Материалы_МА_ПМ-1семестр

24. Найдите предел функции:

25. Найдите предел функции:

26. Найдите предел функции:

27. Найдите предел функции:

28. Найдите предел функции:

29. Найдите предел функции:

30. Найдите предел функции:

31. Найдите предел функции:

32. Найдите предел функции:

33. Найдите предел функции:

lim

sin x3

.

1

x 1

sin 2 x 4

lim

sin 2 2x

.

2x

x 1 ln cos

sin x

lim

3

.

x

3 1 2cos x

lim(1 x) tg

x .

x 1

2

lim

ln x ln a

.

x a

x a

lim

4x 1

.

x 0 ln(7x 1)

lim

cos5x cos3x

.

x 0

8x2 2x3

lim	3sin x sin 3 x						.
x 1			(x 1)3
				1
lim x			5	3x 1		.
x

lim x4e x2 .

x

5 x 4

34. Найдите предел функции: lim x x 1 .
x 1
		3				1
35. Найти предел функции: lim							.
		x3
x 1 1						x 1

		(x 2)	2 sin	1	sin(6x 12)
	36. Найти предел функции: lim			x 2		.
			tg(2x 4)
	x 2

20

9x2

1

1

37. Найти предел функции:

lim

sin

2x

.

x

3x 6

1

4 x2 .

38. Найти предел функции: lim(cos2x)

x 0

39. Найдите предел функции:

lim (sin x)tgx .

x

2

1

40. Найдите предел функции:

lim x ln x .

x 0

2

cos

2

41. Найти предел функции:

lim

x

cos

.

x

x

x

42. Найти предел функции:

lim

2

x

ln cos

.

x

x

43. Найти предел функции:

lim

(x 3)40 (5x 1)10

.

(3x2 2)25

x

5

x 4

x

3 x

44. Найти предел функции:

lim

.

3

2x 1

x

Производная функции, приложения производной

45.Найти производную функции y ln(arcsin x) 12 ln 2 x arcsin(ln x) .

46.Найти производную функции y 9 x 2 3arcsin 3x .

	47. Найти производную функции	y ln		x2	4 x		.
				x2	4 x

48. Найти производную функции y 2arcsin 3x 1 arccos3x 2 .

49. Найти производную функции	y		(x 2)	9		.
			(x 1)5 (x	3)11

50.Найти производную функции y xsin x .

51.Найти производную функции y 7x 3 ln 7 x 3 .

52.Найти f (0) , если f (x) ln(3x 2) arcsin(2 x 0,5) .

21

53.Найти производную от неявной функции e y x y .

y

54.Найти производную от неявной функции ln x e x 2 .

55.Найти производную от неявной функции arctg xy 12 ln x2 y 2 .

56.Найти дифференциал функции y f (x) в точке x , если:

б) f (x) ln x

;

x2 1

а) f (x) x ;

f (x)

1

x 1

f (x) arcsin

x

в)

ln

;

г)

.

2

x 1

a

57.Вычислите приближенно с помощью дифференциала ln 2425 .

58.Вычислите приближенно с помощью дифференциала e0,1 .

59.Вычислите приближенно с помощью дифференциала

sin 31 (1 2 360 0,0175 радиан).

60. Найти приближенное значение функции y x3 4x2 5x 3 при

x 1,03 .

61.Найти приближенное значение функции y 1 x при x 0,2 .

62.Зависимость спроса D от цены p задана функцией D 72 6 p . При каких ценах (указать интервал) спрос будет эластичным?

63.Зависимость спроса D от цены p задана функцией D 12 4 p . При

каких ценах (указать интервал) спрос будет эластичным?

64. Составьте уравнение касательной к графику функции

y f (x)

в точке

с абсциссой x0 , если:

а) f (x) sin x , x

0

0 ;

б)

f (x) 3 x , x

0

0 ;

в) f (x) arctgx ,

x

0

1.

65. Составьте уравнения касательных к графику функции

y x , прохо-

дящих через точку (2;1,5) .

66. Определить промежутки убывания и возрастания функции

22

y x . x2 6x 16

67. Определить промежутки убывания и возрастания функции

y (x 3) x .

