Выполнение расчетно-графических работ по ТОЭ в среде MathCAD

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей.

В рассмотренной схеме 3 независимых контура: «1421», «1321», «2432» в каждом из которых свой контурный ток I11, I22, I33. В общем виде система будет выглядеть следующим образом:

I11 R11 − I22 R12 − I33 R13 E11

−I11 R21 + I22 R22 − I33 R23 E22

−I11 R31 − I22 R32 + I33 R33 E33

где Rmm – полное (собственное) сопротивление независимого контура m, Rmn – сопротивление между контурами m и n, Ekk –контурная ЭДС k-го контура. В нашем случае система уравнений и ее решение будут выглядеть следующим образом:

I11 (R2 + R5 + R6) − I22 R2 − I33 R5 −E2

	−I11 R2 + I22 (R2 + R1 + R4) − I33 R4						E2
	−I11 R5 − I22 R4 + I33 (R5 + R4 + R3)						−E3
R6 + R5 + R2		−R2	−R5				−E2
A :=	−R2	R2 + R1 + R4	−R4		B :=			E2
			R5 + R4 + R3
	−R5	−R4					−E3

−0.493 I := lsolve(A ,B) I = 0.134

−0.272

Теперь легко найдем все токи цепи, помня, что токи в смежных ветвях определяются как результат наложения контурных токов.

I1	:= I2	I1 = 0.134	I2 := I2 − I1	I2 = 0.627	I3 := −I3	I3 = 0.272
I4	:= I2 − I3	I4 = 0.406	I5 := I3 − I1	I5 = 0.221	I6 := −I1	I6 = 0.493

Контурные токи I11, I22, I33 здесь представлены с одним индексом I1, I2, I3.

11

Баланс мощности

Баланс мощности предполагает, что алгебраическая сумма (т.е.сумма с учетом знака) мощностей источников напряжения, равна сумме мощностей, рассеиваемой на резисторах (приемниках) Pист =Pпр.

Метод эквивалентного генератора

Этот метод можно применить, когда необходимо найти один ток в какой-либо ветви схемы. Суть метода заключается в том, что относительно искомой ветви вся остальная схема представляется эквивалентным источником ЭДС с внутренним сопротивлением r0. Этот метод включает следующие операции:

•определяют эквивалентное сопротивление схемы относительно искомой ветви, т.е. внутреннее сопротивление эквивалентного генератора;

•определяют напряжение на зажимах генератора на холостом ходу т.е.

его ЭДС.

Итак определим ток I1, методом эквивалентного генератора, на примере схемы, приведенной выше (рис. 1.1).

Сначала отбросим ветвь, с сопротивлением R1, после чего схема заметно упростится (рис. 1.2):

12

Чтобы найти эквивалентное сопротивление относительно зажимов

1-3 надо:

•Закоротить все источники ЭДС;

•оборвать ветви содержащие источники тока (в нашем случае их нет);

•преобразовать один из треугольников в звезду, или наоборот.

Выбираем треугольник, состоящий из сопротивлений R2, R5, R6. Сопротивления звезды рассчитываются по формулам:

1

:=

R6 R2

;

R22:=

R6

R5

;

R44:=

R5

R2

;

R2

+ R5 + R6

R2

+ R5 + R6

R2

+ R5 + R6

1

= 12.222 Ом ;

R22 = 18.333

Oм ;

R44 = 16.667

Ом .

Преобразованная схема приведена на рис. 1.3:

Для этой схемы легко найти эквивалентное сопротивление относительно зажимов 1-3, оно будет равно:

r0 := R11 +	(R22 + R3) (R44 + R4) ;
	R22 + R3 + R44 + R4
	r0 = 45.32 .

Теперь найдем напряжение U13 на зажимах генератора.

Для этого в схеме рис.1.4, достаточно рассчитать токи I2 и I3, например методом двух узлов, относительно 2 – 4.

E2

−

E3

U :=

R2 + R6

R3 + R4

; U = 12.381 В.

24

1

+

1

+

1

24

R2 +

R3 +

R5

R6

R4

13

	I2	:=	E2	− U24	;	I2	= 0.567	А.
			R2 + R6
	I	:=	E3	+ U24	;	I	= 0.361	А.
			R3 + R4
	3					3

Зная токи, найдем напряжение U13 на зажимах 1-3

U	:= E2 − I	R2 − I R4 ;	U = 8.44 B
13	2	3	13	.

Рассчитав ЭДС генератора и его внутреннее сопротивление, по закону Ома найдем ток I1:

	I1 :=	U13		;	I1 = 0.133 A .
		ro + R1

Как видим, значение тока I1 практически совпадает с ранее найденным.

14

Построение потенциальной диаграммы

Выберем контур 4-а-1-3-б-2-4 рис1.1. Примем ψ4=0, тогда:

построим потенциальную диаграмму для контура 4-а-1-3-б-2-4.

15

1.2Выполнение РГР 1 в среде EWB

После запуска программы EWB на рабочем поле собирают заданную схему, в каждую ветвь устанавливают амперметры постоянного тока, а для построения потенциальной диаграммы используют вольтметр, один зажим которого постоянно присоединён к точке, потенциал которой принят за нуль, например к точке 4.(рис 1.5)

рис. 1.5

После нажатия кнопки выключателя в правом верхнем углу регистрируют показания приборов и делают выводы по работе в целом.

