Параграф 8. Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятностью суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство.

Пример 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется цветным.

Решение.

–вынутый шар красный;

–вынутый шар синий.

События инесовместимые.

; ;;;

Ответ: 0,8.

Теорема 2. Вероятностью суммы совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Доказательство.

Пример 2. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым 0,7. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы одно орудие.

Решение.

–поражение цели первым орудием;

–поражение цели вторым орудием.

События исовместимые.

; ;

Ответ: 0,94.

Параграф 9. Формула полной вероятности

Теорема 1. Если событие может произойти только при условии появления одного из событий образующих полную группу, то вероятность этого события равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события.

Доказательство.

Теорема доказана.

Пример 1. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 радиоламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взяли одну лампу и переложили в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки стандартная.

Решение.

–извлеченная лампа из 1-ой коробки стандартная;

–извлеченная лампа из 2-ой коробки стандартная;

–извлеченная лампа из 2-ой коробки не стандартная.

События иобразуют полную группу несовместимых и равновозможных событий. Событияииизависимые.

; ;;;;;;;

Ответ. 0,9.

Параграф 10. Формула Байеса

Формула Байеса:

Пример 1. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25 % всех деталей, второй 35 %, третий 40 %. В продукции первого рабочего брак составляет 5 %, в продукции второго 4 %, в продукции третьего 2 %. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим.

Решение.

–выбранная для контроля деталь оказалась бракованной;

–деталь изготовлена первым рабочим;

–деталь изготовлена вторым рабочим;

–деталь изготовлена третьим рабочим.

; ;;;;;;

Ответ: 0,41.

Глава 2. Повторные независимые испытания Параграф 1. Формула Бернулли

Теорема 1. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна, то вероятностьтого, что событиенаступитраз внезависимых испытаниях равна:

–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;

–сочетания из элементов по;

–постоянная вероятность наступления события ;

–постоянная вероятность того, что событие не наступит;

–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;

–общее число независимых испытаний.

Доказательство.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 деталей окажутся 3 стандартные.

Решение.

; ; ;

Ответ: 0,2048.