Обработка результатов эксперимента

1. Измерения и погрешности измерений

Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин. Измерениемназывают определение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств (приборов, установок, мер). Численные значения физических величин, полученные при измерениях, являютсярезультатами измерений. Однократное определение физической величины называетсянаблюдением.

Измерения делят на прямые и косвенные. Прямыминазываются измерения, при которых искомое значение величины определяется путем отсчета по шкале измерительного прибора или сравнения с мерой. Например, время измеряется секундомером, длина - с помощью линейных мер, сила тока - амперметром и т.д.

При косвенныхизмерениях значение физической величины вычисляют по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой величиной функциональной зависимостью (расчетной формулой). Например, мощность электрического токаPможно вычислить по результатам прямых измерений силы токаIи напряженияU, пользуясь формулой .

При всяком измерении неизбежны погрешности. Погрешность- это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.Истиннымявляется такое значение физической величины, которое идеальным образом отражает свойства изучаемого объекта.

Погрешность может быть представлена в абсолютной и относительной формах. Абсолютной погрешностью измеренияафизической величиныаназывают разность между результатами измеренияаи истинным значением измеряемой величиныа₀:

.

Относительная погрешностьпоказывает, какую часть (или какой процент) абсолютная погрешностьасоставляет от истинного значенияа₀.

, или .

Погрешность любого измерения складывается из двух составляющих - систематической и случайной.

Систематическая погрешность- составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематическая погрешность вызвана техническим несовершенством средств измерений и отсчета по их шкалам, использованием для вычислений приближенных формул, неточных данных и т.д.

Случайная погрешность- составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях данной величины. Эта составляющая обусловлена, например, случайными процессами, происходящими в окружающей среде, в измерительном приборе, а также субъективными причинами. К случайным примыкают грубые погрешности измерения (промахи), которые существенно превышают ожидаемые при данных условиях.

Поскольку истинное значение измеряемой величины нам неизвестно, то на практике определяют интервал, в пределах которого заключено истинное значение измеряемой величины.

2. Расчет погрешности прямых измерений

2.1. Элементы математической статистики

Пусть проведено измерение (многократное наблюдение) некоторой физической величины аи в результате получен ряд ее значений:

.

Эти значения в большинстве своем отличаются друг от друга. Будем считать, что это отличие вызвано присутствием только случайных погрешностей, т.е. мы имеем результаты наблюдений случайной величины.

Случайнойназывается величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайная величина оценивается вероятностью. Согласно определениювероятностьюРкакой-либо случайной величиныаназывается предел отношения числа случаев появления данной случайной величиныN_iк общему числу всех проведенных опытовNпри :

.

Вероятность принято выражать в долях единицы или в процентах. Из данного определения следует, что вероятность Рудовлетворяет неравенству .

Смысл понятия вероятности заключается в том, что на основании опыта более вероятными считают те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, что происходят реже.

В теории вероятности доказывается, что из всего ряда значений величины анаилучшим, т.е. наиболее близким к истинному являетсясреднее арифметическое значение результатов наблюдений:

.

Тогда погрешности отдельных наблюдений определятся как

,

,

.......................

.

Как величины случайные, погрешности могут принимать разные значения с разной вероятностью. Описание совокупности значений случайной величины с указанием вероятности каждого значения называется законом распределенияэтой величины.

В практике измерений наибольшее распространение имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса). В основе распределения Гаусса лежат два предположения:

1. при большом числе наблюдений погрешности равной величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т.е. равновероятны;

2. вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности, т.е. большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые. Наиболее вероятным является среднее арифметическое значение.

Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения и описываетсяфункцией Гаусса, аналитическое выражение которой имеет вид:

.

Функция распределенияf(a) имеет смысл плотности вероятности: , где представляет вероятность появления отдельного случайного значения величиныав интервале значений отадо . Геометрически эта вероятность представляет собой площадь под кривойf(a), ограниченную отрезкомda. Вся площадь под кривой (полная вероятность)

.

Параметр _Нхарактеризует степень рассеяния результатов наблюдений относительно среднего значения , т.е. определяет форму кривой распределения. С увеличением_Нмаксимальная ордината кривой Гаусса уменьшается. Поскольку площадь под кривой всегда одинакова и равна единице, то с увеличением_Нкривая растягивается вдоль оси абсцисс. Разброс значений относительно увеличивается, качество измерений ухудшается.

Кривая 2 нормального распределения, представленного на рисунке, соответствует большему, а кривая 1 - меньшему значению_Н, т.е. . Это означает, что в первом случае измерения проведены более качественно, чем во втором.

Значения соответствуют точкам перегиба функцииf(a). Вероятность того, что случайная величина принимает значение, принадлежащее интервалу

от до , равна , или 68%

(геометрически - это заштрихованная часть площади на графике). Вероятность того, что случайная величина принимает значение, принадлежащее интервалу от до , равна (95%), а для интервала от до вычисленная вероятность составляет , или 99,7%.

Вероятность, с которой величина азаключена в интервале значений , называетсядоверительной вероятностьюР, аинтервалносит названиедоверительного. Абсолютная случайная погрешность равна половине доверительного интервала.

Среднее арифметическое всегда отличается от истинного и лишь при совпадает с ним. Оно само является случайной величиной, подчиняется распределению Гаусса и характеризуется средним квадратичным отклонением результата измерения, связанным с_Нвыражением:

.

При ограниченном числе наблюдений (2<N<30) коэффициентtзависит не только от доверительной вероятностиP, но и от числа наблюденийN. Этот коэффициент, называется коэффициентом Стьюдентаt_PN, его значения приведены в табл. 1. Абсолютная случайная погрешность в этом случае рассчитывается по формуле

.

Таблица 1