Материалы_МА_ПМ-1семестр

Теоретические вопросы (Б)

	(образцы заданий)
	Введение в анализ. Предел и непрерывность
	1
1.	Докажите, что множество X			n	ограничено. Найти его точ-
	n

ную верхнюю и точную нижнюю грани. Имеет ли это множество наибольшее и наименьшее значения?

2.Найти точные грани множества всех правильных рациональных дро-

	m
бей	X			m, n , m n	и показать, что это множество не имеет
	n

наибольшего и наименьшего элементов.

3.Пусть X и Y – два числовых множества. Докажите, что если Y X ,

то supY sup X .

4.Приведите примеры: а) последовательности, сходящейся к заданно-

му числу; б) ограниченной последовательности, не имеющей предела.

5.	Докажите, исходя из определения, что а) lim						3n 1		3	;
						n 4n 7			4
б) lim		2 3n 1			2	.
		5 3n 2			5
n

6.Дайте определение последовательности, ограниченной сверху. Мо-

жет ли предел последовательности, ограниченной сверху числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02? Ответ обоснуйте.

7.	Пусть lim xn	a . Докажите, исходя из определения, что lim xn 1 a ,
	n	n

lim xn 2 a .

n

8. Пусть lim xn a . Докажите, исходя из определения, что

n

lim (xn 1 xn ) 0 .

n

9.	Пусть lim xn	a . Докажите, исходя из определения, что lim		xn				a		.
	n	n

10

10. Что означает запись lim xn ,			lim xn ? Докажите, исходя из
	n		n
определения, что а) lim n 12 ; б) lim53n 2				; в) lim(1 4n) .
n			n	n

11.Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

12.Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

13.Докажите ограниченность сходящейся последовательности.

14.Может ли последовательность {xn yn }сходиться, если последова-

тельность {xn } сходится, а последовательность {yn } расходится? Ответ обоснуйте.

15.Является ли а) бесконечно малая последовательность ограниченной;

б) бесконечно большая последовательность: неограниченной, сходящейся?

Ответ обоснуйте.

16. Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой. Верно ли аналогичное утверждение для беско-

нечно больших последовательностей? Ответ обоснуйте.

17.Докажите, что если { n } – бесконечно малая, а {xn } – ограниченная последовательности, то { n xn }– бесконечно малая последовательность.

18.Пусть {xn yn } – бесконечно малая последовательность. Следует ли из этого, что {xn } и {yn } – бесконечно малые последовательности? Ответ

обоснуйте.

19. Пусть {xn yn } – бесконечно малая последовательность. Следует ли из этого, что хотя бы одна из последовательностей {xn } и {yn } бесконечно малая? Ответ обоснуйте.

20. Докажите, что lim an 0 , если a 1.

n

21. Докажите, что предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов.

11

22.Докажите, что предел произведения двух сходящихся последова-

тельностей равен произведению их пределов.

23.Докажите, что последовательность {sin n} расходится.

24.Используя признак сходимости монотонной последовательности, до-

		n2
казать, что последовательность	xn				сходится.
		4	n

25.

Последовательность

xn

определена

следующим

образом:

x1 1. Доказать, что последовательность сходится и найти ее

xn 1

5xn ,

предел.

26.

Последовательность

xn

определена

следующим

образом:

xn 1

2 xn

, x1 2 . Доказать, что последовательность сходится и найти

ее предел.

27.Известно, что xn 0 . Докажите, что:

а)	lim x	n	3 , если	lim	x2		x		n	6 ;
	n			n		n
								1
б)	lim xn 1, если lim
					xn						2 .
	n			n				xn
28. Докажите,				что		x0			lim x x0 , пользуясь определением предела
									x xo

функции: а) по Коши; б) по Гейне.

29.Докажите, что функция f (x) sin 1x не имеет предела в точке x 0 .

30.Доказать, что функция Дирихле

0, если x иррациональное число,

D(x)

1, если x рациональное число,

не имеет предела ни в одной точке.

x при x 0,

31. Пусть f (x) ( f (x) не определена при x 0 ). Суще-

sin x при x 0

ствует ли lim f (x) ?

x 0

12

32.Докажите: а) предел суммы двух функций равен сумме их пределов,

если последние существуют и конечные; б) предел произведения двух

функций равен произведению их пределов, если последние существуют и

конечные.

33.Докажите, что если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то

функции f (x) g(x) ,	f (x) g(x) и	f (x)	(при условии	g(x		) 0 ) непре-
					0
		g(x)

рывны в точке x0 .

