2.7ИДЗ матан
.pdfМетодические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий
Методические указания к решению индивидуального задания № 1
Индивидуальное задание № 1 соответствует теме «Неопределённый интеграл» теоретического раздела дисциплины. Каждый вариант содержит 30 интегралов, нахождение которых позволит освоить основные приёмы и методы интегрирования.
Основными методами интегрирования являются:
непосредственное интегрирование;
интегрирование по частям;
замена переменной.
Кроме того, напомним важное правило интегрирования, позволяющее значительно расширить таблицу интегралов. Это правило основано на следующей теореме.
Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё, т.е. если:
f x dx F x C, то и f u du F u C,
где u x – любая дифференцируемая функция от x.
Эта теорема позволяет приводить интеграл к табличному виду, используя свойство инвариантности формул интегрирования. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией её.
Приведём таблицу неопределённых интегралов для случая, когда переменной интегрирования является функция u x :
|
|
n |
|
|
|
un 1 |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|||||||
1. |
u |
du |
|
|
|
|
|
|
|
C , n 1; |
7. |
|
|
|
|
|
|
tgu C; |
|||||||
n 1 |
|
|
|
cos2 u |
|||||||||||||||||||||
2. |
|
du |
ln |
|
u |
|
C ; |
8. |
|
|
du |
|
ctgu C; |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
sin2 u |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. audu |
au |
|
|
C; |
9. |
|
|
|
du |
|
|
|
arcsinu C; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 u |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
eudu eu |
C ; |
10. |
|
du |
|
|
|
arctgu C; |
||||||||||||||||
1 u2 |
|
|
|
sinudu cosu C ; |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
11. |
|
|
|
|
ln |
u |
|
|
u2 k |
C; |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
cosudu sinu C; |
12. |
|
du |
|
1 |
ln |
1 u |
|
C . |
||||||||
1 u2 |
|
|
2 |
|
1 u |
|
Метод непосредственного интегрирования основан на знании таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла:
1.kf x dx k f x dx, k R;
2.f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы:
udv u v vdu.
Схема интегрирования по частям предполагает предварительное разбиение подынтегрального выражения на произведение двух множителей u и du. При этом основным критерием правильности разбиения служит то, что интеграл в правой части формулы интегрирования по частям должен быть проще или, по крайней мере, не сложнее исходного интеграла vdu. При интегрировании по частям следует придерживать-
ся следующих рекомендаций:
1.если в подынтегральное выражение входит произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию, то в качестве u берётся многочлен;
2.если в подынтегральное выражение входит логарифмическая
или обратная тригонометрические функции, то именно эти функции и берутся за u.
Метод замены переменной применяется при нахождении интегралов от тригонометрических, иррациональных и т.п. функций. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема 1. Пусть функция f x непрерывна на интервале |
a;b , |
и функция x u t определена и дифференцируема на интервале |
; |
и имеет область значений a;b . Тогда если на интервале a;b |
функ- |
ция f x имеет первообразную, то на интервале ; имеет место ра-
венство:
f x dx f u t u t dt .
2
Отметим, что нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций.
Все интегралы от тригонометрических функций можно разбить условно на две группы.
К первой группе относятся интегралы, для нахождения которых применяется непосредственное интегрирование в сочетании с методом подведения под знак дифференциала, при этом необходимо предварительно преобразовать тригонометрическую функцию, используя различные формулы тригонометрии:
cos2 1 cos2 , 2
sin2 1 cos2 , 2
sin cos 1sin2 , 2
1
cos cos 2 cos cos ,
1
sin cos 2 sin sin ,
1
sin sin 2 cos cos .
Ко второй группе относятся интегралы, для нахождения которых используются подходящие подстановки, что позволяет свести интегрирование рациональных тригонометрических функций к интегрированию рациональных дробей.
Основным методом интегрирования иррациональных функций является метод подстановки. При интегрировании таких функций, выбранная подстановка должна рационализировать подынтегральную функцию. При этом используются как алгебраические, так и тригонометрические подстановки.
Особое место среди интегрируемых функций занимают дробнорациональные функции, интеграл от которых всегда может быть выражен через элементарные функции. Приведём схему интегрирования дробно-рациональных функций:
1)Проверить, является ли рациональная дробь правильной. Если степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена знаменателя (дробь неправильная), то делением числителя на знаменатель выделить целую часть. В результате от исходной неправильной рациональной дроби переходим к сумме многочлена (целая часть) и правильной рациональной дроби.
2)Представить правильную рациональную дробь в виде суммы простых дробей. Для этого:
2.1. Разложить знаменатель на линейные и квадратичные множители, не имеющие вещественных корней.
3
2.2.Представить дробь в виде суммы простых дробей с неопределёнными коэффициентами.
Множитель |
Кол-во |
|
Простые дроби, соответствующие этому |
|||||||||||
знаменателя |
дробей |
|
|
|
|
|
|
множителю |
|
|
|
|
|
|
x a k |
k |
|
|
A1 |
|
|
A2 |
|
Ak |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a k |
|
x a k 1 |
x a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 px q k , |
k |
|
A1x B1 |
|
|
A2x B2 |
|
|
Ak x Bk |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p2 4q 0 |
|
|
x2 px q k |
x2 px q k 1 |
x2 px q |
2.3. Найти неопределённые коэффициенты разложения.