68. Определить промежутки убывания и возрастания функции y x sin x .

69.Определить промежутки убывания и возрастания функции y x ln x .

70.Определить промежутки убывания и возрастания функции y 3x 3 x .

71.Исследовать функцию на экстремум y 36x 15x2 2x3 .

72.Исследовать функцию на экстремум y 60x 25x3 3x5 1.

73.Исследовать функцию на экстремум y 3 (x 2)2 (x2 12x 68) .

	74. Исследовать функцию на экстремум y		x		.
			x2 4
	3

75.Исследовать функцию на экстремум y 3 (x2 1)2 .

76.Исследовать функцию на экстремум y x ln x .

77.Исследовать функцию на экстремум y xex .

78.Исследовать функцию на экстремум y x arctgx .

79.Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости функ-

x2

ции y 10x e 50 .

80. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости функ-

ции y 3x ex (x2 8x 2) .

81. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости функ-

1
ции y x 3 .
82. Найти асимптоты графика функции y 3	8x3 1 1.

23

83.	Найти асимптоты графика функции y			2x3	.
				x2 4
84.	Найти асимптоты графика функции y x arctgx .
		x
85.	Исследуйте функцию y 8xe 3 и постройте ее график.

x

86.Исследуйте функцию y 9x2 e 2 и постройте ее график.

87.Исследуйте функцию y x2 45x и постройте ее график.

x15

88.

Исследуйте функцию y

x3

и постройте ее график.

x2

25

89.

Исследуйте функцию y

x2

x 2

и постройте ее график.

(x 1)

2

90. Исследуйте функцию y x2

8ln x и постройте ее график.

91.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

y (x 17)(x 10)2 на отрезке [ 10;20].

92.

Найти

сумму

наибольшего

и

наименьшего

значений

функции

y 64x 120

25 x2 .

93.

Найти наименьшее значение функции y 2x

2

7

3 .

2x2

6

94.

Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:

а) ex

1 x

x2

x3

при 0 x 1; б)

sin x x

x3

при

x

0,5 ;

2!

3!

6

1

x

x2

при 0 x 1.

в)

1 x

2

8

Интегральное исчисление

Найти интеграл:

7 ln(5x 2)

96. (10x 4)

95.

dx .

5x2 4x 3dx .

(5x 2) ln(5x 2)

24

	97.				xdx			.
			4		4
					x
	99.					dx						.
			x			x2			1
	101.					dx				.
					x ln x
	103.					sin x cos x								dx .
				3
						sin x cos x

105.3x 5 dx .

x2 4

107.				6x 27				dx .
				2
			x		8x 17
109.					x3 1				dx .
				3	5x	2
			x				6x

111. cos3 (3x 4)dx.

113. cos x cos 2x cos3xdx.

115. (x2 6x 4)e x dx . 117. e x sin 4xdx .

2			7 cos x
119.				dx .
	sin	2	x 5sin x 6
0

812x 3

121.3 2 x 1 dx .

0,5

123. arcsin xdx .

0

Найти несобственный интеграл:

125. e 5 x dx .

0

98.		dx			.
		x)
	(1		x

dx

100. x(x 1) .

102. x e x2 dx.

104. sindxx .

106. 7x 8 dx . x2 x 20

108.2x2 2x 1 dx .

x2 x3

110.x2 5x 4 dx .

x4 5x2 4

112.cos 5x sin 3xdx .

sin xdx

114.sin 3 x cos3 x .

116.3 x ln xdx .

118.x sin xdx .

4 16x 3

120.0 cos2 x dx .

122. e2 x cos xdx .

	0
	2	1
	124. x arccos		dx .
	1	x

126. xe 4 x dx .

0

25

		16										1
			4			16		x
	127.										dx .	128. x5 ln xdx .
		0				16 x						0
						dx						3
												130. ln(x 2)dx .
	129.										.
				x(ln 2 x 4)
		1										2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

131.y x2 3x и y 3 x .

132.yx 30 и y x 11.

133.	y	125			и y	x2	.
		x2 25
					10
	y
134.			x , y 2 x и y 0 .