34. Найдите значение a , при котором функция

f (x) (x2

обоснуйте.

1
3x) cos		, x 0
x
a,		x 0

35.Доказать, что функция

является непрерывной в точке x 0 . Ответ

	1
xsin			, x 0	не является непрерыв-
f (x)	x
	2,		x 0

ной в точке x 0. Можно ли переопределить значение f (0) так, что функ-

ция f (x) будет непрерывной в точке x 0.

36.Докажите, что функция f (x) x непрерывна в любой точке x x0 .

37.Исследовать на непрерывность функцию f (x) и указать тип ее точек

x при x 1,

разрыва f (x) .

ln x при x 1

38. Может ли непрерывная на интервале функция быть равномерно не-

прерывной на этом интервале и, наоборот, равномерно непрерывная на ин-

тервале функция быть непрерывной?

39.Докажите, что сумма двух равномерно непрерывных на интервале функций равномерно непрерывна на этом интервале.

40.Доказать первый замечательный предел.

13

	1		1
41. Докажите, что		O		при x , n N .
	xn 1
		xn

42.Докажите, что x4 O xsin 2 x при x 0 .

43.Сравните бесконечно большие функции при x :

а) (x) x2 9x 2 и (x) (x 2)(x 5)x ;

б) (x) 5x 2 и (x) x .

Дифференциальное исчисление

44. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя

								в точке x 25 ;
из определения, производную функции: а) f (x) x
б) f (x) sin x в точке x		; в)	f (x)	1	в точке x 3;
	0			x3

г)

е)

f (x)

f (x)

							2	1
x			в точке x 0; д)			x		cos		, x 0	в точке x 0 ;
		x				f (x)		x
								0,		x 0
1 cos x
				, x 0	в точке x 0.
			x
			0,	x 0

		1
45.	xsin			, x 0	. Является ли непрерывной функция
	Пусть f (x)	x
		0,		x 0
f (x)	в точке x 0. Имеет ли функция					f (x) производную в точке x 0 .

46.Используя дифференциал, найдите приближенное значение а) 1,18 ;

б) ln(1,03) .

47. Найдите эластичность функции: а) f (x) (x 1)12 в точке	x 5 ; б)
f (x) 3x в точке x 2 .

48.Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сум-

ме их эластичностей.

14

49.Докажите теорему о связи между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке.

50.Пусть f (x) , g(x) – дифференцируемые функции. Сформулировать и

доказать правила дифференцирования функций f (x) g(x) , f (x) g(x) ,

f (x) g(x) ,

C f (x) ( C const ),

f (x)

g(x) 0 .

g(x)

3

1

51. Пусть

x

sin

, x

0

. Доказать: а) функция f (x)

непрерыв-

f (x)

x

0,

x

0

на в точке

x 0; б)

функция f (x) имеет производную в точке

x 0 ; в)

функция f (x) непрерывна в точке x 0.

52.Сформулируйте теорему Ролля. Можно ли утверждать, что произ-

водная функции f (x) (x 5)(x 6)(x 7)(x 8) обращается в нуль в трех точках интервала 5;8 ? Ответ обоснуйте.

53.Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям: 1) f (x) имеет непре-

рывную производную на [a;b] ;

2)

f (x)

имеет вторую производную в

(a;b) ;

0

. Доказать,

что существует точка

3) f (a) f

(a) 0, f (b)

c (a;b) такая, что f

(c) 0 .

54.

Доказать,

что

cos x cos y

x y

x, y . (При доказательстве ис-

пользуйте формулу Лагранжа).

55.

Пусть функции

f (x) и g(x)

определены и дифференцируемы при

x x0 ,

причем

f (x0 ) g(x0 ), f

x x0 . Доказать, что

(x) g (x) при

f (x) g(x) при

x x0 .

56.Выведите из теоремы Коши для пары дифференцируемых функций утверждение теоремы Лагранжа.

57.Следует ли из существования производной функции f (x) в точке ее непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.

15

58.Докажите, исходя из определения, что производная четной функции,

является нечетной функцией.

59.Докажите, исходя из определения, что производная нечетной функ-

ции, является четной функцией.

60.Докажите, что если f (x) 0 на интервале (a;b) ,то функция f (x)

постоянна на этом интервале.

61.Докажите, что если f (x) 0 на интервале (a;b), то f (x) возрастает

на этом интервале.

62.Дайте определение многочлена Тейлора Pn (x) функции f (x) в точке

x0 . Чему равны его производные в этой точке?

63.Функцию f (x) ex разложить по степеням (x 1) до члена, содер-

жащего (x 1)3 .

