bileti

1Билет 1

1.Ранг матрицы. Строчный ранг - макс. большая система линейно независимых строк

2.Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках сущ. невырожденная подматрица порядка r.

1.Если матрица сущ., то из лин. независимости отрезков строк => лин. зависимость отрезков строк.

2.По индукции: 1 строка != 0 - лин. независима, + сущ. матрица 1x1 из ненулевого элемента строки. Если есть r-1 нез. строк и (r-1)x(r-1) - невыр. подматрица. Тогда при добавлении ещё одной строки r-1 член занулиться. Можно будет взять не занулившийся столбец из n-r столбцов и получить невырожденную матрицу.

Теорема о ранге матрицы: rg A - самый большой порядок для которого сущ. невырожд. подматрица. rg A = rg строчный

3.Теорема о базисном миноре: Каждый столбец матрицы рас-

кладывается в лин. комбинацию базисных столбцов. Рассматривается матрица из базисных столбцов и 1 не базисн. столбец. Далее доказывается их линейная зависимость(по теореме о rg матрицы).

2Билет 2

1.Системы линейных уравнений:

A - Матрица с.у. A* - Расщиренная матрица с.у. Решение системы. Матричное ур-е. Совместные и несовместные системы.

2.Теорема Кронкера-Капелли:

Система линейных уранений совместна тогда и только тогда, ко-

гда rg A = rg A*.

базисный минор A - базисный для A* => b - расклад. Дальше делаем из b - 0.

3.Теорема Фредгольма:

Для того, чтобы = была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение = 0 удовлетворяло = 0

=> берём, подставляем вместо b - Ax - профит.

<= Если система несовместна, то A* можно привести к виду ||0000...0|1||. При подстановке || | || = ||0000...0|1||

1

3Билет 3

1.Аксиоматика линейного пространства:

M - лин. пространство, если сущ. закон сложения M->M + сущ. закон умножения на число.

Аксиоматика:

8 - ой класс a+b=b+a и прочие, сущ. 0, сущ. 1 всего 7 штук.

2.Линейная зав-сть и линейная независимость:

Система векторов независима в M, если 0 расклад. единственным образом.

3.Размерность и базис:

Базис в M - упорядоченная система векторов, которая лин. независима + любой x раскл. в линейн. комбинацию.

Если в M есть базис из n векторов, то любая система из m>n

векторов линейно зависима. (Раскл. по базису и profit)

В n-мерном пространстве любая система из n незав. векторов -

базис(от противного используя предыд. теорему) dim M = n, где n - кол-во базисных векторов.

4Билет 4

1.Разложение по базису в линейном пространстве.

Для каждого эл-та мн-ва пр-ва сущ. единств. представление

в виде лин. комбинации базисных эл-тов.

Существование: Добавляем x к базисн. и получаем лин. зависимость - profit.

Единственность: От противного, раскл. по двум и вычитаем.

2.Координатное предсавление эементов лин. пр-ва. и операции с ними.

1... - коэф. разложения x по базису e. - координаты x в e.

||S|| - матрица перехода, j-ый столбец состоит из коэфф. разлож элемента нового базиса через эл-ты старого Операции сравнения, сложения, умножения на число в коорд. форме.

3.Теорема об изоморфизме:

Два линейных пр-ва назыв. изоморфными если сущ. отображение L1->L2:

Для любого Для любого x, y из L1 выполняется аддитивность и

дистрибуивность отображений для L2.

2 лин. пр-ва L1 и L2 изоморфны <=> dim L1=dim L2

2

Если равны, примен. отображение в коорд. форме.

Если n = dim L1 > dim L2 отображаем n нез. векторов из L1. Profit.

4.Изменение координат при изменении базиса см выше.

5.Матрица перехода - см. выше

5Билет 5

1.Подпростанства в лин. пр-ве

Непустое мн-во L векторов из M - подп-во, если для любых веторов сумма и умн. на число лежит в L.

2.Способы задания подпространств:

1.Как лин. оболочка векторов

2.В виде ур-я Ax=b

Переход 2->1: Найти фунд. систему решений Переход 1->2:

Составить матрицу из столбцов векторов и приписать справа едининую. Элемент. преобр. строк привести к виду || |S|| - треуголь-

но блочная. Из последних n-r строк S составить - искомую матрицу.

3.Сумма и пересечение подпространств : L1 + L2 - лин. оболочка объединения

пересеч. L1 и L2 - все x, леж. в L1 и L2.

4.Прямая сумма - dim(суммы) = сумм. dim(Li)

5.Формула размерности суммы двух подпространств - dim(L1+L2)=dim

L1 + dim L2 - dim объед.

