Тест 7 – 13

Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение ...

Варианты ответов: 1) ∆ψ + (2m/ħ²) Eψ = 0;

2) ∆ψ + 2m/ħ²(E + Ze²/4π ε₀r)ψ=0;

3) d²ψ/dx² + (2m/ħ²) Eψ = 0;

4) d²ψ/dx² + 2m/ħ²(E-mω₀²x²/2)ψ=0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае трёхмерной задачи имеет вид: ∆ψ + (2m / ħ ²)·(Е – U)ψ = 0, где ∆ - оператор Лапласа, ψ(x,y,z,t) - волновая функция, которая зависит от координат и от времени. Оператор Лапласа от волновой функции равен сумме вторых частных производных от волновой функции по декартовым координатам:

∆ψ = ∂²ψ/∂х²+∂²ψ/∂y² +∂²ψ/∂z².

Для одномерного случая ∆ψ = ∂²ψ/∂х².Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи имеет вид:

∂²ψ/∂х² + (2m / ħ ²)·(Е – U)ψ = 0,

где Е – полная энергия, U – потенциальная энергия частицы. Для линейного гармонического осциллятора потенциальная энергия равна: U=mω₀² x ² /2 , где ω₀ – частота собственных колебаний, m – масса частицы. Поэтому уравнение 4 является стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора.

Ответ: вариант 4.

Тест 7 – 14

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение...

Варианты ответов: 1) ∆ψ + (2m/ħ²) Eψ = 0;

2) d²ψ/dx² + 2m/ħ²(E-mω₀²x²/2)ψ=0:

3) d²ψ/dx² + (2m/ħ²) Eψ = 0;

4) ∆ψ + 2m/ħ²(E + Ze²/4π ε₀r)ψ=0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи имеет вид: ∂²ψ/∂х² + (2m / ħ ²)·(Е – U)ψ = 0, где Е – полная энергия, U – потенциальная энергия частицы. Для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками потенциальная энергия частицы U=0. Поэтому стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение d²ψ/dx² + (2m/ħ²) Eψ = 0;

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 15

Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение... Варианты ответов:

1) ∆ψ + 2m/ħ²(E + Ze²/4π ε₀r)ψ=0; 3) d²ψ/dx² + (2m/ħ²) Eψ = 0;

2) ∆ψ + (2m/ħ²) Eψ = 0; 4) d²ψ/dx² + 2m/ħ²(E-mω₀²x²/2)ψ=0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае трёхмерной задачи имеет вид: ∆ψ + (2m / ħ ²)·(Е – U)ψ = 0, где ∆ψ - оператор Лапласа, Е – полная энергия, U – потенциальная энергия частицы. Для электрона в водородоподобном ионе потенциальная энергия равна U= - Ze²/(4π ε₀ r). Поэтому стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение: ∆ψ + 2m/ħ²(E + Ze²/4π ε₀r)ψ=0.

Ответ: вариант 1.

Тест 7 – 16

Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение...

Варианты ответов:

1) ∆ψ + 2m/ħ²(E + Ze²/4π ε₀r)ψ=0;

2) d²ψ/dx² + 2m/ħ²(E-mω₀²x²/2)ψ=0;

3) (- ħ²/2m) ∆ψ + U(x,y,z,t) ψ = iħ ∂ψ/∂t;

4) d²ψ/dx² + (2m/ħ²) Eψ = 0.

Решение.

Состояние системы называется стационарным, если её потенциальная энергия не зависит от времени. Если потенциальная энергия зависит от времени U(x,y,z,t), то состояние называется нестационарным. Следовательно, уравнение Шредингера для нестационарных состояний имеет вид:

(- ħ²/2m) ∆ψ + U(x,y,z,t) ψ = iħ(∂ψ/∂t).

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 17

Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет вид: ψ = A sin (nπx/L).

Величина импульса этой частицы в основном состоянии равна:

Варианты ответов:

1) 2πħ/3L ; 2) πħ/2L; 3) πħ/L; 4) 3πħ/2L.

