Черник, О. В. Контрольная тетрадь по теории вероятностей и математической статистике

6)на каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 2-3 см для замечаний преподавателя;

7)контрольная должна быть выполнена самостоятельно. Если преподаватель установит несамостоятельность выполнения работы, то она не будет зачтена;

8)если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач у студента возникают трудности, то он может обратиться к преподавателю, ведущему дисциплину, за консультацией;

9)получив прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтенную), студенту следует исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, учесть его рекомендации и советы. В случае незачета по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу;

10)зачтенная контрольная работа предъявляется студентом при сдаче экзамена.

13

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ, ТЕОРЕМЫ

РАЗДЕЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.

Опыт (испытание) представляет собой осуществление на практике некоторого комплекса условий. Результат опыта называют событием

(исходом, явлением).

Пример. Опыт: покупка лотерейного билета. Событие, являющееся результатом этого опыта: выигрыш по лотерейному билету.

Все события делят на: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания произойти не может. Случайным называют событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти.

Обозначают: U – достоверное событие; V – невозможное событие;

A, B,C... или A1, A2 ,... – случайные события.

События называются несовместными, если в результате испытания невозможно их совместное появление. В противном случае, события

совместны.

События A1, A2 ,..., An образуют полную группу, если в результате опыта

появится хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу, несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из них.

Равновозможными называются события, если объективно появление ни одного из них не является более возможным, чем другого.

Событие A называется противоположным событию A , если события A и A несовместны и образуют полную группу.

Вероятность события. Классическое определение вероятности события

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления события.

Существуют различные подходы определения вероятности события.

Рассмотрим классическое определение вероятности события. Оно осуществимо, если результаты опыта можно представить в виде конечного числа несовместных равновозможных исходов, образующих полную группу.

Пусть в результате испытания может появиться одно из событий

A1, A2 ,..., An , образующих полную группу несовместных, равновозможных

исходов. Назовем их элементарными исходами опыта, а n – числом элементарных исходов.

14

Событие A появилось в m из n элементарных исходов, тогда m – число исходов, благоприятствующих событию A .

Вероятность события A равна отношению числа m исходов, благоприятствующих событию A , к числу n элементарных исходов

данного опыта.

Записывают: m P( A) = n .

Из классического определения вероятности следует, что:

1)0 ≤ P( A) ≤1, так как 0 ≤ m ≤ n ;

2)P(U ) =1, так как m = n ;

3)P(V ) = 0 , так как m = 0.

Пример. Найти вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

Решение.

1)Формулируем опыт, который осуществляется в задаче. Опыт: бросание игральной кости.

2)Перечисляем элементарные исходы данного опыта:

A1 – выпало 1 очко,

A2 – выпало 2 очка,

A3 – выпало 3 очка,

A4 – выпало 4 очка,

A5 – выпало 5 очков,

A6 – выпало 6 очков. Подсчитываем их количество:

n= 6.

3)Описываем событие, вероятность которого нужно найти, и среди элементарных исходов выбираем те, в которых оно появилось; определяем их количество m .

A – выпало четное число очков.

m= 3.

4)Находим вероятность события A .

P( A) = 63 = 0,5 , или 50%.

В этой задаче при нахождении чисел m и n использовался метод перебора, но при больших значениях чисел m и n он становится неэффективным, и тогда применяют правила и формулы комбинаторики.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, решающий вопросы, связанные с подсчетом числа комбинаций (выборок), удовлетворяющих

15

определенным условиям, которые можно составить из элементов конечного множества.

Правило произведения: если объект X из некоторого конечного множества можно выбрать n1 способами, а после каждого такого выбора

объект Y можно выбрать n2 способами, то пару объектов X и Y в указанном порядке можно выбрать n1 n2 способами.

Правило произведения, сформулированное для двух объектов, можно обобщить на любое количество объектов.

Пример. Сколько двузначных чисел можно составить в десятичной системе счисления.

Решение. Пусть X – первая цифра двузначного числа. Ее можно выбрать девятью способами: n1 = 9 .

Y – вторая цифра двузначного числа. Ее можно выбрать десятью способами: n2 =10 .

