SCAD для чайников dnl8193

1 3 . У с т о й ч и в о с т ь

13. Устойчивость

Для каждого указанного пользователем загружения (или комбинации загружений) SCAD позволяет определить:

∙коэффициент запаса устойчивости;

∙первую форму потери устойчивости (без анализа кратности);

∙свободные длины стержневых элементов.

13.1 Постановка задачи	Задача устойчивости решается в классической
постановке для упругой системы и в предположении, что все
приложенные к системе внешние нагрузки (следовательно, и
внутренние силы) растут пропорционально одному и тому же
параметру λ. То значение параметра λ, при котором матрица
жесткости системы А(λ) впервые		перестает быть положи-
тельно определенной, является критическим, а соответ-
ствующее значение λ — коэффициентом запаса устойчивости
(КЗУ).	Матрица жесткости А(λ) =	Ao - B(λ) состоит из

“обычной” матрицы жесткости Ao и матрицы “толкающих” реакций B(λ), которые определяются сжимающими силами в стержнях, напряжениями сжатия в конечных элементах оболо- чечного типа и т.п. Напоминаем, что положительная опреде- ленность матрицы жесткости означает, что при любых

значениях узловых перемещений и поворотов u потенциальная энергия системы положительна (это значит, что для деформирования системы необходимо затратить энергию и, следовательно, она оказывает сопротивление деформированию,

она является отпорной).

Если система теряет устойчивость, она теряет отпорность и ее матрица жесткости становится вырожденной (с нулевым детерминантом), а в закритическом состоянии система получает отрицательную отпорность (при ее принуди-

тельном деформировании выделяется ранее накопленная потенциальная энергия “толкающих” реакций) и ее матрица жесткости становится знаконеопределенной.

Таким образом, задача оценки устойчивости равно-

весия сводится к проверке положительной определенности матрицы жесткости при пробном значении коэффициента λ .

Необходимо отметить, что с помощью проверок

матрицы жесткости можно отыскать только те критические состояния, при которых потеря устойчивости происходит по

251

1 3 . У с т о й ч и в о с т ь

13.2 Поиск коэффициента запаса устойчивости

форме, когда узловые перемещения и повороты не все вместе равны нулю (это так называемая явная форма потери устойчивости). Нужно еще проверить, что при пробном значении λ не может произойти так называемая скрытая форма потери устойчивости, которая реализуется в пределах одного

конечного элемента и не вызывает узловых перемещений и поворотов. Поскольку для всех типов конечных элементов соответствующие критические величины λкр известны (они вычисляются по простым формулам), то это значит, что следует, кроме всего прочего, проверить неравенство λ > λкр для всех конечных элементов.

Поиск коэффициента запаса устойчивости (КЗУ) ведется в интервале [0,Λ], где Λ - число, заданное пользователем, (оценка того значения КЗУ, которое считается уже безразличным для оценки качества системы) и с точностью ε, которая также задается пользователем.

При этом решается задача определения минимального λ, при котором происходит вырождение матрицы А(λ).

Матрица А(λ) составляется из матриц устойчивости отдельных конечных элементов. Если в системе нет ни одного элемента, способного терять устойчивость (например, в стержневой системе все стержни растянуты), то выдается сообщение, что система "абсолютно устойчива".

Далее проверяется устойчивость системы при λ = Λ (т.е. положительная определенность матрицы А(Λ)). Если это условие выполнено, то выдается сообщение о том, что КЗУ больше заданного максимума.

Если условие положительной определенности А(Λ) не выполнено (об этом свидетельствуют отрицательные значения на главной диагонали матрицы жесткости, преобразованной в процессе решения системы уравнений), производится анализ положительной определенности матрицы А(Λ/2),..., т.е. используется стандартный метод половинного деления. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не найден интервал (λ1, λ2) такой, что λ2 - λ1 ≤ ε и матрица А(λ1) положительно определена, а матрица А(λ2) этим свойством не обладает. При этом величина λ1 считается КЗУ.

При составлении матрицы устойчивости для каждого конечного элемента (способного терять устойчивость) вычисляется значение λкр, которое приводит к потере устойчивости КЭ. Если min λкр < Λ, интервал поиска сокращается, а номер элемента, для которого достигается min λкр, сообщается в протоколе.

