Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

б) при переходе от фун ций у лов 180° ä α, 360° ä α фун - циям у ла α название фун ции сохраняют;

в) считая α острым у лом	π		, перед фун цией
	т. е. 0 < α < --
	2

у ла α ставят та ой зна , а ой имеет приводимая фун ция у лов 90° ä α, 180° ä α, 270° ä α, 360° ä α.

Примеры. 1. Привести три онометричес ой фун ции остро о у ла: а) sin 1914°; б) cos (–1560°); в) ctg 23,7π.

Р е ш е н и е. Имеем

а) sin 1914° = sin (360° · 5 + 114°) = sin 114° = sin (90° + 24°) = = cos 24°;

б) cos (–1560°) = cos 1560° = cos (360° · 4 + 120°) = cos 120° = = cos (90° + 30°) = –sin 30° = –0,5;

в) ctg 23,7π = ctg (23π + 0,7π) = ctg 0,7π = ctg (π – 0,3π) = = –ctg 0,3π.

2. Упростить выражение

A =

Р е ш е н и е.

tg (180° – α)cos (180° – α)tg (90° – α) .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

sin (90° + α)ctg (90° + α)tg (90° + α)

A = (–tg α)(–cos α )ctg α = 1.

--------------------------------------------------------

cos α(–tg α)(–ctg α)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называют числовой о ружностью?

2.Ка ие единицы измерения у$ловых величин вы знаете?

3.Что называют радианом?

4.Ка ие соотношения существуют между $радусной и радианной мерами у$ла?

5.Выразите в радианах у$ол: 115°; 150°.

6.Выразите в $радусах у$ол:

а) α = 1,3; α = 0,85; б) α =	π	;
	--
	8
2π
α = ------ .
3

7.Что называют синусом иосинусом числа?

8.Что называют тан$енсом

иотан$енсом числа?

9.Что означает запись: sin 1,5; cos 0,7; tg 2?

10.Определите зна и всех три$онометричес их фун ций следующих у$лов и чисел: а) 125°; б) –250°; в) 715°; $) –715°; д) 0,27; е) 5,8; ж) –3,7; з) –7,4; и) 7,4.

11.Запишите основное три- $онометричес ое тождество.

12.Чему равны синус и о- синус у$ла: а) 30°; б) 60°; в) 90°; $) 180°; д) –180°; е) 270°; ж) –270°?

13.Чему равны тан$енс и о- тан$енс у$ла: а) 30°; б) 45°; в) 60°; $) –60°; д) 90°; е) 180°?

14.Ка ие свойства синуса иосинуса вы знаете? Что обще$о

вэтих свойствах?

271

15.	Ка ие свойства тан$енса	в) tg (α ä β); $) ctg (α ä β). Напи-
и отан$енса вы знаете? Что об-		шите правые части этих равенств.
ще$о в этих свойствах?		17. Запишите формулы при-
16.	Даны левые части ра-	ведения для у$лов: а) 90° – α;
венств: а) cos (α ä β); б) sin (α ä β);		б) 90° + α; в) 180° – α; $) 180° + α.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите значения остальных три онометричес их фун - ций у ла α, если известно, что:

а) cos α = – 3 , α — в III четверти; б) sin α = –1 , α — в IV чет-

-- --

5 3

верти; в) tg α = 3, α — в III четверти; ) ctg α = –2, α — в IV четверти.

2. Найдите значения остальных три онометричес их фун - ций у ла α, если известно, что:

а) sin α =	a	, α — в I четверти;
	--1-----+-----a----2-
б) cos α = ---	--a----2----–-----b---2- , α — в IV четверти;
	a
в) tg α = 1--	, α — во II четверти.
a
3. Найдите значение выражения:
а) sin (α + β), если sin α =			--8----	, cos β =	4--	, α и β — в I четверти;
			17		5
б) cos (α + β), если sin α =			--8----	, cos β =	4--	, α и β — в I четверти;
			17		5

в) sin (α + β), если sin α =

--9----

, sin β = –40------

, α — во II, β —

41

41

в IV четверти;

) cos (α – β), если sin α =

--

8----

, cos β = 4--

, α и β — в I четверти.