Значит, обе цифры вместе, т. е. пару объектов X и Y , в указанном порядке можно выбрать n1 n2 = 9 10 = 90 способами.

Следовательно, 90 двузначных чисел можно составить в десятичной системе счисления.

Правило суммы: если объект X из некоторого конечного множества можно выбрать n1 способами, а объект Y можно выбрать n2 способами, при

этом способы выбора объектов X и Y не пересекаются, то любой из объектов X или Y можно выбрать n1 + n2 способами.

Правило суммы, сформулированное для двух объектов, можно обобщить на любое количество объектов.

Пример. В корзине имеется 12 роз, 15 гвоздик и 7 хризантем. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины.

Решение. Пусть X – роза. Ее можно выбрать 12-тью способами: n1 =12. Y – гвоздика. Ее можно выбрать 15-тью способами: n2 =15.

Z – хризантема. Ее можно выбрать 7-ю способами: n3 = 7 .

Значит, один цветок: или розу, или гвоздику, или хризантему, то есть любой из объектов X или Y , или Z – можно выбрать n1 + n2 + n3 =12 +15 + 7 = 34 способами.

Формулы комбинаторики позволяют подсчитывать число выборок, составленных из элементов конечного множества, в зависимости от их типа и схемы выбора.

I схема выбора (без повторений): выбранный элемент не возвращается во множество перед выбором следующего элемента. Эта схема позволяет осуществлять одновременный выбор всех элементов комбинации.

II схема выбора (с повторениями): выбранный элемент возвращается во множество перед выбором следующего элемента. Эта схема подразумевает поэлементное составление выборки.

Размещениями из n элементов по k элементов называются выборки,

каждая из которых содержит k из n элементов множества, и отличающиеся

16

друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Обозначают: Ank –

число размещений из n по k без повторений,					k – число размещений из n
				A
по k с повторениями.				n
		Ak	= n(n −1)(n −2) K (n −k +1)
		n

Ank = nk

Перестановками из n элементов называются выборки, каждая из которых содержит все n элементов множества, и отличающиеся друг от

друга порядком элементов. Обозначают: Pn

– число

перестановок из n

элементов.

Pn = n!=1 2 3 ... n

Запись « n!» читают «n факториал».

0!=1,

1!=1.

Если же среди n элементов множества

k

различных, при этом первый

из них повторяется n раз, второй –

n

раз, …,

k -ый –

n

раз (

k

2

k

n = n ), то

1

∑ i

i =1

число различных перестановок из таких n элементов находят

Pn (n1,n2 ,K,nk ) = n1!n2!nK! nk !

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются выборки,

каждая из которых содержит k из n элементов множества, и отличающиеся друг от друга составом элементов. Обозначают: Cnk – число сочетаний из n по k без повторений, Cnk – число сочетаний из n по k с повторениями.

		n!
	Cnk =						Cnk = Cnk+k −1
		k!(n −k)!

Алгебра событий

Суммой событий A1, A2 ,..., An называется событие, состоящее в

наступлении хотя бы одного из слагаемых событий. Обозначают:

A1 + A2 +... + An .

17

Если слагаемые события A1, A2 ,..., An несовместны, то событие, равное

их сумме, состоит в наступлении только одного из этих событий:

или A1,или A2 ,...,или An .

Произведением событий A1, A2 ,..., An называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий: и A1,и A2 ,...,и An . Обозначают:

A1 A2 ... An .

Пример. Пусть A1 – студент сдал первый экзамен в сессию на «хорошо». A2 – студент сдал второй экзамен в сессию на «хорошо».

Тогда A1 + A2 – студент сдал на «хорошо» хотя бы один из двух

экзаменов.

A1 A2 – студент сдал на «хорошо» оба экзамена.

Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей

Вероятность события A называется условной, если она найдена при условии, что событие B уже произошло. Обозначают: PB ( A) или P( A/ B) .

