Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с
.pdfсовой стрел е, та и против нее), а величины KE и OE будут оставаться постоянными.
Значит,
sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x, k Ý Z,
т. е. синус и осинус — периодичес ие фун ции с периодом 360° (или 2π).
5°. В п. 4° аждому числу x мы сопоставили значения sin x и cos x. Тем самым определены две фун ции числово о ар умента: y = sin x, y = cos x. Эти фун ции называют три онометричес ими.
6°. Помимо названных три онометричес их фун ций рассматривают и их отношения:
y = tg x = sinx (тан енс числа x);
------------
cosx
y = ctg x = cosx ( отан енс числа x).
------------
sinx
7°. Область определения фун ции tg x состоит из всех у - лов, для оторых cos x − 0.
8°. Область определения фун ции ctg x состоит из всех у - лов, для оторых sin x − 0.
4. Знаки тригонометрических функций
1°. Оси оординат делят числовую о ружность на четыре равные ду и; эти ду и называют четвертями (рис. 139).
2°. Зна и синуса. Выясним, при а их значениях x выполняются неравенства sin x > 0 и sin x < 0, т. е. определим, в а-их четвертях числовой о ружности синус положителен, и ва их четвертях он отрицателен.
а) Числу x соответствует точ а число-
вой о ружности, полученная поворотом точ и (1; 0) на у ол x радианов, а число
sin x — это ордината соответствующей точ и. Поэтому sin x > 0, если точ а расположена выше оси абсцисс, т. е. в I и II четвертях синус положителен.
б) Если же точ а лежит ниже оси абсцисс, то ее ордината отрицательна, т. е. sin x < 0 в III и IV четвертях.
261
3°. Зна и осинуса. Выясним, при а их значениях x выполняются неравенства cos x > 0 и cos x < 0.
а) Известно, что cos x — это абсцисса точ и, соответствующей повороту на у ол x, поэтому cos x > 0, если точ а лежит правее оси ординат, т. е. в I и IV четвертях осинус положителен.
б) Если же точ а лежит левее оси ординат, то cos x < 0, т. е. во II и III четвертях осинус отрицателен.
4°. Зна и тан енса и отан енса.
а) Со ласно определению, tg x = sinx , поэтому tg x > 0, ес-
------------
cosx
ли sin x > 0 и cos x > 0 или sin x < 0 и cos x < 0, т. е. тан енс положителен в I и III четвертях.
б) Со ласно определению, ctg x = cosx , поэтому зна и tg x
------------
sinx
и ctg x совпадают.
5°. Обобщая с азанное, проиллюстрируем зна и три онометричес их фун ций на рис. 140.
Рис. 140
5. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
1°. Та а точ а A(x; y) принадлежит единичной о ружности (рис. 141), то x2 + y2 = 1, т. е.
sin2 α + cos2 α = 1. |
(1) |
2°. Равенство (1) выполняется при любых значениях α и называется основным три онометричес им тождеством.
262
3°. Из равенства (1) можно выразить cos α через sin α, и наоборот:
cos α = ä |
1 – sin2α , |
sin α = ä |
1 – cos2α , |
причем зна перед ради алом определяется той оординатной
четвертью, в оторой находится |
Рис. 141 |
|
|
у ол α. |
|
4°. Со ласно определению тан енса и отан енса, имеем
tg α = |
- sin - - - - - - - - - α- - |
, |
ctg α = |
- cos - - - - - - - - - α- - . |
|
cos α |
|
|
sin α |
Перемножив эти два равенства, получим
tg α · ctg α = 1. |
(2) |
5°. Из равенства (2) можно выразить tg α через ctg α, и наоборот:
|
tg α = |
1 |
|
(3) |
|
------------- , |
|||
|
|
ctg |
α |
|
|
|
1 |
|
(4) |
|
ctg α = ----------- . |
|||
|
|
tg |
α |
|
° |
|
|
π |
|
6 |
. Заметим, что равенства (2)—(4) справедливы при α − ä-- k, |
|||
|
|
|
|
2 |
k Ý Z.
7°. Ино да рассматривают еще две три онометричес ие фун - ции — се анс и осе анс.
Се ансом называют величину, обратную осинусу, а осе-ансом — величину, обратную синусу. Та им образом,
sec α = 1 , де cos α − 0;
------------
cosα
cosec α = 1 , де sin α − 0.
------------
sinα
263
6. Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов
1°. Пусть α = 0; то да точ а A имеет оординаты (1; 0) (рис. 142).
