MetodTM2

Рис. 6.19. Возможное перемещение системы при вариации обобщённых координат δх2>0, δх3=0

Дадим системе другое независимое перемещение – по координате x2, ос-

тавляя координату x3 без из-

менения:δx2 > 0, δx3 = 0 (рис. 6.19).

При этом возможном перемещении вся система стоит, кроме катка 2, который катится по поверхности не-

подвижной платформы, и

груза 1, который опускается вертикально вниз. Работу со-

вершает только сила тяжести груза 1. Выражая работу в виде δA = P1δx2 = Pδx2 ,

найдём обобщённую силу, соответствующую координате x2, Qx2 = P .

Составим уравнения Лагранжа. С этой целью вычислим частные произ-

&

&

водные от кинетической энергии по обобщенным скоростям x3

и x2

∂T 3P

&

35P

&

∂T

4P

&

3P

&

¶x&3 =

¶x&2

g

x2 +

4g

x3 ,

=

g

x2 +

g

x3

и по обобщённым координатам

∂T

= 0,

∂T

= 0.

¶x

¶x

4

3

Определим полные производные по времени от частных производных ки-

нетической энергии по скоростям:

æ

¶T

ö

3P

35P

æ

¶T

ö

4P

3P

d

ç

÷

&&

&&

d

ç

÷

&&

&&

¶x&

g

4g

¶x&

dt ç

÷ =

x2 +

x3 ,

dt ç

2

÷ = g

x2 + g

x3 .

è

3

ø

è

ø

Подставляя результаты расчётов в уравнения Лагранжа с учётом вычис-

ленных значений обобщённых сил, получим систему дифференциальных урав-

нений, описывающих движение системы в обобщённых координатах: 12&x&2 + 35&x&3 = −2g , 4&x&2 + 3&x&3 = g .

Алгебраическим решением системы служат значения ускорений: 153

&x&3 = − 265 g = – 0,19g и &x&2 = 10441 g = 0,39g.

Полученные выражения представляют собой дифференциальные уравне-

ния, проинтегрировав которые дважды с нулевыми начальными условиями

(движение началось из состояния покоя), найдём уравнения абсолютного дви-

жения платформы и относительного движения центра масс катка 2.

x = −0,095gt2 ,

x

2

= 0,195gt2

3

Отрицательное значение координаты х3 означает, что движение платфор-

мы происходит в отрицательном направлении оси х3 (см. рис. 6.16).

Абсолютное движение центра катка 2 представляется суммой относи-

тельного и переносного движений: x

C2

= x

2

+ x = 0,1gt2 .

3

Уравнение вращения катка 2 найдём на основании выражения его угловой

скорости:

ω2 =

VC2r

=

x&2

, которое может быть представлено в дифференциаль-

R2

2r

ном

виде

dϕ2 =

1

dx2 .

Отсюда

закон

вращательного

движения катка 2:

2r

ϕ2 =

1

x2

gt

2

= 0,097

.

2r

r

Вращение блока 4 описывается уравнением ϕ

=

1

x

= − 0,047

gt2

.

2r

4

3

r

Движение катка 5 описывается двумя уравнениями: уравнением движения

центра масс катка

x

C5

=

1

x

3

= −0,047gt2

и уравнением вращательного движе-

2

ния катка: ϕ5 =

x

3

= − 0,024

gt

2

.

2R5

r

154

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в при-

мерах и задачах: Т. 1–2.– СПб.: Лань, 2010.

Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики: в 2-х томах.– М.: Наука, 2009.

Вебер Г. Э., Ляпцев, С. А. Лекции по теоретической механике. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2008.

Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учебн. для втузов. – М.: Высшая школа, 2010.

155

Учебное издание

Юрий Михайлович Казаков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

сборник заданий для расчетно-графических работ

Учебно-методическое пособие

для самостоятельной работы студентов

Редактор В.В. Баклаева

Подписано в печать Бумага писчая. Формат бумаги 60×84 1/16.

Гарнитура Times New Roman. Печать на ризографе. Печ. л. Уч. изд. л. Тираж экз. Заказ №

Издательство УГГУ 620144, Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30

Уральский государственный горный университет Отпечатано с оригинал-макета

в лаборатории множительной техники УГГУ

4. ДИНАМИКА ТОЧКИ ..........................................................................................................	73
4.1. Дифференциальные уравнения движения точки....................................................	73
4.2. Задание Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки ...	73
4.3. Колебания материальной точки ..............................................................................	80
4.4. Задание Д2. Исследование колебаний точки..........................................................	84
4.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.............................................	95
4.6. Задание Д3. Исследование движения точки
с применением теоремы об изменении кинетической энергии....................................	96
5. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ................................................................	103
5.1. Описание движений твёрдых тел на основе общих теорем динамики системы 103
5.2. Задание Д4. Динамический расчет механической системы.................................	104
5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы. .....................................	112
5.4. Задание Д5. Исследование движения механической системы
с применением теоремы об изменении кинетической энергии.................................	114
6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ...................................................................................	124
6.1. Принципы механики. Общее уравнение динамики..............................................	124
6.2. Задание Д6. Исследование механической системы
с применением общего уравнения динамики..............................................................	126
6.3. Уравнения Лагранжа II рода .................................................................................	136
6.4. Задание Д7. Исследование механической системы с одной степенью свободы
с применением уравнений Лагранжа ...........................................................................	137
6.5. Задание Д8. Исследование механической системы с двумя степенями свободы145
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................	155