17

5

4. Упростите выражение:

а)

-----sin----------α-----+------2-----sin----------(--60-------°----–-----α-----)---

-

;

б) sin----------90--------°----–-----tg-------(----45------°----+------β)---------tg-----(--3----β-----+------45-------°---)

;

2 cos (30° – α) –

3 cos α

tg (45° + β) + ctg (45° – 3β)

tg

π

π

π

5π

-- +

α + tg

-- – α

tg 9 + tg 36

в)

------------

---8---

---π----

---------------------

---

8----

--------------

-

; ) -----

.

1 – tg

π

1

+ tg

8π

tg

5π

--

+ α tg

-- – α

--9----

-36-----

8

8

272

5.	Вычислите:
а)	-sin----------α-----–-----cos----------α-- , если tg α = 2--			;
	sin α + cos α		5
б)	-----sin--------2---α------+-----sin----------α-----cos----------α---------–--2-----cos---------2---α----			--	, если tg α = –2;
	3sin2 α + 12 sin α cos α + cos2α
в)	3-----sin---------2---α-----+------cos---------2---α-----+------12----------sin--------α-----cos-----------α--					, если ctg α = 2;
	sin2α – 2 cos2α + sin α cos α
)	sin---------2---α-----–------cos---------2---α-- , если ctg α =			1-- .
	sin αcos α			2
6.	Найдите период фун ции:
а) y = 2 sin 4x + 3 sin x + sin (x – π) + 2 sin (x + π);
б) y = 3 sin 4x + 2 tg 5x;
в) y = 1 – tg		x-- ;	) y = sin			x-- + ctg x-- ;
		2				2	5
д) y = cos x--		+ tg x-- ;	е) y = cos			3----x--	+ 5 sin 2----x-- ;
	3	5				4	3
ж) y = 2 sin (x + 2) + 6 cos πx.
7.	Найдите множество значений фун ции:
а) y = 1 – 2|sin 2x|;			б) y = 1 – |cos x|;
в) y = sin 3x + 2;			) y = tg2 x – 2.
8.	Ка ие из данных фун ций являются четными, а ие не-

четными, а ие не являются ни четными, ни нечетными: а) sin x + tg x; б) sin x + cos x; в) sin2 x; ) cos (2x + 1); д) tg 5x + ctg 7x; е) cos 3x + ctg2 x; ж) sin |2x| + cos3 3x?

9.Ка ой зна имеет произведение: а) cos 4° · sin 4; б) sin 1 · cos 2 · ctg 3?

10.Что больше: осинус или отан енс одно о и то о же у - ла прямоу ольно о треу ольни а?

Задания для повторения

11.Из пун та A в пун т B через равные промежут и времени отправились три автомашины. Они прибывают в пун т B одновременно, а затем выезжают в пун т C, расположенный на расстоянии 120 м от B. Третья машина, прибыв в C, сразу поворачивает обратно и в 40 м от C встречает первую машину,оторая прибывает в C через 1 ч после второй. Ка ова с орость второй машины?

12.Два автомобилиста одновременно выехали из пун тов A

иB навстречу дру дру у. Они встретились в 40 м от пун та B.

273

Продолжая дви аться дальше, первый автомобилист, дости - нув пун та B, сразу повернул обратно и в пун т A автомобилисты прибыли одновременно через 2 ч после встречи. Ка ово расстояние между пун тами A и B?

13. Решите уравнение:

а) 30 – 51 – x = 52 – x – 100 ; б) 2x + 1 + 1 = 4x + 21 .

14. Найдите множество значений a и b, при оторых орни x1 и x2 уравнения:

а) x2 – (a2 + 3a + 1)x + 2a + b + 3 = 0 удовлетворяют системе

3x1 – 2x2 = 5,

2x1 + x2 = 8;

б) x2 + (2a – 7)x + b2 – 8b + 3a + 18 = 0 удовлетворяют системе

4x1 – x2 = 5,

2x1 + 3x2 = 13.