Вероятность совместного наступления событий A1, A2 ,..., An или вероятность произведения событий A1, A2 ,..., An находим, используя теорему умножения вероятностей:

P( A1 A2 ... An−1 An ) = P( A1 ) PA1 ( A2 ) K PA1 A2 ... An−1 ( An )

Пример. Устройство прекратило работать вследствие выхода из строя одного из пяти блоков. Производится последовательная замена каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Найти вероятность того, что придется заменить два блока.

Решение. Формулируем событие, вероятность которого нужно найти: A – заменили два блока.

В качестве событий, через которые будем выражать событие A , возьмем следующие события:

Ai – i -ый блок исправен (i =1,2).

Тогда устройство заработает вследствие замены двух блоков, если первый замененный блок окажется исправным, а второй – неисправным, т.е. совместно появятся события A1 и A2 . Значит,

A = A1 A2 .

Находим вероятность события A , используя теорему умножения вероятностей:

	P( A) = P(A		) = P(A ) P			(		) =	4		1		=	1	.
		A					A
	1 2			1	A	2			5	4			5
					1
	События A и B называются независимыми, если наступление одного
	из них не меняет вероятности появления				другого, т.е.									PB ( A) = P( A) и
	PA (B) = P(B) .

18

Вероятность совместного наступления независимых событий A1, A2 ,..., An находим, используя формулу

P( A1 A2 ... An ) = P(A1 ) P(A2 ) K P(An ), где

A1 , A2 ,..., An − независимы.

Пример. В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность того, что студент правильно ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй – 0,8, на третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент правильно ответит на все три вопроса, предложенные в экзаменационном билете.

Решение. Формулируем событие, вероятность которого нужно найти: C – студент правильно ответил на все три вопроса, предложенные в экзаменационном билете.

В качестве событий, через которые будем выражать событие С, возьмем следующие события:

Ai – студент правильно ответил на i -ый вопрос (i =1,2,3).

Тогда событие C наступит, если студент ответит и на первый, и на второй, и на третий вопрос, т.е. совместно появятся события A1 , A2 и A3 .

Значит,

C = A1 A2 A3 .

Находим вероятность события C , учитывая независимость событий A1 ,

A2 и A3 :

P(C) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0,9 0,8 0,7 = 0,504 .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия

Если события A1, A2 ,..., An несовместны, то вероятность того, что в

результате испытания появится хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

P( A1 + A2 +... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) +K+ P( An ), где

A1, A2 ,..., An − несовместны.

Следствие 1. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна 1, т.е.

P( A1) + P( A2 ) +K+ P( An ) =1, где A1, A2 ,..., An −

несовместныесобытия, образующиеполнуюгруппу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

P( A) + P( A) =1 .

19

Из данного следствия можно вывести формулу нахождения вероятности противоположного события: P( A) =1− P( A) .

Если события A1, A2 ,..., An совместны, то вероятность того, что в результате испытания появится хотя бы одно из них, находят по формуле

P( A1 + A2 +... + An ) =1− P( A1 A2 K An ).

Эту формулу можно применять и для нахождения вероятности суммы несовместных событий.

Пример. В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность того, что студент правильно ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй – 0,8, на третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент правильно ответит хотя бы на один из трех вопросов, предложенных в экзаменационном билете.

Решение. Формулируем событие, вероятность которого нужно найти: C – студент правильно ответил хотя бы на один из трех вопросов, предложенных в экзаменационном билете.

В качестве событий, через которые будем выражать событие С, возьмем следующие события:

Ai – студент правильно ответил на i -ый вопрос (i =1,2,3).

Тогда событие C наступит, если появится хотя бы одно из событий A1 , A2 или A3 . Значит,

C = A1 + A2 + A3 .

Находим вероятность события C , учитывая совместность и независимость событий A1 , A2 и A3 :

P(C) = P( A1 + A2 + A3 ) =1− P( A1 A2 A3 ) =1−(1−0,9)(1−0,8)(1−0,7) = 0,994.

Формула полной вероятности. Формула гипотез Байеса

Пусть события H1, H2 ,..., Hn несовместны и образуют полную группу,

назовем их гипотезами. Событие A может появиться только совместно с одним из них, т.е. A = H1 A + H2 A +... + Hn A.