3) Интеграл от рациональной дроби найти, используя свойство линейности неопределённого интеграла.
Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 1
Вариант № 0
Задание 1. Найдите интегралы, применив теорему о независимости вида формулы интегрирования от характера переменной интегрирования:
1.1. |
|
4arcsin x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. cos 3x 4 dx; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.3. |
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. tg2 31xdx; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.4. |
|
cosxsinxdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. |
|
|
x4dx |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x5 |
|
||||||||||||||||||||||||
1.5. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. |
4 |
3x |
dx. |
|
||||||||||||
|
sin |
2 |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.1. |
4arcsin x dx |
|
|
|
4arcsin x |
|
|
d(arcsinx) |
4 |
arcsin x |
d(arcsin x) |
|
4arcsin x |
C. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ln4 |
|
|||||||||||||||
|
1 x2 |
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Ответ: |
4arcsin x dx |
|
4arcsin x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ln4 |
|
|
|
|
|
|||
1.2. cos 3x 4 dx cos 3x 4 |
d 3x 4 |
|
1 |
|
cos 3x 4 d 3x 4 |
|||||||
3 |
3 |
1sin 3x 4 C. 3
Ответ: cos 3x 4 dx |
1 |
|
|
sin 3x 4 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.3. |
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
d(x4) |
1 |
|
|
|
|
|
d(x4) |
|
|
1 1 |
arctg |
x4 |
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 x8 |
|
2 2 |
x4 2 |
|
|
|
4x3 |
|
4 |
22 |
x4 |
4 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
arctg |
x4 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
x3dx |
|
1 |
arctg |
x4 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 x8 |
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. |
|
sinxcosxdx |
|
sinxcosx |
|
|
|
d 1 sin2 |
x |
|
sinxcosx |
|
d 1 sin2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 sin2 x |
|
1 sin2 x |
|
|
|
1 sin |
2 |
|
|
1 sin2 x |
2sinxcosx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
d 1 sin2 x |
|
|
1 |
ln1 sin2 x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
sinxcosxdx |
|
1 |
ln |
|
1 sin |
2 |
x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 sin2 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3x 4 |
|
|
|
|
|
|
d 3x 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 3x 4 |
sin2 3x 4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
sin2 3x 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
ctg 3x 4 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ctg 3x 4 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 3x 4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 31x |
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2 31x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
cos2 31x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. tg |
|
31xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 31x |
|
|
|
cos2 31x |
|
cos2 31x |
cos2 31x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 31x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 31x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x C |
|
|
|
|
|
|
tg31x x C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 31x |
|
|
31 |
|
|
|
31 |
cos2 31x |
|
31 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: tg2 31xdx |
|
1 |
|
tg31x x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
d 4 x5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
3 x |
|
|
|
|
4 x |
3 d 4 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.7. |
|
4 x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
4 x |
|
3 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
3 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.8. |
4 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4dx |
|
|
3xdx |
|
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
d x2 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 9 |
x2 9 |
x2 9 |
|
x2 32 |
|
x2 |
9 |
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
d |
x2 9 |
|
C |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
x2 |
9 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
4 3x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
arctg |
|
|
|
ln |
x |
|
9 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
9 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найдите интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
2.1. 2 3x sin2xdx; |
2.3. xarctg2xdx; |
||||
2.2. |
|
|
2.4. 4 x e |
x |
|
x |
lnxdx; |
3 |
dx. |
||
Решение |
|
|
|
6
u2 3x du 3dx
2.1.2 3x sin2xdx dv sin2xdx v sin2xdx 1cos2x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 3x |
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
cos2x |
3 dx 2 3x |
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
cos2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
sin2x C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 2 3x sin2xdx |
3x 2 |
|
cos2x |
3 |
sin2x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u lnx du |
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2.2. |
|
|
xlnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
x2 |
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dv |
|
|
|
xdx v |
|
|
xdx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lnx |
2 |
x |
|
|
2 |
|
x |
dx lnx |
2 |
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
lnx x |
|
|
4 |
x |
|
C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
lnxdx |
2 |
lnx x |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
x |
3 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u arctg2x du |
|
|
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. xarctg2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 42x2 |
|
arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv xdx v xdx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
|
arctg2x |
x2 |
|
|
|
|
|
x2dx |
arctg2x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
1 4x2 |
2 |
|
1 4x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 4x2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
1 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx arctg2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
4 |
1 4x2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
d 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
arctg2x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
2 |
1 2x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Ответ: xarctg2xdx arctg2x |
x2 |
|
|
1 |
x |
1 |
arctg2x C. |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.4. 4 x e |
x |
|
u 4 x du dx |
|
|
|
|
|
3 4 x e |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
dv e3dx v e3dx 3e3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||||
3e |
3 |
dx 3 4 x e |
3 |
3 e |
3 |
dx 3 4 x e |
3 |
9e |
3 |
C. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 4 x e3dx 3 4 x e3 9e3 C.