Для прямой суммы - очевидно.

Иначе сущ. M : L2 = M +прямая (L1 пересеч L2). Далее L1 + L2 выраж. через M. Потом делаем dim. Profit.

6Билет 6

1.Линейные отображения и линейные преобразования линейного пространства:

Линейные отображения: L1, L2 - лин. пр-ва

Закон, по которому для любого x из L1 сопост. единств. эл-т y из L2 A:L1->L2 A(x) - образ x в L2. A - линейное, если выполняется аддитивность и дистрибутивность.

Линейное преобразование - лин. отображение L->L

3

2.Ядро и мн-во значений:

Ker A : для любого x: A(x)=0A - лин. преобр. , тогда:

1.Мн-во элементов A(x) - подпр-во в L

2.Если = с (e1 ... en), то dim(под-ва в L) = rg A.

Пусть L’ - мн-во Ax и y1, y2 из L’, тогда сущ. x1 и x2 из L: Ax1 = y, Ax2 = y2

y1+y2 = A(x1) + A(x2) = A(x1+x2) принадл. L’

y = Ax = A( x) принадл. L’ => L’ - подпр-во в L.

Пусть L = с (e1 ... en). Для любого x будет вектор из образов

базисн. векторов. Из лин. незав. эл-ов Ae1 ... Aen берём макс число лин. независимых и строим матрицу перехода. => rgA = dim L’

3.Ранг лин. отображения:

rg A в - размер области значений

Следствие 1: rg A«n и не зависит от базиса Следствие 2: dim A(x) на L’ <= dim L’

rg(AB)<= rgA(аналог. для B)

Пусть L’ - обл. значений AB, тогда dim L’ <= dim B (по сл. 2) аналогично для A

Если A - невырожд., то для любого B: rg B = rg A -> rg(AB) =

rg(BA) = rg B

Т. к. A - невырожд., то сущ. обратн. матрица, тогда по следств. 2:

rg AB <= rg B

rg B = rg || −1 || <= rg AB . Profit.

4.Инъекция и сюръекция:

A - инъект. , если из Ax1 = Ax2 => x1=x2.(Приходит по одной связи)

A - сюръект., если для любого Ax сущ. x (Для каждой точки есть связь)

5.Операции над линейными преобразованиями:

Суммой A+B - преобр. C=A+B: для любого x из L Cx = (A+B)x

= Ax+Bx

Умножение на число. Произв. преобр. Обратное преобраз. =

−1 <=> =

7Билет 7

1.Матрицы лин. отобр. и лин. преобр. в коорд форме

L1->L2, dim L1 = n, dim L2 = m e1 ... en - базис в L1, тогда

любой x раскл. по базису, Ax = 1 1 + ... +

4

f1 ... fm - базис в L2.

∑

A(ei) = Если Ax : 1... то

∑ ∑

=
= ∑

A - матрица из

столбцы в - коорд. столбцы векторов A(e1) ... A(en)

2.Операции над лин. преобраз в коорд. форме:

Сумма, произв. на число, произв. матриц.

3.Изменение матрицы лин. отображения при замене базиса: e’ = Se, f’ = Pf, A->A’ ( = ′ и = ′ = )

Выводим, что ′ = −1

8Билет 8

1.Инвариантные под-ва лин. преобраз.

Определение инвариантности

Матрица лин. преобр. клеточно треугольная <=> <e1 ... en> -

инв. подпр-во

=> Если матрица клет. треуг., то Образ лин. комб. e1 ... en принадл. лин. оболочки.

Если рассм. столбцы где внизу 0, то это Img(ei), и расп. по суммам и полчаем, что Ax принадл. L’

<= L’ - инвариантное подпр-во отн. A <e1 ... er>

∑

Для любого x из L’ Img x лежит L’ Aek = => матрица клеточно треугольная.

2.Ограничение преобразования на инвариантном подпространстве:

A - ограничение L’, если A : L’->L’

3.Собственное подпр-во:

Если для ( − )! = 0, то - собств. значение преобразования, а ( − ) - собств. под-во, соотв.

Если x принадлежит собств. подпр-ву, то (A - E)x = 0 => Ax = x.

4.Собств. векторы и собств. значения

x - собств. вектор A соотв. , если x != 0, Ax = x.

Собств. векторы - базисные векторы одномерных подпр-в, инвар. отн. A.

5.Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собств. значениям

5

L->L, 1... - собств. зн. ( ! = ! = ). 1... - собств. вектора( ) = , то x1 ... xm - лин. независимы.