Решение.

Общее решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид: Ψ(х)= А sin k x, где k = 2π/λ – волновое число. Сопоставив формулу общего решения для волновой функции Ψ(х) с формулой, заданной в условии задачи, получим: k = nπ/L, где n = 1,2, 3… - целое число. С другой стороны, импульс частицы связан с длиной волны де Бройля λ соотношением: р = h/λ, где h – постоянная Планка. Выразим импульс через волновое число k и получим: р = h/λ =( h/2π)·k . Обозначим h/2π =ħ, тогда р = ħ ·k. Подставим значение k: р = ħ · nπ/L. В основном состоянии n = 1. Тогда величина импульса частицы в основном состоянии равна : р = ħ π /L.

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 18

Вероятность обнаружить электрон на участке (а,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле W =_a∫^b ωdx , где ω - плотность вероятности, определяемая ψ -функцией. Если ψ -функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке L/6 < х < 5L/6 — равна…

Варианты ответов:

1) 5/6; 2) 1/2;

3) 1/3; 4) 2/3.

Решение.

Плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции: ω =│Ψ│ ².График функции│Ψ│ ² будет представлять собой три положительных полупериода синусоиды ( рис.). Эта функция должна удовлетворять условию нормировки, т.е. площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что вероятность обнаружения частицы в интервале 0<x<L равна W = 1. Тогда вероятность обнаружения частицы в интервале, равном одному полупериоду из трёх, (например, на участке L/3<x<2L/3 или на участке 0<x<L/3) равна W = 1/3. Вероятность обнаружить электрон на участке, равном половине полупериода, например, 0<x<L/6 или на участке 5L/6 <x< L равна W = 1/6. Соответственно, вероятность обнаружить электрон на участке L/6 < x < 5L/6 равна W = 1 – 1/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.

Ответ: вариант 4.

Тест 7 – 19

Вероятность обнаружить электрон на участке (а,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле W =_a∫^b ω dx , где ω - плотность вероятности, определяемая ψ -функцией. Если ψ - функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке 3L/8 < х < L — равна…

Варианты ответов:

1) 1/2; 2) 1/4; 3) 5/8; 4) 3/8.

Решение.

Плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции: ω =│Ψ│² . График функции │Ψ│² будет представлять собой четыре положительных полупериода синусоиды. Эта функция удовлетворяет условию нормировки, т.е. площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс должна быть численно равна единице. Это означает, что вероятность обнаружения частицы в интервале 0<x<L равна W = 1. Тогда вероятность обнаружения частицы в интервале, равном половине полупериода, (например, на участке 0 <x< L/8 ) равна W = 1/8. Соответственно, вероятность обнаружить электрон на участке 0< x < 3L/8 равна W = 3/8. Тогда вероятность обнаружить электрон на участке 3L/8 <x< L соответственно равна:

W = 1 – 3/8 = 5/8. Ответ: вариант 3..

Тест 7 – 20

На рисунке изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а также условно изображены переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой - серию Бальмера, в инфракрасной - серию Пашена. Наибольшей частоте кванта в серии Лаймана соответствует переход...

Варианты ответов:

1) n →2 m= 1; 2) n →3 m= 2;

3) n →5 m = 1; 4) n →4 m = 1;

Решение.

Частота кванта энергии, излучаемая атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты (обозначенной буквой n ) на другую ( обозначенную буквой m), описывается обобщённой формулой Бальмера:

ν = R(1/m² – 1/ n²), где R – постоянная Ридберга, m = 1,2,3 … - номер серии , n –число, определяющее линию в данной серии. Число n может принимать значения: n = m +1, m+2, m +3 … . Для серии Лаймана: m=1, n = 2,3,4…, для серии Бальмера: m=2, n = 3,4,5… , для серии Пашена: m=3, n = 4,5,6… Таким образом, частота линий в серии Лаймана описывается формулой:

ν = R(1/1² – 1/ n²), где n = 2,3,4,5. Из формулы следует, что чем больше квантовое число n, тем больше будет частота кванта. Для наиболее удаленной орбиты, изображённой на рисунке, число n =5. Поэтому наибольшей частоте кванта в серии Лаймана соответствует переход n =5→ m = 1.

