- •Элементы теории множеств
- •§1. Основные понятия. Способы задания множеств
- •§2. Отношения между множествами
- •§3. Операции над множествами
- •Свойства операций над множествами:
- •§4. Декартово (прямое) произведение двух множеств
- •Свойства декартового произведения двух множеств:
- •Элементы математической логики
- •§1. Высказывания. Операции над высказываниями
- •Операции над высказываниями
- •§2. Равносильность формул. Свойства (законы) логических операций
- •Свойства (законы) логических операций:
Элементы теории множеств
§1. Основные понятия. Способы задания множеств
Понятие множества является основным (неопределяемым) понятием.
Под множествомбудем понимать совокупность, набор объектов любой природы, объединенных по какому-либо признаку и рассматриваемых как единое целое. (А,В,С,… - обозначения множеств).
Объекты, из которого состоят множества, называютэлементами множества(обозначение: а, в, с, х, у,...).
Запись аА (а является элементом А).
Существует множество, которое не содержит не одного элемента – пустое множество()
Множество треугольников, сумма углов которого равна 190оявляется.
Существует два основных способа задания множеств:
1.Задание множеств перечислением его элементов. Данный способ применяется в случае, если количество элементов в множестве невелико.
А={1, 2, 3, 4, 5}
B={а, в, с}.
2. В случае, если количество элементов множества бесконечно или конечно, но достаточно велико, используется второй способ задания с помощью характеристического свойства.
Характеристическое свойство– свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы.
Например: М = {mm=2n,nz}={-4, -2, 0, 2, 4, 6,…}
Существуют общепринятые обозначения числовых множеств:
N– натуральные числа (используют при нумерации)
Z– целые числа (натуральные числа, противоположные им и 0)
Q – рациональные числа (могут быть записаны в виде дроби)
m, где - целое число,nN
n
J–иррациональные (2,3,34,, е,log23,sin10,cos50)
R– действительные =R=QJ
C– комплексные (числа в которых квадрат числа может быть отрицательным )
§2. Отношения между множествами
кванторы квантор общности (х- для любого числаx)
квантор существования (у - существует такое число у)
Отношение включения
АВ (А является подмножеством В) – А включается в В, если любой элемент из А принадлежит В. (АВ:хА=хВ).
Отношения между множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
включение
А={а, в, с}
Множества {а}, {в}, {с}, {а,в}, {а,с}, {в,с}, {а,в,с}, являются подмножествами А.
Вообще говоря, если множество содержит nэлементов, то для такого множества можно задать 2nподмножеств. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Отношение пересечениямножеств: АВ, если существуют элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Отношение равенствамножеств
А={2, 3, 4, 5, 6}
В= {2, 5, 2, 4, 6}
Возьмем любой хА =хВ =АВ
=А=В
Возьмем любой уВ =уА =ВА
Т.о. множества А и В состоят из одних и тех же элементов при этом порядок записи значения не имеет.
Если множества заданы характеристическими свойствами, то для доказательства равенства этих множеств необходимо показать, что характеристические свойства этих множеств одинаковы.