252

1 3 . У с т о й ч и в о с т ь

13.3 Форма потери устойчивости

В предположении, что определенный на первом этапе коэффициент запаса устойчивости является точным, SCAD

производит решение задачи об определении собственного вектора при известном собственном значении задачи

(A - B(λ1)) u = 0.

(а)

Заметим, что правые части системы равны нулю, т.е. отыскиваются такие значения узловых перемещений и пово- ротов u, которые вызываются только внутренними сжимающи- ми напряжениями и усилиями. Поперечные нагрузки, как известно, не влияют на значения критических сил и вид формы потери устойчивости. Поскольку уравнение (а) решено при нулевой правой части, то форма потери устойчивости определена лишь с точностью до множителя. Ее уменьшение или увеличение в любое число раз не нарушает условие (а).

	Если в системе имеются стержневые элементы, то
13.4 Свободные длины	можно определить их свободные длины, т.е. длины таких же,
	но шарнирно опертых стержней, у которых критическая
	сила Nкр совпадает с продольным усилием в стержне
	системы в момент потери устойчивости (Nкр=λ1*N).
	Поскольку по формуле Эйлера Nкр = π2EJ / l2, свободная
	длина будет lo = (λ1N / π2EJ )1/2,
	где EJ - жесткости стержней в главных плоскостях инерции
	(для пространственной задачи - по две для каждого стержня).

253

1 3 . У с т о й ч и в о с т ь

13.5 Ввод данных

Рис. 13.5.1. Диалоговое окно

Проверка устойчивости

Ввод данных для проверки устойчивости выполняется в одноименном диалоговом окне (рис. 13.5.1), которое

вызывается из раздела Специальные исходные данные в Дереве проекта. Для ввода данных необходимо выполнить такие операции:

Äс помощью комбинаторных кнопок задать режим проверки - вычисление коэффициента запаса устойчивости, форм потери устойчивости и свободных длин стержневых элементов;

Äв полях Масштабный множитель и Точность вычислений следует ввести соответствующие значения (по умолчанию приняты 2 и 0.01);

Äактивизировать опции, определяющие вид данных, для которых выполняется проверка устойчивости: по загружениям или по комбинациям загружений, для всех загружений (комбинаций) или только для выбранных; в последнем случае выбор нужных

данных выполняется в списке загружений (комбинаций).

Масштабный множитель - параметр используется

для ограничения интервала поиска коэффициента запаса устойчивости. Если его значение больше заданного, система считается устойчивой.

Точность вычислений - параметр задает критерий

окончания итерационного процесса поиска коэффициента запаса устойчивости. При очень малых значениях этого параметра время расчета может существенно увеличиться.

Для удаления подготовленных данных и отказа от анализа устойчивости используется кнопка Удаление данных.

254

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.Спектры ответа

14.1Расчет на сейсмические воздействия

Выведенный из положения равновесия линейный неконсервативный осциллятор совершает затухающие колебания, которые описываются дифференциальным

уравнением

&&	&	2	x = 0,	(14.1)
x	+ 2ϕ ω x + ω

где

ω – собственная круговая частота системы без затухания (рад/с);

ϕ – относительное демпфирование. При ϕ < 1 решение уравнения (1) имеет вид

x = Ae−ϕωt sin(ωD t + α) ,

где

ωD = ω1 − ϕ2 – частота с учетом затухания,

А, α – коэффициенты, которые зависят от начальных условий.

Обычно для строительных конструкций ϕ<<1 и

практически ωD	≈ ω .
Если на массу действует сила F(t), то ее перемещения
описываются уравнением		2
&&	&		x = F(t) / m,	(14.2)
x + 2ϕ ω x + ω

общее решение которого при нулевых начальных условиях можно записать с помощью интеграла Дюамeля

	1	t
x =		òF (t)exp[−ρω(t − z)]sin ωD (t − z)dz						(14.3)
	mωD
0
	При		движении основания					&&
						с ускорением x0 (t)
(кинематическое				возмущение)	на	массу	m	действует
переносная			сила	инерции		&&	(t) .	Поэтому
					F(t) = −mx0

уравнение, описывающее относительные перемещения массы в системе координат, связанной с основанием, имеет вид

&&

&

+ ω

2

x

&&

(t) ,

(14.4)

x

+ 2ϕω x

= −x 0

а его решение

t

1

−ϕω(t−z)

x = −

ωD

ò

x(t)e

sin ωD (t − z)dz

(14.5)