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox плоской фи-

гуры, ограниченной линиями:

135.	y2 3x 6 и y x 2.
	4
136.	y		, x 5	и x 4 .
		x 6

IV. СОДЕРЖАНИЕ КОЛЛОКВИУМА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

I. Знать формулировки определений, свойств и теорем, формулы:

1.Определение числового множества, ограниченного сверху (снизу).

Определение ограниченного множества.

2.Определение точной верхней (точной нижней) грани множества.

3.Теорема о существовании у непустого ограниченного сверху (снизу)

числового множества точной верхней (точной нижней) грани.

4.Понятие обратной функции.

5.Понятие сложной функции.

26

6.Определение предела последовательности. Геометрическая интерпрета-

ция определения.

7.Свойства пределов числовых последовательностей. Правила вычисле-

ния пределов сходящихся последовательностей.

8.Определение ограниченной и неограниченной последовательности.

9.Определение бесконечно малой последовательности. Геометрическая интерпретация определения.

10.Свойства бесконечно малых последовательностей.

11.Определение бесконечно большой последовательности.

12.Свойства бесконечно больших последовательностей.

13.Определение монотонных последовательностей.

14.Теорема Кантора о вложенных отрезках.

15.Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпо-

следовательности ограниченной последовательности.

16.Определение предела функции в точке по Гейне и Коши.

17.Свойства пределов функций. Правила вычисления пределов функций.

18.Бесконечно малые и их свойства.

19.Первый замечательный предел.

20.Второй замечательный предел.

21.Определения односторонних пределов функции в точке.

22.Определение функции, непрерывной в точке.

23.Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

24.Определение асимптот графика функции.

25.Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимп-

тоты к графику функции.

26.Теорема о непрерывности сложной функции.

27.Теорема о непрерывности обратной функции.

28.Теорема о непрерывности элементарных функций.

29.Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

27

30. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о существовании корня, о промежуточном значении, об ограниченности функции, о до-

стижении наибольшего и наименьшего значения.

31.Определение равномерной непрерывности функции.

32.Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции.

33.Определение и примеры бесконечно малой (x) : а) одного порядка с

функцией (x) при x x0 ; б) эквивалентной функции (x) при x x0 ; в) более высокого порядка при x x0 , чем (x) . Что означает символическая запись ( ) при x x0 ?

34.Свойства символа « малое».

35.Эквивалентные бесконечно малые. Таблица основных эквивалентно-

стей.

36.Определение производной функции в точке.

37.Определение дифференцируемой функции в точке.

38.Определение дифференциала функции.

39.Правила дифференцирования.

40.Теорема о производной сложной функции.

41.Теорема о производной обратной функции.

42.Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение ка-

сательной.

43.Логарифмическая производная.

44.Определение эластичности функции. Свойства эластичности.

45.Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.

46.Теорема Лопиталя. Правило Лопиталя.

47.Производные и дифференциалы высших порядков.

48.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

49.Признак монотонности дифференцируемой функции.

50.Определение локального экстремума функции одной переменной.

28

51. Необходимое условие локального экстремума функции одной пере-

менной.

52. Достаточное условие локального экстремума функции одной перемен-

ной.

53. Определение выпуклости (вогнутости) графика функции на интервале

(a,b) .

54.Точка перегиба функции.

55.Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки пе-

региба.

II.Свойства и теоремы с доказательством:

1.Теорема о существовании у непустого ограниченного сверху (снизу)

числового множества точной верхней (точной нижней) грани.

2.Единственность предела сходящейся последовательности.

3.Ограниченность сходящейся последовательности.

4.Свойства бесконечно малых последовательностей: об алгебраической сумме двух бесконечно малых последовательностей, о произведении двух бесконечно малых последовательностей, о произведении беско-

нечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

5.Свойства сходящихся последовательностей: об алгебраической сумме двух сходящихся последовательностей, о произведении двух сходящих-

ся последовательностей.

6.Теорема Кантора о вложенных отрезках.

7.Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов,

если последние существуют и конечные.

8.Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют и конечные.

9.Первый замечательный предел.

10.Арифметические действия с функциями, непрерывными в точке.

29