Задание 3. Найдите интегралы от рациональных дробей:
3.1. |
2x 1 dx |
|
|
3.3. |
2x2 3 dx |
||||
|
; |
|
|
|
; |
||||
x2 3x 4 |
|
x 4 x2 5 |
|||||||
|
x 3 dx |
|
|
|
|
4x2 2x 1 |
|||
3.2. x x 4 2 ; |
|
|
3.4. |
|
dx. |
||||
|
|
x2 2x 1 |
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.1. Подынтегральная функция |
f x |
2x 1 |
|
содержит в знамена- |
|||||
x2 3x 4 |
|||||||||
теле квадратный трёхчлен x2 |
|
|
|
|
|||||
3x 4 . Поэтому интегрирование про- |
водится по следующей схеме:
а) в квадратном трёхчлене выделим полный квадрат:
|
2 |
|
2 |
3 |
3 2 |
3 2 |
|
3 2 |
|
7 |
|
|||||||
x |
|
3x 4 x |
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
; |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) введём новую переменная u x 1,5, откуда x u 1,5 и dx du; в) в исходном интеграле переходим к новой переменной:
|
2x 1 dx |
|
2 u 1,5 1 |
|
2u 3 1 |
2u 2 |
|||
|
|
|
|
|
du |
|
du |
|
du; |
x2 3x 4 |
u2 1,75 |
|
u2 1,75 |
u2 1,75 |
г) разбиваем последний интеграл на два интеграла, один из которых табличный, а второй приводится к табличному подведением под знак дифференциала:
8
|
2u 2 |
2udu |
|
|
|
2du |
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
d u2 1,75 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u2 1,75 |
u2 1,75 |
u2 1,75 |
u2 1,75 |
|
|
2u |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
du |
|
|
d(u2 1,75) |
|
|
|
|
2 |
|
|
arctg |
|
u |
|
C |
|
||||||||||||||||||
u2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
u2 |
1,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1,75 |
1,75 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1,75 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2ln |
|
u2 1,75 |
|
|
|
2 |
|
|
arctg |
|
u |
|
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 |
|
|
|
1,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) возвращаемся к старой переменной:
2ln |
|
u2 1,75 |
|
|
2 |
|
|
|
arctg |
|
u |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 |
|
|
|
|
1,75 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2ln |
|
x 1,5 2 |
1,75 |
|
|
|
2 |
|
|
arctg |
1,5 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
1,5 |
C. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2ln |
|
1,75 |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1,75 |
|
1,75 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.2. Подынтегральная функция |
|
|
|
|
|
является правильной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x 4 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рациональной дробью. Для интегрирования такой дроби её необходимо разложить на сумму простых дробей:
x 3 |
|
A |
|
B |
|
C |
. |
(*) |
x x 4 2 |
|
|
x 4 2 |
|||||
|
x x 4 |
|
|
|
Найдем теперь неопределённые коэффициенты A, B и C. Для этого приводим дроби, стоящие в правой части равенства (*) к общему знаменателю:
x |
|
3 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
A |
|
x 4 |
|
2 Bx |
|
x 4 |
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
x x 4 2 |
|
|
x 4 2 |
|
|
|
|
x x 4 2 |
|
|
|||||||||
|
x x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями следует и равенство их числителей
x 3 A x 4 2 Bx x 4 Cx.
Это равенство справедливо для любых значений x Для нахождения трёх неопределённых коэффициентов можно в полученное равенство подставить любые три значения x и получить систему из трёх уравне-
9
ний с тремя неизвестными A, B и С. Возьмём x 0, x 4и x 3. Получим:
x 0: 3 16A A 3 ; 16
x 4: 1 4C C 1; 4
x 3: 0 A 3B 3C 3 3B 3 0 B 3 . 16 4 16
Найденные коэффициенты подставим в разложение дроби и находим интегралы:
x 3 dx |
|
3 dx 3 |
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x x 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||
16 |
|
x |
16 |
x 4 |
4 |
x 4 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16 |
16 |
4 x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: x x 4 2 |
|
|
ln |
|
x |
|
|
ln |
|
x 4 |
|
|
|
|
C. |
|||||||||||||||||||||||||||
16 |
16 |
4 x 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.3. Подынтегральная функция |
f x |
|
|
|
2x2 3 |
является правиль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 4 x2 5 |
|
ной рациональной дробью, поэтому находим интеграл по той же схеме, что и в п. 3.2.
2x2 3 |
|
A |
|
Bx C |
|
A x2 5 Bx C x 4 |
|
x 4 x2 5 |
x 4 |
x2 5 |
x 4 x2 5 |
2x2 3 A x2 5 Bx C x 4
x 4: 35 20A A 7; 4
x 0: 3 5A 4C 3 5 7 4C C 13;
416
x3: 21 14A 3B C 14 7 3B 13 21 B 43.
4 |
16 |
48 |
В результате получаем:
10