Та а абсцисса и ордината этой точ и соответственно равны 1 и 0, то:
а) cos 0° = 1; б) sin 0° = 0;
в) tg 0° = sin 0° = 0 = 0; ) ctg 0° = cos 0° = 1 не определен.
----------------- -- -----------------
° ° -- cos 0 1 sin 0 0
2°. Пусть α = 90° или α = π ; то -
-2- -
да точ а B имеет оординаты (0; 1) (рис. 142). Та а абсцисса и ордината этой точ и соответственно равны 0 и 1, то:
а) cos 90° = 0; б) sin 90° = 1;
в) tg 90° = 1 не определен;
--
0
Рис. 142
) ctg 90° = cos 90° = 0 = 0.
-------------------- --
sin 90° 1
3°. Пусть α = 180° (или α = π); то да точ а C имеет оординаты (–1; 0) (рис. 142). Имеем:
а) cos 180° = –1; б) sin 180° = 0;
в) tg 180° |
0 |
|
|
–1 |
||
= ------ |
= 0; ) ctg 180° = ------ не определен. |
|||||
|
|
|
–1 |
|
|
0 |
|
° |
|
|
|
3π |
|
4 |
|
. Пусть |
α = 270° или α |
= --2---- - |
; то да точ а D имеет оор- |
|
динаты (0; –1) (рис. 142). Имеем: |
|
|||||
а) cos 270° = 0; б) sin 270° = –1; |
|
|||||
в) tg 270° |
–1 |
|
|
0 |
||
= ------ |
не определен; ) ctg 270° = ------ = 0. |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
–1 |
5°. Пусть α = 360° (или α = 2π); то да точ а A имеет оорди- |
||||||
наты (1; 0) (рис. 142). Имеем: |
|
|
||||
а) cos 360° = 1; б) sin 360° = 0; |
|
|||||
в) tg 360° |
0 |
|
1 |
не определен. |
||
= -- = 0; ) ctg 360° = -- |
||||||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
264
6°. Вычислим теперь значения |
|
|
|
|
|
|
||
три онометричес их фун ций у ла |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
α = 30° или α = |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-- |
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
а) Пусть A — |
точ а числовой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
о ружности, соответствующая чис- |
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
лу -- (рис. 143). |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) То да FEOA = 30° и из пря- |
|
|
|
|
|
|
||
моу ольно о треу ольни а OEA по- |
Рис. 143 |
лучаем AE = 1 (со ласно свойству
--
2
атета, лежаще о против у ла в 30°).
в) По определению синуса имеем AE = sin 30°, следователь-
но, sin 30° = 1 .
--
2
) Далее из треу ольни а OEA находим
cos 30° = OE = |
OA |
2 |
– AE |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
= ------- . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
-- |
|
1 |
|
|
|
------- |
|
|
2 |
= |
|
|
|
2 |
= |
3 . |
|
д) То да tg 30° = ------- |
------- ; ctg 30° |
= ------- |
||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
7°. Пусть B — точ а числовой о ружности, соответствую- |
||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
щая числу -- (рис. 143). |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) То да FDOB = 60° |
и из треу ольни а ODB получаем |
1 |
, но по определению осинуса OD = cos 60°, следователь- |
|||
OD = -- |
||||
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
но, cos 60° = -- . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
б) Далее находим sin 60° = ------- ; tg 60° = |
3 ; ctg 60° = ------- . |
|||
|
|
2 |
|
3 |
8°. Анало ично получим |
|
|
||
|
2 |
2 |
; tg 45° = ctg 45° = 1. |
|
|
sin 45° = ------ |
; cos 45° = ------ |
||
|
2 |
2 |
|
|
265
9°. Все полученные значения можно свести в следующую таблицу:
α |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
–1 |
-- |
------ |
------- |
|||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
------- |
------ |
-- |
|||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α |
0 |
3 |
1 |
3 |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
------- |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg α |
не сущ. |
3 |
1 |
3 |
0 |
не сущ. |
0 |
------- |
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Четность и нечетность тригонометрических функций
1°. Напомним, что фун цию f(x) называют четной, если для любо о x из области определения фун ции выполняется равенство f(–x) = f(x).
2°. Фун цию f(x) называют нечетной, если для любо о x из области определения фун ции выполняется равенство f(–x) = –f(x).
3°. Из шести три онометричес их фун ций осинус и се-анс — четные, а остальные — нечетные, т. е.
cos (–x) = cos x; sin (–x) = –sin x; tg (–x) = –tg x; ctg (–x) = –ctg x; cosec (–x) = –cosec x; sec (–x) = sec x.