Индукция:

Предположение x1 ... xn - лин. незав. (сущ. нетрив. решение) Раскладываем образы незав. вектора на лин. комбинацию, чтобы был 0 Переход:

Добавляем образ ещё одного вектора в лин. комбинацию. Вычитаем из образа векторов их лин. комбинацию, умнож. на

9Билет 9

1.Храктеристическое уравнение:

A - матр. преобр., Ker (A- E)!=0 <=> det(A- E)=0.

Далее распис. матрицу в виде: (−1) +(−1) −1 −1 +...+

2.Инвариантность хар. многочлена:

Хар-чиский многочлен не зависит от выбора базиса : A’ = −1 ,

= −1 и profit.

3.Выражение определителя и следа матрицы через 0-ли хар. многочлена:

Раскл. в произведение, подст. 0 вместо - det. Теор. Виетта для tr.

4.Оценка размерности собств. подпр-ва:

Пусть собств. значение 0 - корень хар-ского многочлена S, тогда dim L’ <= S.

Расклад. A в клеточно - треугольную, расклад. по столбцам det.

5.Условие диагонализ. матрицы лин. преобраз.

Fi привод к диаг. виду <=> выполнено 1 из 3-х условий:

1. В L сущ. базис из собств. векторов

2. dim огран. L на = кратности. 3. L - прямая сумма

(1) - очевидно, просто выпис. матрицу

(2) (3) - юзаем теор. о лин. незав. собств. векторов, выписываем базисы в ограничениях считаем кол-во этих эл-тов. profit.

10Билет 10

1.Приведение матрицы лин. преобр. к треугольн. виду:

Для каждого Fi сущ. базис, в котором матрица преобр. - верхняя

треугольная:

Сущ. n-1 мерное подпр-во L’ , (размерность образа <= n-1, т. к. ядро != 0).

Берём и пользуясь инвариантн. зануляем почти всю последнюю строку, далее по индукции - profit.

6

2.Теорема Гамильтона-Кали:

Матрица A удовл. хар-му ур-ю.

Дано: ∑ = 0 Берём и раскл. собств. векторы. Profit.

11Билет 11

1.Существование двумерного инвар. под-ва, отвеч. мнимой 1 хар-кого многочлена лин. преобр. вещ. лин. пр-ва

Паре комплексно сопряжённых корней хар-кого многочлена пре-

обр. A соотв L’ : L’ не содержит собств. векторов, через любой вектор проходит двумерное инвариантное подпр-во. Если есть компл.

корень, то есть и комплексно сопряжённый (Дискриминант).

Два - корни 2 + + = 0. Рассматриваем = 2 + + . B инвариантно, т.к. D < 0 и 0 не пересек.( = ( − )( − 2 )) det произв. - произв. det, а det ( − ) = 0=> KEr B != 0

L’ не содержит собств. векторов.

x - собств. вектор. B(x) = 2 + + = 0 => x = 0.

12Билет 12

1.Линейные функции:

f - для любого x из L выдаёт число

Линейная - аддитивность + дистрибутивность. Соотв, выраж. через базисн векторы x.

2.Сопряжённое пространство:

Сумма f и g - ф-я h = f + x.

Лин. простр-во L’ всех лин. функций на L - сопряжённое для L. p(i) = - i - ая координата x.

Применяя эту ф-ю к базисным векторам, получим:

p1 ... pn - лин. независимы - образ. биортогональн. базис.

3.простр-во, сопряжённое сопряжённому

Пространство L” == L

Фиксируем x из L. сопоставим каждому f из L’ f(x). x - ф-ия на L’(т. к. (f+g)x = fx+gx). Получаем соотв. x и эл-та из L”.

13Билет 13

1.Билин. и квадр. формы

бил. форма - ф-я b(x,y), лин. по каждому аргументу. кв. форма - b(x,x), где b - симметр.

7

2.Коорд. представл.

раскл. x и y по базису, получаем =

3.Изменение матриц билин. и квадр. форм при изменении

базиса

= ( ′) ( ′))

14Билет 14

1.Приведение кв. формы к канонич. виду:

Для каждой кв. формы сущ. базис, в котором она имеет диаг.

вид.

по индукции, вычитанием bii эл-та из всех строк и столбцов

- преобр. строк, - преобр. столбцов, в итоге, ′ =

2.Закон инерции кв. форм:

Число отрицательных и число положительных коэффициентов в

каноническом виде не зависит от выбора базиса. От противного:

Допускаем, что это не так, берём переход к новым базисам ( =, = ). Приравниваем кв. формы. И там, где y > 0 берём x-ы: y1 ... yk =0, zk+1 ... zn = 0. Получ. противоречие. profit.