15. Решите неравенство:

а) x2 – 4x + 8 m 1 (в ответе у ажите наибольшее решение);------------------------------

x + 2

б)

7----x----2----+------3----x-----–-----7--

l 3x (в ответе у ажите наименьшее решение).

2x – 1

16. Вычислите:

2x + xy + 2y = 8,

а)

x + y , если

x – xy – 2y = 22;

9

+

9

= 10,

--

--

б)

x + 2y2, если

x

y

6x

+

6y

= 13.

y

x

О Т В Е Т Ы

1. а) sin α = –4--

, tg α =

, ctg α = 3--

; б) cos α = 2----

-3----

2- , tg α = –-----1----

- ,

5

4

2

2

ctg α = –2 2 ; в) cos α = –----------

, sin α = –

- - - - 3------ , ctg α =

1--

; $) sin α = –---1---- ,

10

10

3

5

cos α = ---2---- , tg α = –1 . 2.-- а) cos α = ----

-----1-------

----

, tg α = a, ctg α =

1-- ; б) sin α =

5

2

1 + a2

a

, tg α = –

b

, ctg α = –

a2 – b2 ; в) sin α =

1

, cos α =

= –

b

----

------

--

a

a2 – b2

b

a2 + 1

274

= ---------a-----------	, ctg α = a. 3. а) 77------		; б)	36------	; в) 1; $) 84------			. 4. а) 3 ctg α; б) –tg 4β;
a2 + 1		85		85			85
в) 1; $) 1. 5. а) – 3--		; б) 0; в) –6,2; $)			3--	. 6. а)	-π- ; б) π; в) 2π; $) 20π; д) 30π;
	7				2		2

е) 24π; ж) нет периода. 7. а) –1 m y m 1; б) 0 m y m 1; в) 1 m y m 3; $) –2 m m y < +×. 8. а) Нечетная; б) ни четная, ни нечетная; в) четная; $) ни четная, ни нечетная; д) нечетная; е) четная; ж) четная. 9. а) «Минус»; б) «плюс». 10. Если α < 90°, то ctg α > cos α; если α = 90°, то ctg α = cos α. 11. 40 м/ч. 12. 120 м. 13. а) x = –1; б) x = 1. 14. а) a1 = –4, b1 = 11;

a2 = 1, b2 = 1; б) a1 = 1, b1 = 5; a2 = 1, b2 = 3. 15. а) x = 3; б) x = –7. 16. а) 3; б) 6.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1. Та а у$ол α принадлежит III четверти, то sin α < 0, поэтому в

формуле sin α = ä1 – cos2α перед орнем нужно поставить зна «минус»:

		sin α = – 1 – cos2α = –			1 – --9----		= –4-- .
						25	5
	2. Находим тан$енс у$ла α:
		tg α = –4--	: –3--		=	4-- .
		5		5		3
	3. Котан$енс у$ла α найдем из формулы tg αctg α = 1, от уда ctg α =
=	-----1------	= 3-- .
	tg α	4
	4. Котан$енс у$ла α можно найти и та : ctg α = cos-----------α--							= 3-- .
							sin α	4
	К упражнению 1в
	1. Используя формулу 1 + tg2 α =			-------1--------		, получим
				cos2α
		cos2 α = -------	----1--------	----	=	--1---- .
		1 + tg2α				10

2. Та а α — у$ол III четверти, то cos α < 0, и значит, cos α = – 1 .

----------

10

275

3. Та а α — у$ол III четверти, то sin α < 0; поэтому

sin α = – 1 – cos	2	α = –	1	3
			1 – ------	= –---------- .
			10	10
4. Котан$енс у$ла α найдем из формулы tg α · ctg α					1
					= 1, т. е. ctg α = -- .
					3

К упражнению 2б

1. Та а α — у$ол IV четверти, то sin α < 0; поэтому

sin α = – 1 – cos2α = – 1 – a2 – b2

= –

= –

b

.

b

----

a2

a

a

2. tg α = sin α = –

b

.

