можно изобразить точкой на комплексной плоскости — плоскости, в которой вводится декартова система координат. Действительную часть комплексного числа x откладывают на действительной оси (оси абсцисс), мнимую часть y — на мнимой оси (оси ординат).
Введем в комплексной плоскости полярную систему координат и определим полярные координаты , через декартовы коорди-
наты x, y с помощью следующих соотношений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
при |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0, |
y 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
; |
arctg |
|
|
|
при x 0, |
y 0; |
||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, x 0 |
|
|
при y 0; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x |
0 |
|
при y 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Декартовы координаты определяются через полярные координаты гораздо проще:
x cos ; y sin .
Используя координаты , , комплексное число можно запи-
сать в тригонометрической форме: z cos isin .
Комплексному числу, как точке на комплексной плоскости, можно поставить в соответствие ее радиус-вектор. Полярная коор-
дината |
|
z |
|
x2 |
y2 — это модуль радиус-вектора |
|
z |
|
, он |
|
|
|
|
||||||
называется |
|
|
модулем комплексного числа. Полярный угол |
||||||
( , ] |
|
|
будем |
называть аргументом комплексного числа, |
( arg z) .
Аргумент определяется так сложно, потому что arctg( ) имеет
область значений |
|
|
|
, |
|
, |
а для определения комплексного |
|
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
числа на всей комплексной плоскости необходимо обеспечить возможность изменения полярного угла в диапазоне , .
|
Пример. Записать комплексное число z 1 i в тригономет- |
|||||
рической форме. |
|
|
|
|
|
|
|
Определив модуль и аргумент заданного комплексного числа |
|||||
|
2, , запишем комплексное число в тригонометрической |
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
isin |
|
|
|
2 cos |
4 |
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
Пример. Записать комплексное число z 2 в тригонометрической форме.
Имеем 2, , z 2 cos isin .
В теории функций комплексного переменного часто используется формула Эйлера ei cos isin . Это одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно ска-
7
зать, что из нее следует равенство ei 1 0, связывающее почти все основные математические константы: 0, 1, i, , e.
Используя формулу Эйлера, можно записать комплексное число в показательной форме: z ei . Алгебраическая, тригономет-
рическая и показательная формы — три формы записи комплексных чисел.
1.1.2. Операции над комплексными числами
Определим операции над комплексными числами. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме введем следующим образом:
z1 z2 x1 x2 i y1 y2 .
Здесь оба числа записаны в алгебраической форме, например: (1 2i) (1 2i) 2. Числа z x iy, z x iy называются ком-
плексно-сопряженными числами. Складывая их, получаем действительное число 2х, вычитая из числа z число z , получаем мнимое
число 2iy.
Сложение или вычитание комплексных чисел соответствует сложению или вычитанию их радиус-векторов и может быть проведено по «правилу параллелограмма» или«правилу треугольника».
Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме введем аналогично умножению многочленов следующими соотношениями:
z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 i x1 y2
z1 |
|
x1 iy1 |
|
x1 iy1 x2 iy2 |
|
x1x2 y1 y2 |
i |
||||||||||
|
|
x |
iy |
|
x |
iy |
|
|
|
||||||||
z |
2 |
|
x |
iy |
2 |
|
2 |
2 |
|
x2 |
y2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
x2 y1 ;
y1x2 x1 y2 .
x22 y22
Рассмотрим несколько примеров умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме:
zz (x iy)(x iy) x2 i2 y2 x2 y2 z 2 ;
8
(3 2i)( 1 i) ( 3 2) ( 2 3)i 5 i;
1 i |
|
(1 |
i)(1 |
i) |
|
2i |
i. |
1 i |
|
(1 |
i)(1 |
i) |
|
2 |
|
Умножение или деление комплексных чисел оказывается более удобным выполнять в тригонометрической или показательной формах:
|
|
|
z z |
2 |
ei 1 |
ei 2 |
ei 1 2 |
|||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
||
|
|
1 2 cos 1 2 isin 1 2 ; |
||||||||
z1 |
|
1 |
|
ei 1 2 |
1 |
cos 1 |
2 isin 1 2 . |
|||
z2 |
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из приведенных соотношений можно вывести правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули
делятся, а аргументы вычитаются.
Особенно удобно использовать тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень:
zn nein n cos n isin n . Здесь правило умножения комплексных чисел применено n раз. В то же время из определения комплексного числа следует равенство zn n cos isin n. Из
сопоставления этих выражений следует знаменитая формула Му-
авра:
cos isin n cos n isin n .
Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например, для тройного угла запишем
cos3 isin 3 cos isin 3
cos3 3i cos2 sin 3cos sin2 isin3 .
9