- •Контрольная работа №4
- •Границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организаций региона:
- •Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наемных рабочих (чел.) и их среднемесячной заработной плате (тыс. Руб.) представлено в таблице.
- •Решение:
Контрольная работа №4
-
По схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено 10%-ное обследование строительных организаций региона по объему выполненных работ. Результаты представлены в таблице.
-
Объем работ, млн. руб.
Менее 56
56-60
60-64
64-68
68-72
Более 72
Итого
Число организаций
9
11
19
30
18
13
100
Найти:
-
Границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организаций региона;
-
Вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине);
-
Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
Находим выборочную среднюю: .
– объем выборки
, , , , , – середины интервалов
Находим выборочную дисперсию:
Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организаций региона.
По таблицам значений функции Лапласа находим:
Интервальные для оценки средней находятся по формулам:
,
где
,
тогда
.
Получаем:
Найдем вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине). Для этого находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:
– для бесповторной выборки
Здесь – выборочная доля строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн. руб.
– объем генеральной совокупности (в данном случае – 1000)
Находим вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)
Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Объем бесповторной выборки определяется по формуле:
О твет:
-
Границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организаций региона:
-
Вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн. руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине) равна 0.8132;
-
Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876 равен 71 организации.
-
По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина – объем выполненных работ – распределена по нормальному закону.
Решение:
Используем данные, полученные в предыдущем задании:
В качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию, но т.к. количество наблюдений в данном случае 100, достаточно велико, то подойдет и .
Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее функция распределения имеет вид
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
Подставляем ,
Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:
Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал используем функцию Лапласа:
В данном случае получаем:
Составим таблицу:
Интервал |
Эмпирические частоты |
Вероятности |
Теоретические частоты
|
|
|
|
1 |
52-56 |
9 |
0.0463 |
4.63 |
19.0969 |
4.1246 |
2 |
56-60 |
11 |
0.1339 |
13.39 |
5.7121 |
0.4266 |
3 |
60-64 |
19 |
0.2365 |
23.65 |
21.6225 |
0.9143 |
4 |
64-68 |
30 |
0.2664 |
26.64 |
11.2896 |
0.4238 |
5 |
68-72 |
18 |
0.1919 |
19.19 |
1.4161 |
0.0738 |
6 |
72-76 |
13 |
0.0844 |
8.44 |
20.7936 |
2.4637 |
|
|
100 |
0.9594 |
95.94 |
|
|
Таким образом, значение статистики .
Определим количество степеней свободы по формуле: .
– число интервалов ()
– число параметров закона распределения (в нормальном распределении )
.
Соответствующее критическое значение статистики
Поскольку , то гипотеза о нормальном распределении с параметрами не согласуется с опытными данными.
Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.