8. Периодичность тригонометрических функций
1°. Напомним, что фун цию y = f(x) называют периодиче- с ой, если существует та ое число T − 0, что для любо о x из области определения фун ции выполняются равенства f(x – T) = = f(x) = f(x + T), де число T называют периодом фун ции f(x).
2°. Периодом фун ций y = sin x и y = cos x является число T = 2π.
3°. Периодом фун ций y = tg x и y = ctg x является число T = π.
4°. Период фун ций y = A sin (ωx + ϕ) и y = A cos (ωx + ϕ)
вычисляется по формуле T = 2π .
------
w
266
5°. Период фун ций y = A tg (ωx + ϕ) и y = A ctg (ωx + ϕ) вы-
числяется по формуле T = π .
---
w
6°. Если период фун ции y = f(x) равен T1, а период фун -
ции y = g(x) равен T2, то период фун ций y = f(x) + g(x) и y = = f(x) – g(x) равен наименьшему общему ратному чисел T1 и T2.
9. Свойства тригонометрических функций
1°. Область определения. Имеем: D(sin) = (–×; +×); D(cos) = (–×; +×);
D(tg) = R, роме чисел вида π + πn, де n Ý Z. Это выте ает
--
2
из то о, что в точ ах, соответствующих числам у азанно о вида,осинус равен нулю и, следовательно, тан енс не существует;
D(ctg) = R, роме чисел вида πn, де n Ý Z (в соответствующих точ ах отан енс не существует).
2°. Множество значений. Имеем: E(sin) = [–1; 1]; E(cos) = = [–1; 1], та а оординаты любой точ и P числовой о ружности по модулю не превосходят единицы; E(tg) = (–×; +×); E(ctg) = (–×; +×).
3°. Четность и нечетность. Исходя из определений четной и нечетной фун ций, можно установить, что осинус — четная фун ция, а синус, тан енс и отан енс — нечетные фун ции. Следовательно, sin (–α) = = –sin α (рис. 144), tg (–α) = –tg α; ctg (–α) = –ctg α; cos (–α) = cos α (рис. 145), де α — заданное число.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 144 |
|
|
|
|
Рис. 145 |
267
4°. Периодичность. Исходя из определения периодичес ой фун ции, можно установить, что фун ции синус, осинус, тан-енс и отан енс являются периодичес ими, причем для синуса и осинуса наименьший положительный период равен 2π, а для тан енса и отан енса он равен π. Та им образом, sin (α ä 2π) = = sin α; cos (α ä 2π) = cos α; tg (α ä π) = tg α; ctg (α ä π) = ctg α.
5°. Монотонность. Исходя из определения монотонности фун ции, можно установить, что:
|
sin α |
возрастает от –1 до 1 на промежут е |
|
π |
+ 2πk; |
π |
+ |
||||||
|
|
||||||||||||
|
–-- |
-- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
+ 2πk |
, k Ý Z, и убывает от 1 до –1 на промежут е |
+ 2πk; |
|||||||||||
-- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3π |
+ 2πk |
|
, k Ý Z; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
------ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α возрастает от –1 до 1 на промежут е [–π + 2πk; 2πk], k Ý Z, и убывает от 1 до –1 на промежут е [2πk; π + 2πk], k Ý Z;
tg α возрастает в аждом промежут е |
|
π |
π |
πk |
|
, |
|
–-- |
+ πk; -- + |
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
k Ý Z; |
|
|
|
|
|
|
|
ctg α убывает в аждом промежут е (πk; π + πk), k Ý Z. |
|
|
|
||||
17π |
; cos (–2195°); tg (–1759°). |
|
|||||
Примеры. 1. Упростить: sin --------- |
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ре ш е н и е. Используя свойства периодичности, четности
инечетности три онометричес их фун ций, получим
sin 17π = sin 6π – π = sin – π = –sin π = –3 ;
--------- -- -- -- -------
3 3 3 3 2
cos (–2195°) = cos 2195° = cos (360° · 6 + 35°) = cos 35°; tg (–1759°) = tg (41° – 180° · 10) = tg 41°.
2. Сравнить sin 735° и sin (–1066°).
Р е ш е н и е. Имеем sin 735° = sin (735° – 360° · 2) = sin 15°; sin (–1066°) = sin (–1066°+ 360° · 3) = sin 14°. Та а фун ция sin α при 0 < α < 90° монотонно возрастает, то sin 15° > sin 14° и, значит, sin 735° > sin (–1066°).