64. Найдите многочлен Тейлора P3 (x) функции f (x) в точке x0 1, если f (1) 5 , f (1) 1, f (1) 4 , f (1) 3 .

Интегральное исчисление

65.	Докажите, что если F1 (x) и F2 (x) – первообразные функции f (x) на
интервале X , то F2 (x) F1 (x) C , где C – некоторая постоянная.
66.	Указать первообразную функции f (x)	1		, график которой про-
			1 x2
ходит через точку с координатами (1;2 ) ?
67.	Найдите первообразную для функции	f (x) sin x , которая в точке

x принимает значение, равное 10.

2

68.Докажите, что d f (x)dx f (x)dx .

69.Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

16

70.Докажите формулу замены переменной для неопределенного инте-

грала.
71. Докажите, что если функция		f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , то
x
функция F (x) f (t)dt ,	x [a;b] ,	является ее первообразной на этом от-

a

резке.

72.Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, до-

кажите формулу Ньютона-Лейбница.

73.Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите,

что для любой четной непрерывной на отрезке [ a; a] функции f (x) спра-

0	a
ведливо равенство	f (x)dx f (x)dx . В чем состоит его геометрический
a	0
смысл?

74.Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите,

что	для любой нечетной	непрерывной		на отрезке [ a; a] функции
		0	a
f (x) справедливо равенство		f (x)dx f (x)dx . В чем состоит его гео-
		a	0
метрический смысл?
			1	при x 0,
75.			0	при x 0, имеет первообразную
	Доказать, что функция sgn x
			1	при x 0

на любом промежутке, не содержащем точку x 0 , и не имеет первообраз-

ной на любом промежутке, содержащем точку x 0 .

76. Сходится ли интеграл cos 4xdx ? Ответ обоснуйте.

0

0

77.Сходится ли интеграл e 4 x dx ? Ответ обоснуйте.

17

78.	При каких значениях a сходится интеграл x a dx ? Ответ обоснуйте.
				1
	1		dx
79.	Сходится ли интеграл				? Ответ обоснуйте.
		1 x
	0

80.При каких значениях a 0 сходится интеграл dxxa ? Ответ обоснуй-1

0

те.

Образцы задач

Предел последовательности

4n .

1.

Найдите предел последовательности lim

16n2 4n 1

n

3n 2n2 4

2n2 3

2.

Найдите предел последовательности lim

n 1

n 4

.

n

3.

Найдите предел последовательности lim

n2 3n 8 4n

.

3n2 5n

n

4.

Найдите предел последовательности lim

( 2)n

3n

.

( 2)n 1 3n 1

n

5.

Найдите предел последовательности lim

4 8n 3 82n

.

3

8n 1 2 82n 1

n

4n 5

4n 4

6.

Найдите предел последовательности lim

.

n

4n 1

7.

Найдите предел последовательности

lim 12n 6 ln(6n 5) ln(6n 2) .

n

n3 3n 1

5n2

8.

Найдите предел последовательности lim

3

4n 2

.

n n

2n 3

2n

9.

Найдите предел последовательности lim

n

2

.

n

2

18

10.	Найдите предел последовательности: lim					n cos n									.
		n				n 1
11.	Найдите предел последовательности:	lim		3n2						4cos n 9n4 4													.
																			2
		n										3
								3n							4n 3
	Найти предел последовательности lim													7n cos(n 16) .
12.			49n2							4
	n
13.	Найдите предел последовательности:	lim 3n 2 4 5n2 4sin n .
											2n							1
		n															2	3
					1							2							n 1
14.	Найдите предел последовательности: lim																					.
											n2								n2
		n n2
					1										1							1
15.	Найдите предел последовательности:	lim																						.
					1 2								2 3							n		(n 1)
		n

Предел функции

16. Найдите предел функции:

17. Найдите предел функции:

18. Найдите предел функции:

19. Найдите предел функции:

20. Найдите предел функции:

21. Найдите предел функции:

22. Найдите предел функции:

23. Найдите предел функции:

lim x2 5x 6 .

x 3 x2 2x 3

lim 5 x 1 .

x 1 6 x 1

lim		x2 9x 18				.
			2
x 6		4x		3x 18	2x

5x 3 5 x 5 lim . x 5x 4

2

sin x 9 x lim . x 0 9 2sin x

lim 28x 1 ln(7x 5) ln(7x 1) .

x

lim x2 5 x2 5 cos(x2 4) .

x

lim		sin 5 x
							.
		x	2
x				9 x

19