Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 14 / Лекция 3

.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
252.42 Кб
Скачать

Лекция 3

Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой в произвольной параметризации. Винтовая линия.

Рассмотрим векторыгладкой линиизаданной естественной параметризацией.

1). Так как то(1)

2). Вектор – единичный вектор гладкой нормали

параллелен спрямляющей плоскости

3). . В (1) заменяемипо формулам (3) и (2). Получим

Подставим выражение в (2).

4). . Дифференцируем поs: =. Заменимиих выражениями по (3) и (4):

Формулы (3),(4),(5) называются формулами Френе, которые рассматривают связь между базисными векторами сопровождающими треугольниками, кручением и кривизной линии.

Определение 3.1. Число называется кручением линиив точкеМ на всей линии . Кручение есть функция параметраS.

Исходя из (5) и так как - единичный вектор, то. Кручение больше 0 тогда и только тогда, когдаипротивоположно направлены.

Геометрический смысл кручения.

Модуль кручения в данной точке кривой есть скорость изменения направления функции b(S) по отношению к естественному параметру S. Так как вектор b=b(S) перпендикулярен соприкасающейся плоскости, то абсолютная величина кручения характеризует скорость изменения положения соприкасающейся плоскости по отношению к параметру S.

Если линия задана в естественной параметризации, то кривизна и кручение есть функция по параметру S: .Уравнения такого вида называются натуральными уравнениями кривой и характеризуют кривую с точностью до движения, так как если у двух кривых натуральные уравнение совпадают, то кривые отличны только положением в пространстве. Если у двух кривых натуральные уравнения совпадают, то на каждой из них существует естественная параметризация, такая что в точках с одинаковыми параметрами кривизна и кручение одинаковы.

Вычислительная формула для кручения линии заданной в естественной параметризации.

- продифференцируем это равенство. Используем (5).

В

ыразим смешанное произведение векторов производных:

формула кручения (6)

Определение 3.2. Линия называется плоской, если все её точки принадлежат некоторой плоскости .

Если во всех точках гладкой плоской линии кручение равно нулю.

Произвольная параметризация.

Пусть кривая задана произвольной параметризацией своими параметрическими уравнениями:

Рассмотрим возможную замену параметра t на s, причем функция s=h(t) является допустимой заменой параметра -1:-1

Найдем

Вектор второй производной параллелен соприкасающейся плоскости, так как он выражен через вектори.

Рассмотрим векторное произведение первой и второй производной.

Винтовая линия

Винтовая линия получена путем равномерного вращенияМ (х,у,z) около осиОz и равномерного движения параллельно оси Оz. Является гладкой линией класса .

Параметрические уравнения винтовой линии: Направляющая винтовой линии совпадает с направляющей кругового цилиндра (ОХУ: , значит, винтовая линия лежит на прямом круговом цилиндре с осьюОz.

Векторное уравнение винтовой линии: .

Используя формулу , имеем:. Таким образом,.

Через Мпроходит прямолинейная образующаяМР цилиндра, имеющая направляющий вектор Так как, то винтовая линия пересекает все образующие под постоянным углом(углом между кривой и прямой называется угол между касательной к этой кривой и данной прямой).

Длина дуги винтовой линии равна .

Вектор главной нормали: Так как(по формуле Френе), то(k – кривизна винтовой линии).

Главная нормаль винтовой линии в точке М есть перпендикуляр к оси цилиндра, проведенный через точку М, т.к. гдеР – проекция М на ОХУ. Вектор главной нормали направлен противоположно вектору

Кручение винтовой линии: . Знак кручения совпадает со знаком числаb.

Винтовая линия является частным случаем достаточно широкого класса линий, называемых кривыми Бертрана. Гладкая линия называется кривой Бертрана, если для нее существует другая гладкая линияи такое отображение, что в каждой паре соответствующих точек линиииимеют общую главную нормаль.

Соседние файлы в папке вопрос 14