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 21

При переходах электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис.) запрещенным переходом является...

Варианты ответов:

1) 4s – 3p; 2) 4f – 3d;

3) 3s – 2s; 4) 3p – 2s

Решение

Число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием или поглощением кванта энергии, ограничено правилом отбора, согласно которому при разрешенном переходе орбитальное квантовое число l изменяется на единицу: Δ l = ± 1. Число l может принимать значения:

l = 0,1, 2, …(n – 1), где n = 1,2,3,…–главное квантовое число. В квантовой физике, по аналогии со спектроскопией, приняты следующие обозначения: состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0 , называют s – состоянием, l = 1 - называют p – состоянием, l = 2 d – состоянием, l = 3 f – состоянием и т.д. Согласно правилу отбора, переходы из s – состояния в p – состояние и обратно p→s, а также переход f → d являются разрешенными, т.к. при этих переходах орбитальное квантовое число изменяется на единицу. При переходе 3s→2s Δl=0, поэтому такой переход запрещен.

Ответ: вариант 3.

Тест 7 – 22

При переходах электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис.) запрещенным переходом является...

Варианты ответов:

1) 4s – 3p;

2) 3s – 2p;

3) 2p – 1s;

4) 4s – 3d.

Решение

Возможность переходов электронов в атоме, связанных с испусканием или поглощением кванта энергии, ограничено правилом отбора, согласно которому при разрешенном переходе орбитальное квантовое число l изменяется на единицу: Δ l = ± 1. Число l может принимать значения:

l = 0,1, 2, …(n – 1), где n = 1,2,3,…–главное квантовое число. В квантовой физике, по аналогии со спектроскопией, приняты следующие обозначения: состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0 , называют s – состоянием, состояние характеризующееся числом, l = 1 называют p – состоянием, l = 2 d – состоянием, l = 3 - f – состоянием и т.д. Согласно правилу отбора, переходы из s – состояния в p – состояние и обратно p→s, а также переход f → d являются разрешенными, т.к. при этих переходах орбитальное квантовое число изменяется на единицу.

При переходе 4s – 3d Δl = - 2, поэтому такой переход запрещен.

Ответ: вариант 4.

Задание С7-19 для самостоятельного решения.

При переходах электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис.) запрещенным переходом является...

Варианты ответов:

1) 2p – 1s;

2) 3d – 2p;

3) 4f – 3d;

4) 2s – 1s.

Варианты ответов:

1) 4p – 3d;

2) 3s – 2p;

3) 2p – 1s;

4) 4f – 2p.

Тест 7 - 23

На рисунке приведена одна из возможных ориентации момента импульса электрона в р - состоянии. Какие еще значения может принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля?

Варианты ответов:

1) -ħ ;

2) ħ;

3) -2ħ;

4) 2ħ.

Решение.

В квантовой физике, по аналогии со спектроскопией, приняты следующие обозначения: состояние электрона, характеризующееся орбитальным квантовым числом l = 0 , называют s – состоянием, состояние характеризующееся числом l = 1, называют p – состоянием, l = 2 - d – состоянием, l = 3 - f – состоянием и т.д. По условию задачи электрон находится в p - состоянии. Следовательно, квантовое число l = 1.

Проекции момента импульса электрона на заданное направление внешнего магнитного поля L _z могут принимать дискретные значения, кратные ħ: где m_l – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения m_l = 0, ±1,±2, …, ±l. Поскольку l =1, проекция момента импульса L _z может принимать три значения: L _z = 0, L _z = ћ, L _z = - ћ. Первая из возможных ориентаций момента импульса электрона, соответствующая значению L _z = 0, показана на рисунке. Следовательно, проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля может принимать ещё два значения: ћ и - ћ.

Ответ: варианты 1 и 2.

159