3.Установить четность или нечетность фун ции F(x) = x3 +
+sin x.
Ре ш е н и е. Та а F(–x) = (–x)3 + sin (–x) = –x3 – sin x = = –(x3 + sin x) = –F(x), то данная фун ция — нечетная.
268
4. Определить зна выражения sin (–4,2) · cos (–5,6).
Р е ш е н и е. Имеем sin (–4,2) · cos (–5,6) = –sin 4,2 · cos 5,6. Пос оль у sin 4,2 < 0, а cos 5,6 > 0, данное выражение положительно.
10.Формулы сложения
1°. Формулы синуса суммы и разности двух ар ументов:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, |
(1) |
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β. |
(2) |
2°. Формулы осинуса суммы и разности двух ар ументов:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, |
(3) |
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β. |
(4) |
3°. Формулы тан енса суммы и разности двух ар ументов:
tg (α + β) =
tg (α – β) =
tg α + tg β ,
----------------------------------
1 – tg α tg β
tg α – tg β .
----------------------------------
1 + tg α tg β
(5)
(6)
π |
π |
+ πn, α + β − |
Формулы (5) справедливы при α − -- |
+ πm, β − -- |
|
2 |
2 |
|
π |
π |
π |
+ πn, α – β − |
− -- |
+ πk, а формулы (6) — при α − -- |
+ πm, β − -- |
|
2 |
2 |
2 |
|
−π + πk (m, n, k Ý Z).
--
2
4°. Формулы отан енса суммы и разности двух ар ументов:
ctg (α + β) =
ctg (α – β) =
ctg α ctg β – 1 ,
----------------------------------------
ctg α + ctg β
ctg α ctg β + 1 .
----------------------------------------
ctg β – ctg α
(7)
(8)
Формулы (7) справедливы при α − πm, β − πn, α + β − πk, а формулы (8) — при α − πm, β − πn, α – β − πk (m, n, k Ý Z).
Примеры. 1. Вычислить без таблиц tg 75°.
Р е ш е н и е. Используя формулу (5), находим
tg 75° = tg (45° + 30°) = |
--- |
tg--------45-------°----+------tg-------30-------°---- |
= |
||||
|
|
|
|
1 – tg 45 |
° tg 30° |
|
|
1 + ---1--- |
= 3 + 1 = |
( 3 + 1)2 |
= 4 + 2 |
3 = 2 + 3 . |
|||
= ----------------- |
3 |
||||||
1 – ------ |
1 |
3 – 1 |
3 – 1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
269
|
|
4 |
3 |
и π < α < |
2. Вычислить cos (α – β), если cos α = –-- |
, sin β = –-- |
|||
|
|
5 |
5 |
|
3π |
3π |
< β < 2π. |
|
|
< ------ , ------ |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
Р е ш е н и е. Находим значения sin α и cos β с учетом четвертей, оторым принадлежат α и β:
sin α = – |
1 – cos |
2 |
α = – |
1 – |
|
4 |
2 |
3 |
; |
||||
|
|
|
–-- |
|
= – -- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|||
cos β = |
1 – sin |
2 |
β = |
1 – |
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|||
|
|
|
–-- |
|
|
= -- . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
Подставляя найденные значения в соотношение (4), получим
cos (α – β) = –4 · 4 + –3 · –3 = – 7 .
-- -- -- -- ------
5 5 5 5 25
11. Формулы приведения
1°. Формулами приведения называют соотношения, с помощью оторых значения три онометричес их фун ций ар у- ментов 90°ä α, 180° ä α, 270° ä α, 360° ä α выражаются через значения sin α, cos α, tg α и ctg α.
2°. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|
|
|
|
Ар умент |
|
|
|
|
Фун ция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90° – α |
90° + α |
180° – α |
180° + α |
270° – α |
270° + α |
360° – α |
360° + α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
cos α |
cos α |
sin α |
–sin α |
–cos α |
–cos α |
–sin α |
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin α |
–sin α |
–cos α |
–cos α |
–sin α |
sin α |
cos α |
cos α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
ctg α |
–ctg α |
–tg α |
tg α |
ctg α |
–ctg α |
–tg α |
tg α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
tg α |
–tg α |
–ctg α |
ctg α |
tg α |
–tg α |
–ctg α |
ctg α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Для обле чения запоминания формул приведения нужно использовать следующие правила:
а) при переходе от фун ций у лов 90° ä α, 270° ä α фун - циям у ла α название фун ции изменяют: синус — на осинус, тан енс — на отан енс, и наоборот;
270