-----

cos α

a2 – b2

3. ctg α = –-----a---2-- – b2------------ .

b

К упражнению 3в

1. Запишем формулу синуса суммы:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α. (1) 2. Подставив в формулу (1) известные значения sin α и sin β, имеем

sin (α + β) = --9----	· cos β –	40------	· cos α.	(2)
41		41
3. Остается найти cos β и cos α. Имеем
cos β = 1 – sin2β = --9---- ;	cos α = –		1 – sin2α	= –40------ .
41				41

4. Подставив в выражение (2) найденные значения cos β и cos α, о ончательно получим

sin (α + β) = 9 · 9 + 40 · 40 = 1.

------ ------ ------ ------

41 41 41 41

К упражнению 4б

1. Преобразуем второе сла$аемое в знаменателе дроби, для че$о воспользуемся формулой приведения:

ctg (45° – 3β) = tg (90° – (45° – 3β)) = tg (45° + 3β).

276

2. Заменив sin 90° на 1 и используя формулу тан$енса суммы, получим

sin----------90--------°----–-----tg-------(---45-------°-----+-----β)-------tg--------(--3----β-----+-----45--------°---) = 1-----–---tg--------(-------45---°----+-----β)-------tg-------(---3---β-----+------45-------°---)									=
tg (45° + β) + ctg (45° – 3β)					tg (45° + β) + tg (45° + 3β)
		1		= ctg (45° + β + 45° + 3β) =
= tg---------(---45------°-----+-----β-----+-----45--------°----+------3----β)----
		= ctg (90° + 4β) = –tg 4β.
К упражнению 4
1. Выразим tg 8-----π-		через тан$енс остро$о у$ла. Используя формулу
9
приведения, получим tg 8----π--			= tg	π –	-π-	= –tg -π- .
		9			9		9
2. Перепишем данную дробь и применим формулу тан$енса сум-
мы. Имеем
π		5π		π		5π
------tg--------9-------	+------tg---------36----------------		= ----	tg--------9-------+------tg-------		-36---------------	= tg	-π- = 1.
1 + tg	8----π-- tg 5-----π-		1	– tg	-π- tg 5----π--			4
	9	36			9	36

К упражнению 5а

1.Пос оль у значение tg α дано в условии, следует преобразовать заданное выражение та , чтобы появился тан$енс.

2.Разделим числитель и знаменатель дроби на cos α (это можно сделать, та а cos α − 0). То$да получим

		2	– 1
sin α – cos α	= tg α – 1	--		= –3 .
		= -5-----	-------
sin α + cos α	tg α + 1	2	+ 1	7
		--
		5

К упражнению 5

Разделим числитель и знаменатель дроби на sin2 α (это можно сделать, та а sin α − 0):

sin2 α – cos2 α	= 1 – ctg2 α	1 –	1--	= 3 .
		= -----------	4--
sin α cos α	ctg α	1		2

--

2

К упражнению 6а

1. Используя формулы приведения, упростим данную фун цию: y = 2 sin 4x + 3 sin x – sin x – 2 sin x = 2 sin 4x.

277

2. Найдем период фун ции sin 4x; имеем ω =	2π	=	π	. Ясно, что
	------		--
	4		2

тот же период имеет и фун ция y = 2 sin 4x.

З а м е ч а н и е. Период суммы периодичес их фун ций равен наименьшему общему ратному (НОК) периодов всех сла$аемых.

При этом не должны учитываться периоды тех подобных членов, сумма оторых после приведения обращается в нуль ( а это имеет место в рассмотренном примере).

К упражнению 6б

1.	2π		π
	Период фун ции sin 4x равен ------		= -- .
		4	2
2.	π
	Период фун ции tg 5x равен -- .
	5
3.	Период данной фун ции равен НОК периодов ее сла$аемых.
4.	π	π
	Очевидно, что НОК чисел -- и	-- равно π.
	2	5
5.	Ита , период данной фун ции равен π.
К упражнению 6е
1.	3x	2π	8π
	Период фун ции cos ------ равен	------	= ------ .
	4	3	3
		--
		4

2.	Период фун ции 5 sin	2x	2π	= 3π.
		------	равен ------
		3	2
			--
			3
3.	8π	и 3π. Оно равно 24π, т. е. 24π — период
	Найдем НОК чисел ------
	3
данной фун ции.
К упражнению 6ж
1.				2π	= 2π.
	Период фун ции 2 sin (x + 2) равен T1 = ------
				1
2.				2π
	Период фун ции 6 cos πx равен T2 = ------ = 2.
				π

3.Очевидно, что не существует та о$о числа, при делении оторо- $о на 2π и на 2 получались бы целые числа.