Тогда вероятность события A находят по формуле полной

вероятности

	n	n
	P( A) = ∑P(Hi ) PHi ( A), где ∑P(Hi ) =1
	i=1	i−1

Если событие A, которое может появиться только вместе с одним из несовместных событий H1, H2 ,..., Hn , образующих полную группу, уже

произошло. И необходимо выполнить количественную переоценку вероятностей гипотез, т.е. найти вероятности PA (H1 ), PA (H2 ),K, PA (Hn ) . Для

этого применяют формулу гипотез Байеса

20

		P(Hi ) PHi	( A)	n
	PA (Hi ) =			, где P( A) = ∑P(Hi ) PHi ( A)	.
		P( A)
				i =1

Повторные независимые испытания

Схемой Бернулли называется последовательность повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1)каждое испытание имеет ровно два исхода, в одном из которых появляется событие A , в другом – событие A ;

2)испытания независимы относительно события A , т.е. вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний;

3)вероятность появления событияA в каждом испытании одна и та же. Формула Бернулли применяется для нахождения вероятности того, что

событие A появится k раз в n повторных независимых испытаниях. Обозначают: Pn (k) .

						P (k) =Ck pk qn−k					,
						n	n
	где Cnk =	n!
				, p = P( A) , q = P(					) =1 − p .
								A
		k!(n −k)!

Пример. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста смородины равна 0,2. Найти вероятность того, что из 6 кустов смородины вирусным заболеванием будут поражены: а) 2 куста; б) хотя бы один куст.

Решение. Так как отдельно взятое испытание состоит в проверке зараженности куста смородины вирусным заболеванием, то количество испытаний будет равно 6:

n = 6.

Событие, ожидаемое в результате каждого испытания, состоит в следующем:

A – куст смородины поражен вирусным заболеванием. Тогда по условию задачи

p = P( A) = 0,2; q = P( A) =1−0,2 = 0,8.

	Вычисляем искомые вероятности:
а) P (2) = C2		0,22 0,86−2	=	6!		0.04 0,4096 ≈ 0,246 ;
6	6			2!(6 −2)!

б) вероятность P6 (k ≥1) можно найти двумя способами.

1) Представить в виде суммы вероятностей:

P6 (k ≥1) = P6 (1) + P6 (2) + P6 (3) + P6 (4) + P6 (5) + P6 (6) . 2) Выразить через вероятность противоположного события:

P6 (k ≥1) =1 − P6 (0) .

21

Воспользуемся вторым способом, так как он рациональнее.

P6 (k ≥1) =1− P6 (0) =1−C60 0,20 0,86−0 =1− 0!(66!−0)! 0,262144 ≈0,738 .

При большом числе испытаний применение формулы Бернулли для нахождения вероятности Pn (k) становится неудобным в силу громоздких

арифметических вычислений. В случае, когда n велико, применяют приближенные формулы: формулу Пуассона, локальную и интегральную формулы Лапласа.

Формула Пуассона дает достаточно точное значение вероятности Pn (k) при следующих условиях: n – велико, p – мало, так что np ≈ npq .

Pn (k) ≈ λk ke!−λ , гдеλ = np

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября окажется одновременно днем рождения 4 студентов факультета.

Решение. Так как отдельно взятое испытание состоит в выяснении дня рождения каждого студента факультета, то количество испытаний будет равно 1825:

n =1825 .

Событие, ожидаемое в результате каждого испытания, состоит в следующем:

A – день рождения студента приходится на 1 сентября. Тогда по классическому определению вероятности

p = P( A) = 3651 .

Так как

n – велико,

p – мало

и

np =1825

1

= 5

≈ npq = 5

364

, то

365

365

отвечаем на вопрос задачи, используя формулу Пуассона:

λ =

1825

1

= 5

365

P

(4) ≈

54

e

−5

625

≈ 0,107.

=

1825

4!

24e5

Локальная формула Лапласа дает достаточно точное значение

вероятности

Pn (k) при

следующих условиях: n –

велико, p –

большое

(0,1 ≤ p ≤ 0,9) .

P (k) ≈ ϕ(x)

, где x = k −np

1

e−

x2

, ϕ(x) =

2

n

npq

npq

2π

22