0

&&

При

определении

абсолютного ускорения

массы

&&

&&

получаем при обычных малых значениях ϕ, что

xα

= x + x0

&&

2

(14.6)

x

α ≈ −ωD x

Нами

рассматриваются

колебания

линейных

255

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

дискретных систем со многими степенями свободы,

полученные из любых континуальных или комбинированных систем после применения к ним процедуры дискретизации метода конечных элементов (МКЭ). При этом решается

система обыкновенных дифференциальных уравнений

	[	M	]{ }	+	[	K	]{ }	{ }	(14.7)
			u&&				u =	0 ,
где	{u} – вектор перемещений;
	[M] – матрица массы;
	[K] – матрица жесткости.

Вынужденные колебания линейной дискретной системы с затуханием по гипотезе Фойгта-Кельвина описываются

системой обыкновенных дифференциальных уравнений
	[M ]{u} + [C ]{u} + [K ]{u} = {F(t)} ,		(14.8)
	&&	&
где	[C] – матрица диссипации энергии;
	{F(t)} – вектор нагрузки.
	В случае	кинематического возмущения в	качестве

нагрузки выступают переносные силы инерции и				система
уравнений (14.8) записывается в виде			0(t) ,	(14.9)
[M ]{u} + [C ]{u} + [K ]{u} = -[M ]{I}x
&&	&	&&

где {u} – вектор относительных перемещений (например, в системе координат xOy, связанной с основанием);

{I} – вектор, компонентами которого являются

косинусы углов между направлениями перемещений по координатам и вектором ускорения основания;

x&&0 (t) - ускорение основания.

Решение уравнения (14.9) отыскивается в виде

разложения его по формам собственных колебаний системы (так называемая “модальная суперпозиция”)

n
{u} = å{F j }Yj (t) ,	(14.10)

j=1

где n – число степеней свободы системы (учитываемых собственных чисел и векторов);

F j – j-я форма собственных свободных колебаний

дискретной системы;
		Yj (t)	–	неизвестные функции				времени,	которые
необходимо определить.
		Будем предполагать, что для матрицы диссипации [С]
выполняется условие
	T	[C ]{F j } =		ì0 ,	i ¹ j
{Fi }				ï
				í		T	[M ]{Fi } , i = j
				ï2ji wi {Fi }
				î
где wi – i-я собственная частота дискретной системы.
		После подстановки (14.10) в (14.9) и умножения (14.9)
на вектор			{Fi }T		для	нахождения		Yi (t)	получаем

дифференциальное уравнение

256

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

		&&		2	Ψi	= −D i x	0	(t) ,	(14.11)
		Ψ + 2ϕi ωi Ψi + ωi
						&&
	D i =		{Φi }T [M ]{I}	&&
где			{Φi }T [M ]{Φi }	x0	(t)
	Для		определения	инерционных				нагрузок на

конструкцию необходимо знать абсолютные ускорения ее точек:

{ a} { }

n

i }(

)

n

0

å

j

i 0

å

ja

{

&&

{ i }

&&

u

= u

+ {}Ix (t) =

Φ

Ψ (t) + D x

(t)

=

Φ Ψ (t)

&&

&&

&&

&&

i=1

i=1

Сейсмические колебания дискретных систем описываются

&&

&

&

&&

&

&&

&

&&

(t) ,

(14.12)

[M]{u}+[C]{u}+[K]{u}=−[M]({Ix}x0(t) +{Iy}y0(t) +{Iz}z0

где

&&

&&

и

&&

–

компоненты

расчетной

x

0 (t) , y0 (t)

z0 (t)

акселерограммы. Если какая-либо из компонент не учитывается, то соответствующая часть нагрузки из (14.12) исключается.

257

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.2 Поэтажные акселерограммы и спектры ответа

При анализе сейсмостойкости оборудования необ- ходимо определить действующие на него инерционные сейс- мические нагрузки. Принят метод раздельного рассмотрения

сейсмических колебаний здания и оборудования с использованием так называемых поэтажных акселерограмм и поэтажных спектров ускорений – акселерограмм и спектров, рассчитанных для точек крепления оборудования.