4.Значит, данная фун ция не имеет периода.

К упражнению 7а
1. Та а –1 m sin 2x m 1, а |sin 2x| l 0, то
0 m |sin 2x| m 1.	(1)

278

2. Умножив все члены двойно$о неравенства (1) на (–2) и изменив зна и неравенств на противоположные, получим

0 l –2|sin 2x| l –2.

(2)

3.Прибавим теперь о всем членам двойно$о неравенства (2) по 1: 1 l 1 – 2|sin 2x| l –1, или –1 m 1 – 2|sin 2x| m 1.

4.Ита , [–1; 1] — множество значений данной фун ции.

К упражнению 9

1.Та а 4° — у$ол I четверти, то cos 4° > 0.

2.Синусом числа x называется число, равное синусу у$ла в x радианов. Следовательно,

sin 4 = sin 4 · 180° = sin 720° < 0,

------------ ------------

π π

пос оль у 180° < 720° < 270°, а синус у$ла III четверти отрицателен.

------------

π

3. Ита , cos 4° · sin 4 < 0.

К упражнению 10

1. Если α — острый у$ол, то ctg α > cos α. Действительно,

ctg α = cos α = cos α · 1 > cos α · 1,

------------- ------------

sin α sin α

та а 1 > 1.

------------

sin α

2. Если α = 90°, то ctg α = cos α = 0.

К упражнению 11

1.Пусть s ( м) — расстояние между A и B.

2.Пусть v1, v2, v3 ( м/ч) — соответственно с орость первой, вто-

рой и третьей машины.

3. То$да можно составить следующую систему:

s

–

s

=

s

–

s

,

-----

-----

-----v2

-----v3

1

+

1

=

2

,

v1

v2

-----

v----3-

v----2-

v1

160

=

80 ,

или

v3 = 2v1,

---------

v3

v1

120 = 120 + 1,

120

=

120

+ 1,

---v---1---

---v---2---

v1

v2

от уда находим v2 = 40 м/ч.

279

К о м м е н т а р и й. Сложность этой задачи за лючается в составлении перво$о уравнения системы. Для это$о нужно рассуждать та :

а) все машины имели разные с орости, что выте ает из условия;

б) машины отправлялись из A в B через равные промежут и времени;

в) все машины затратили разное время на прохождение расстояния от A до B;

$) время, затраченное аждой машиной на прохождение пути от A

до B, выражается формулами t1	s	, t2	s	и t3	s
	= -----		= -----		= ----- .
	v1		v2		v3

К упражнению 13а
1.	Положим 51 – x = y > 0. То$да уравнение примет вид
		30 – y = 5y – 100 .				(1)
2.	Уравнение (1) равносильно системе
		30 – y l 0,			y m 30,
		5y – 100 l 0,	или		y l 20,
		(30 – y)2 = 5y – 100,			y2 – 65y + 1000 = 0,

от уда y = 25.

3. Учитывая, что y = 51 – x, имеем 25 = 51 – x, т. е. x = –1.

К упражнению 14а

1. Сначала решим систему

3x1 – 2x2 = 5, 2x1 + x2 = 8

иполучим x1 = 3, x2 = 2.

2.Следовательно, x1 + x2 = 5, x1x2 = 6.

3.Используя теорему Виета, запишем систему уравнений для определения параметров a и b:

a2 + 3a + 1 = 5,	(1)
2a + b + 3 = 6.	(2)

4.Из уравнения (1) следует, что a1 = –4, a2 = 1.

5.Соответствующие значения b найдем из уравнения (2): а) 2(–4) + b + 3 = 6, т. е. b1 = 11;

б) 2 · 1 + b + 3 = 6, т. е. b2 = 1. Ответ: a = –4, b = 11; a = 1, b = 1.

280