3.Теорема Якоби

Если главные миноры B невырождены, то сущ. единств. треугольное преобразование.

(f1 = e1, f2 = c21 e1 + e2, ...), привод. B к диаг. виду Док-во

Говорим, что b(fp, fk) = 0, когда p != k. Дальше раскл, занул, раскл, занул. получаем систему ур-й. По Крамеру - 1 решение. Дальше по тому же крамеру, находим коефф. , а = = ( , ) и получаем разлож. определителя по столбцу.

4.Критерий Сильвестера:

Для того, чтобы кв. форма была полож. определена, необходимо и достат., чтобы главные миноры были > 0 Очевидно из Якоби.

15Билет 15

1.Аксиоматика евкл. простр-ва:

E - лин. пр-во над полем скаляров действ. чисел, если на E задано скал. произв (x,y) - симметр. билин. форма, (x,x)>0

1. (x, y) = (y, x)

8

2. (x1+x2, y) = (x1,y)+(x2,y) Умн. на число, скал. квадрат > 0 Норма вектора, угол

2.Нер-во Коши-Буняковского

модуль вект. произв. <= произв. длин

Рассматр. квадрат − и Дискриминант ур-я.

3.Нер-во треугольника

|x+y|<|x|+|y|

Скалярный квадрат (x+y) и нер-во Коши-Буняковского

4.Матрица Грамма и её св-ва

Определение, симметричность, det > 0, все главн. миноры > 0

5.Ортогон. базисы

Базис из ортог. векторов, n попарно ортог. векторов сост. базис,

∑

причём = ( , )/( , )

Раскл. вектор по базисным с неизв коэфф, потом умножаем скалярно 2 части ур-я на базисн. вектор. profit.

6.Переход от одного о.н.б к другому:

′ = G’=G=E ′ = => =

7.Ортогон. матрица

= - орт. матрица. Произв. ортог. матриц - ортогон. det S =

+- 1

16Билет 16

1.Ортогон. дополнение простр-ва:

E’ - k-мерное подпр-во в n-мерном эвклидовом простр-ве E Ортог. дополн. - мн-во всех векторов, ортог. всем из E’

Ортогон. дополнение k-мерного под-ва в n-мерном простр-ве - (n-

k) мерное под-во

раскл x из L’ по базисам, и умнож. скалярно на любой вектор из L

2.Ортогональное проектирование на под-во

Любой x раскл. на прямую сумму L и L’

3.Метод ортогон. Грамма - Шмидта

b1 = a1, 2 = 2 − 1 Умножаем на b1 скалярно и получаем profit.

4.Угол между вектором и под-вом - угол между x и ортог. проекцией x

9

17Билет 17

1.Лин. преобр. евкл. пр-ва

Закон, по которому E->E + аддитивн. и дистриб.

2.Преобр., сопряж. данному

(Ax, y) = (x, A*y) , A* - сопр. преобр.

Переход от A к A* (Распис. скал. произв. через матрицу Грама)

3.Свой-ва сопряж. преобр:

Img A = ортог. доп-е (Ker A*). , каждое лин. преобр. имеет одно самосопр. для о.н.б A** = A.

18Билет 18

1.Самосопр. преобр

Сопр, у которого A* = A

2.Свойс-ва самосоп. преобр.

A’ - самосопр. на любом инвар. под-ве собств вектор A - собств вектор A’

Все корни хар-ского многочлена самосопр. преобр. веществ.:

Рассматр. двумерная симметр. матрица преобраз, и дискр. > 0 => вещ. корень есть - противоречие

Собств. преобр. попарно ортогональны. От противного.

3.Сущ. базиса из собств. векторов:

Если A - самомопр. , то сущ. о.н.б базис из собств. векторов.

L - сумма собств. под-в - инвариантно. орт. дополн. L = 0 (Собств. вектор лежит в L и L’ одновременно). Базис - все собств. значения.

19Билет 19

1.Ортогон. преобр. и их матрицы

Ортог. преобр. - сохр длин. вектора (x, y) = (Ax, Ay) Если преобр. - ортогональное, то сопр. к нему - обратное (x y)= (Ax Ay) = (x A’Ay)

Преобр. ортогональное тогда и только тогда, когда его матрица в любом о.н.б. - ортогональная A’At = E <=> A’A = E => At = A Для двух о.н.б. сущ. единств. ортогон преобр. A: A(ei) = fi

Собств. значения ортог. преобр по модулю 1: (Ax, Ax)= 2( , )=(x,y)

Если L - инв. под-во отн. A, то ортог. дополн. - тоже инвариантно.(Расписать по опред.)

10