Расчет производится следующим образом:

∙определяются (вычисляются) вынужденные колебания сооружения при сейсмическом воздействии, заданном расчетной акселерограммой на грунте;

∙определяются законы изменения абсолютных ускорений выбранных точек конструкции;

∙принимая акселерограммы в качестве возмущающего воздействия, рассчитывают вынужденные линейные колебания линейных неконсервативных осцилляторов, и

находят зависимость модулей их максимальных абсолютных ускорений от их собственных частот и коэффициентов диссипации.

Таким образом, для каждой исследуемой точки решается

уравнение (2), в котором:

∙зафиксирован коэффициент диссипации ϕ;

∙нагрузкой является вычисленное возмущающее воздействие от расчетной акселерограммы;

∙наборы собственных частот осциляторов при расчете спектра ответа зафиксированы и приведены в таблице 14.1.

		Таблица 14.1.
Частотный диапазон (гц)		Приращения (гц)
0.2	– 3.0	0.10
3.0	– 3.6	0.15
3.6	– 5.0	0.20
5.0	– 8.0	0.25
8.0	– 15.0	0.5
15.0 – 18.0		1.0
18.0 – 22.0		2.0
22.0 – 34.0		3.0

К приведенным в табл. 14.1 значениям частот

неконсервативных осцилляторов добавляются еще собственные частоты рассчитываемой конструкции. Это делается для того, чтобы учесть возможность резонанса с ними.

Для каждого указанного осцилятора находятся решения на всем диапазоне действия акселерограммы и выбирается максимальное по абсолютной величине, которое и

является спектром ответа данной точки на действие данной акселерограммы.

258

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.3 Ввод данных и анализ результатов

Рис. 14.3.1. Диалоговое окно

Спектры ответа

Рис. 14.3.2. Диалоговое окно

Результаты

Окно постпроцессора Спектры ответа (рис. 14.3.1) содержит список с номерами узлов, для которых необходимо вычислить спектры ответа (Список узлов). Имена акселерограмм, по которым необходимо выполнить расчет спектров, выбираются из списка имеющихся (Исходные) и переносятся в список используемых в расчете (Выбранные) с помощью кнопки Добавить. Если случайно выбрана не та акселерограмма, то ее можно убрать из списка Выбранные кнопкой Вернуть. Кроме того для расчета необходимо установить направление действия, ввести коэффициент диссипации (в диапазоне от 0 до 1) и, если это необходимо, задать коэффициенты диссипации по формам (например, для 4-х форм следует ввести через пробел четыре числа). Если введено меньше значений, чем задано форм, то последнее

введенное значение будет отнесено ко всем последующим формам.

Выбор загружений, для которых выполняется расчет, осуществляется в списке, размещенном в нижней части экрана.

Расчет выполняется после подготовки всех данных нажатием кнопки ОК. После окончания расчета открывается доступ к кнопке Результаты.

Просмотр результатов и их документирование выполняется в диалоговом окне Результаты. Для построения спектров необходимо назначить номер узла, номер загружения и имя акселерограммы. Программа позволяет получить на

одном графике спектры по одному или нескольким направлениям, во всем диапазоне частот или в заданном.

Полученные графики и результаты расчета могут быть выведены на принтер кнопками Печать графиков и Результаты (таблицы) соответственно.

259

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.4Подготовка файлов акселерограмм

Файлы акселерограмм находятся в корневом каталоге ПВК SCAD и имеют расширение SPC. При передаче

пользователям постпроцессора поставляются для примера четыре стандартные акселерограммы.

Рассмотрим пример задания акселерограммы:

Расчетная акселерограмма в cм/(c*c) для ПЗ на площадке атомного реактора.

Компонента – SH. Mодель – 1c. Amax = 45.1 cм/(c*c).

Количество точек N = 2047; Шаг по времени Dt = 0.05000 c.

#

0.01 2047 0.05

0.0

0.0

0.1

0.3

0.4

0.6

0.5

0.0

–2.1

–2.6 …

После символа # следуют:

∙коэффициент перевода заданных ускорений в м/ceк2 ;

∙количество точек;

∙шаг по времени;

∙значения ускорений.

Аналогичным образом может быть подготовлен файл с нужной акселерограммой (файл с расширением SPC следует поместить в каталог с исходными данными). Для использования акселерограмм, поставляемых в составе комплекса, соответствующие файлы необходимо скопировать из каталога SCAD в каталог с исходными данными.

260