Кристаллографические оси и элементы симметрии кристаллов

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся ось симметрии, инверсионная ось, плоскость симметрии,  центр симметрии, или центр инверсии.

Воображаемая прямая линия, при повороте вокруг которой на один и тот же угол все части кристалла симмет­рично повторяются n раз и фигура совмещается сама с собой в пространстве, называется осью симметрии (обозначает­ся буквой L). У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Число n, показывающее сколько раз при пово­роте на 360° вокруг оси симметрии части кристалла могут совме­щаться с их исходным положением, называется порядком оси симмет­рии и обозначается цифрой (ставится внизу справа от L, рис. 1). Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков, и обозначаться L₂, L₃, L₄ и L₆. Так, при вращении вокруг оси кристалла, имеющего вид пра­вильной шестигранной призмы, при каждом повороте на 60° будет наблюдаться совмещение его граней, ребер и вершин с их начальным положением. Следовательно, кристалл имеет ось симметрии шестого порядка. Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в силу закономерности внутреннего строения кристаллов невозможны. Ось симметрии первого порядка L₁ показывает, что для совмещения фигуры с её начальным положением нужно сделать поворот на 360°. Это соответствует полному отсутствию симметрии, так как любой предмет при повороте на 360° вокруг любого реального направления совместится с самим собой. Количество осей одного и того же порядка указывается перед буквой, например, L6, 3L₄ и т.п. (рис. 2).

Рис. 2. Многогранники с осями симметрии второго (а), тре­тьего (6),

четвертого (в) и шестого (г) порядков

Инверсионной осью симметрии (Li) называется воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол и отражении в центральной точке фигуры (как в центре симметрии) фигура совмещается сама с собой, т.е. инверсионная ось представляет совместное действие оси симметрии и центра симметрии.

Плоскость симметрии – мысленно проведенная плоскость, кото­рая делит кристаллы на две зеркально равные части (обозначается буквой P , рис. 3). Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале. Разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов кубической формы – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипсатолько одна. В некоторых кристаллах может быть несколько плоскостей симметрии, а других вообще отсутствовать.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

– проходить через ребра;

– лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;

– проходить через грань перпендикулярно к ней;

– пересекать гранные углы в их вершинах.

Рис. 3. Плоскости симметрии (Р)

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р и отсутствие плоскости симметрии (рис. 4).

Рис . 4. Фигуры с плоскостью симметрии и без нее:

а – все точки и линии рисунка отражаются в плоскости Р как в зеркале;

б – плоскость Р не обла­дает этими свойствами, она не является

плоско­стью симметрии

Многие кристаллы кроме осей и плоскостей имеют центр симметрии – особую точку в центре кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Центр симметрии или инверсии обоз­начается буквой С (рис. 5). Относительно этого центра симметричны все противоположные грани, ребра, вершины кристалла. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии. Например, в кристаллах цинкита ZпО нет центра симметрии – их окончания имеют различную огранку (рис. 6).

Рис. 5. Центр симметрии кристалла Рис. 6. Кристалл цинкита

Существует ряд закономерностей, сочетания элементов симметрии.

а) Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.

б) L₆ может присутствовать в кристалле только в единственном числе.

в) L₆ не может комбинироваться ни с L₄, ни с L₃, но может сочетаться с L₂ причем L₆ и L₂ должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L₂.

г) L₄ может встречаться в единственном числе или в виде трех взаимно перпендикулярных осей.

д) L₃ может встречаться в единственном числе или 4L₃.

Совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл, называется Степенью симметрии. Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L₄), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L₃), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L₂), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Перечень всех элементов симметрии кристалла, записанный в виде их символов, на­зывается кристаллографической формулой. Для куба формула имеет вид: 3L₄, 4L₃, 6L₂, 9P, C. В таких формулах порядок записи следующий: сначала главные оси, затем другие, потом плоскости и центр симметрии. Кристаллы одного и того же минерала независимо от их огранки характеризуются одной и той же формулой симметрии. Число таких формул не беспредельно, поскольку элементы симметрии взаимосвязаны между собой.

Геометрический вывод всех воз­можных сочетаний элементов симметрии в кристаллах был сделан немецким минера­логом И. Гесселем в 1830 г. и финном А. В. Гадолиным в 1867 г. Ими доказано, что в природе может существовать только 32 сочетания, или, как принято говорить, 32 класса (вида) симметрии. Класс (вид) объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии. Классы симметрии объединены в семь кристаллографических систем или сингоний (от греческого "син" – сходно и "гония" – угол). Сингонии в порядке возрастания степени симметричности располагаются в следующем порядке: триклинная, моноклинная, ромбическая, тригональная, тетрагональная, гексаго­нальная, кубическая. Сингонии в свою очередь группируются в три категории; низшую, среднюю, высшую. Триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии называются низшими, потому что они не имеют осей симметрии выше второго порядка (L₂). Тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии называются средними; они имеют одну ось симметрии высшего порядка (L₃, L₄ или Li₄ ), L₆ (или Li₆). Кубическая сингония имеет несколько осей симметрии высшего порядка (L₃, L₄ или Li₄); она называется высшей сингонией. Формулы, характеризующие различные виды симметрии, типы сингоний и категории приведены в табл. 2.

В основе учения о кристаллографических формах лежит понятие «простая форма». Простой формой называют совокупность граней, выводящихся друг из друга при помощи элементов симметрии кристалла. Так, грани гексагональной пирамиды представляют одну простую форму.

Таблица 2

Категории	Тип сингонии	Формула в символике Браве
Низшая	Триклинная Моноклинная Ромбическая	L1; C Р; L2; L2PC L22P; 3L2; 3L23PC
Средняя	Тригональная Тетрагональная  Гексагональная	L3; L3C; L33P; L33L2; L33L23PC L4; L4PC; L44P; L44L2; L44L25PC; Li4; Li42L22P Li6 = L3P; Li63L23P = L33L24P; L6; L6PC; L66P; L66L2; L66L27PC
Высшая	Кубическая	4L33L2; 4L33L23PC; 4L33L2(3Li4)6P; 3L44L36L2; 3L44L36L29PC

Все они могут быть выведены из одной исходной грани путем ее поворотов вокруг 6L на 60, 120, 180, 240 и 300º. Всего в кристаллах возможны 47 простых форм. В кристалле могут присутствовать одна, две или несколько простых форм. Сочетание двух или нескольких простых форм называется комбинацией. Простые формы могут замыкать и не замыкать пространства; они соответственно называются закрытыми и открытыми. Первые обра­зуют привычные всем геометрические фигуры, целиком ограничивающие какой-либо конечный объем. Например, куб, октаэдр, ромбоэдр, дипирамиды. Открытые формы: пирамиды с бесконечно расходящимися от вершины гранями, пинакоид (две беспредельно протяженные в пространстве параллельные друг другу плос­кости) и призмы, напоминающие беспредельно идущие трубы многоугольного сечения, ничем не ограниченные по их длине. Реальное сочетание в природе граней открытых и закрытых простых кристаллографических форм дает кристаллу его конечный те­лесный объем. Так, например, кристалл циркона представляет собой комбинацию двух простых форм: тетрагональной призмы и тетрагональной дипирамиды. Призма является открытой формой, поскольку она не замыкает пространства, дипирамида – закрытая форма, так как она полностью замыкает пространство, пусть даже на продолжении своих граней.