Для измерения ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления поступают следующим образом:

1.удаляют из схемы резистор R1 (рис. 1.6);

2.присоединяют к зажимам 1-3 мультиметр;

3.измеряют напряжение U13;

4.удаляют источники ЭДС E1 и E3;

5.мультиметром измеряют сопротивление r13.

рис. 1.6

16

2.Расчётно-графическая работа №2 Расчёт и анализ линейной электрической цепи

синусоидального тока

Задание Для заданной электрической цепи выполнить следующее:

1.Рассчитать комплексы действующих значений токов во всех ветвях схемы.

2.Определить показания ваттметра.

3.Составить баланс мощности.

4.Построить топографическую диаграмму, совпадающую с векторной диаграммой токов.

2.1Выполнение РГР 2 в среде MathCAD

Схема электрической цепи приведена на рисунке 2.1 её исходные данные:

C1=88.5мкФ; С3=66.25мкФ; L1=100.5мГн; L3=56.9мГн; R2=25 Ом; F=60Гц; е1=100sin (ωt) В;

е3=103.6sin (ωt-30) В.

На рабочем листе программы эти значения следует записать:

C1	:= 88.5 10− 6	L1	:= 100.5 10− 3	R2 := 25	E1	:= 70.5
C3	:= 66.25 10− 6	L3	:= 56.9 10− 3	f := 60	E3	:= 73.26 − 42.3i

Причем значения ЭДС (E1 и Е3) определяются по формуле Эйлера:

e		Asin(ωt + ψ)		A eiψ		A (cos (ψ) + sin(ψ)i)
			2		2		.

Затем рассчитаем реактивные сопротивления катушек и конденсаторов.

17

	ω := 2 3.14 f	Xl1:= ω L1 i	Xl1 = 37.868i	Xc1 :=	i		Xc1 = 29.988i
					ω C1
	ω = 376.8	Xl3:= ω L3 i	Xl3 = 21.44i	Xc3 :=	i		Xc3 = 40.059i
					ω C3

Система уравнений, составленная по первому и второму законам Кирхгоффа, выглядит следующим образом:

I1 − I2 − I3 0

( Xl1 − Xc1)i I1 + R2 I2 E1

( Xl1 − Xc1)i I1 + ( Xl3 − Xc3)i I3 E1 − E3.

Так как уравнения записаны в MathCADe, знаки комплексов (черта) над символами опущены, а поскольку сопротивления катушки и емкости определены, как комплексные числа, то в дальнейшем символ ”i” после них не ставится, а знак “-” перед Xc учитываем отдельно.

Решение этой системы в MathCADe будет выглядеть следующим образом:

1

−1

−1

0

0.624

− 0.598i

A := Xl1 − Xc1

R2

0

B :=

E1

I := lsolve(A , B)

I =

2.632

− 0.197i

− Xc1

0

Xl3 − Xc3

−2.008− 0.401i

Xl1

E1 − E3

После того, как токи в цепи определены, можно приступить к нахождению показаний ваттметра. Ваттметр включен в первую ветвь, поэтому его показания можно определить по формулам:

P=Re[Uab*I1],

где I1- сопряженный комплекс тока I1;

Uab - комплекс напряжения, на которое включен ваттметр.

P := Uab I1 cos (α)

напряжение Uab найдем по закону Ома, а угол α между током и напряжением с помощью функции arg( ). Следует помнить, что MathCAD использует в своих вычислениях радианы, а не градусы. Поэтому при вычислениях следует использовать формулу перевода углов из радианной меры в градусную.

На рабочем листе MathCAD расчет мощности будет выглядеть следующим образом:

18

.

После того как подсчитана мощность и найдены все токи, необходимо составить баланс мощности. Сумма произведений квадратов модулей токов на сопротивления равна алгебраической сумме произведений ЭДС на сопряженные комплексы токов.

В результате вычислений мы должны получить два одинаковых комплексных числа.

После проверки баланса мощности, можно приступить к нахождению потенциалов различных точек схемы, используя закон Ома для неоднородного участка цепи. Для этого заземляем любую точку схемы, например точку а, т.е. считаем, что ее потенциал равен нулю, а все остальные потенциалы схемы находим относительно заземленной точки. Например:

19

После обхода контура потенциал точки “a” вновь должен принять значение равное “0”. Если это не наблюдается, значит, в расчётах допущена ошибка.

Можно сказать, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, и расчеты это подтверждают.

О правильности расчетов можно судить также по взаимному расположению векторов тока и напряжения на отдельных элементах схемы. Например, на резисторе R2 вектор напряжения Uab должен совпадать с вектором тока I2. На участке n-m, где включена индуктивность, вектор тока I3 отстает (повернут на 90° по часовой

стрелке) от вектора напряжения Unm и так далее.

2.2 Выполнение РГР 2 в среде EWB

После запуска программы EWB на рабочем поле собирают заданную схему. С помощью амперметров и вольтметра проверяют значения токов ветвей и узлового напряжения Uab. Для этого опция измеряемых величин у используемых приборов должна быть переустановлена с DC на AC. Не меньший интерес представляет определение фазового сдвига токов относительно узлового напряжения. Для это поступают следующим образом:

20