Контрольная работа 2 Задание 1
Преобразовать исходную выборку в статистический группированный ряд, построить график эмпирических частот (многоугольник распределения) и выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Выдвинуть гипотезы об асимметрии и эксцессе кривой распределения.
Вычислить теоретические (гипотетические) частоты для каждого интервала группированного ряда. Построить график теоретических частот и вычислить эмпирическое значение критерия согласия Пирсона.
Проверить все выдвинутые гипотезы и дать заключение по результатам анализа.
Решение:
-
объем выборки;
-
максимальный элемент выборки;
-
минимальный элемент выборки;
-
размах выборки;
Примем k = 10 - число интервалов (групп).
ВычислимС = Rk =0.439 - длина интервала (группы).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,09 |
0,15 |
0,41 |
0,8 |
-1,62 |
1,11 |
-0,76 |
-1,59 |
0,13 |
0,51 |
|
-0,75 |
1,37 |
-0,98 |
-0,4 |
-0,11 |
0,75 |
1,63 |
1,3 |
0,8 |
-1,9 |
|
0,18 |
-1,63 |
-1,34 |
1,01 |
0,43 |
-0,48 |
0,09 |
-0,37 |
0,64 |
0,73 |
|
0,25 |
-1,33 |
1,16 |
1,88 |
-1,22 |
1,24 |
1,47 |
-0,06 |
0,38 |
-1,54 |
|
0,51 |
0,45 |
0,79 |
-0,08 |
1,77 |
1,22 |
0,47 |
0,16 |
2,37 |
0,54 |
|
0,53 |
0,61 |
-1,14 |
-1 |
0,56 |
-0,12 |
-0,7 |
-0,44 |
-0,06 |
1,27 |
|
-2,02 |
0,97 |
-1,33 |
0,43 |
0,26 |
-0,32 |
-1,46 |
-0,62 |
0,51 |
0,29 |
|
-0,43 |
0,4 |
1,24 |
0,34 |
-0,12 |
0,03 |
1,18 |
-1,36 |
-0,12 |
-1,52 |
|
0,62 |
-0,29 |
0,6 |
-0,57 |
0,75 |
-0,54 |
-0,4 |
-0,53 |
-0,29 |
-1,05 |
|
1,31 |
0,38 |
-0,18 |
-0,43 |
2,12 |
-0,06 |
-0,51 |
0,28 |
-0,53 |
0 |
Вычисление эмпирических характеристик
Таблица 1
|
№№ интер.
|
Границы интерв.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
-2,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
-1,801 |
-9,003 |
-1,861 |
17,323 |
-32,245 |
60,019 |
|
|
-1,581 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
-1,362 |
-10,892 |
-1,422 |
16,185 |
-23,021 |
32,744 |
|
|
-1,142 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
-0,923 |
-5,535 |
-0,983 |
5,802 |
-5,705 |
5,610 |
|
|
-0,703 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
17 |
-0,484 |
-8,220 |
-0,544 |
5,038 |
-2,742 |
1,493 |
|
|
-0,264 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
16 |
-0,044 |
-0,712 |
-0,105 |
0,178 |
-0,019 |
0,002 |
|
|
0,175 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
22 |
0,395 |
8,679 |
0,334 |
2,449 |
0,817 |
0,273 |
|
|
0,614 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
10 |
0,834 |
8,335 |
0,773 |
5,970 |
4,612 |
3,564 |
|
|
1,053 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
11 |
1,273 |
13,998 |
1,212 |
16,149 |
19,567 |
23,708 |
|
|
1,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
1,712 |
5,135 |
1,651 |
8,174 |
13,492 |
22,271 |
|
|
1,93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
2,151 |
4,301 |
2,090 |
8,733 |
18,249 |
38,134 |
|
|
2,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
6,086 |
|
86,000 |
-6,995 |
187,817 |
Нулевая гипотеза о распределении: Н0 = { Распределение нормальное }
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
Степень асимметрии
Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.
As = M3/s3
где M3 - центральный момент третьего порядка.
s - среднеквадратическое отклонение.
M3 = -6.995/100 = -0.06995
-
оценка среднего квадратического
отклонения асимметрии;
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
H0={As=0 } нулевая гипотеза асимметрии
Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex> 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex< 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3.
M3 = 187.817/100 = 1.8782
H0={Ex=0} нулевая гипотеза эксцесса
Проверка гипотез о виде распределения.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа
Таблица 2- Вычисление теоретических характеристик
|
интерв.
|
Границы интерв.
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 | |
|
|
-2,02 |
-2,2439 |
0,0124 |
|
|
|
|
| |
|
1 |
|
|
|
0,0259 |
2,59 |
5 |
2,41 |
2,2415 | |
|
|
-1,581 |
-1,7705 |
0,0383 |
|
|
|
|
| |
|
2 |
|
|
|
0,0590 |
5,90 |
8 |
2,10 |
0,7494 | |
|
|
-1,142 |
-1,2971 |
0,0973 |
|
|
|
|
| |
|
3 |
|
|
|
0,1078 |
10,78 |
6 |
-4,78 |
2,1164 | |
|
|
-0,703 |
-0,8237 |
0,2051 |
|
|
|
|
| |
|
4 |
|
|
|
0,1580 |
15,80 |
17 |
1,20 |
0,0912 | |
|
|
-0,264 |
-0,3503 |
0,3631 |
|
|
|
|
| |
|
5 |
|
|
|
0,1859 |
18,59 |
16 |
-2,59 |
0,3615 | |
|
|
0,175 |
0,1231 |
0,5490 |
|
|
|
|
| |
|
6 |
|
|
|
0,1756 |
17,56 |
22 |
4,44 |
1,1232 | |
|
|
0,614 |
0,5965 |
0,7246 |
|
|
|
|
| |
|
7 |
|
|
|
0,1331 |
13,31 |
10 |
-3,31 |
0,8227 | |
|
|
1,053 |
1,0699 |
0,8577 |
|
|
|
|
| |
|
8 |
|
|
|
0,0810 |
8,10 |
11 |
2,90 |
1,0420 | |
|
|
1,492 |
1,5432 |
0,9386 |
|
|
|
|
| |
|
9 |
|
|
|
0,0395 |
3,95 |
3 |
-0,95 |
0,2293 | |
|
|
1,931 |
2,0166 |
0,9781 |
|
|
|
|
| |
|
10 |
|
|
|
0,0155 |
1,55 |
2 |
0,45 |
0,1320 | |
|
|
2,37 |
2,4900 |
0,9936 |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,91 |
№
-
эмпирическое
значение критерия согласия Пирсона
(критерия 2);
-
критическое
значение критерия Пирсона, полученное
для доверительной вероятности
(т.е. на уровне значимости
=5%)
и числа степеней свободы
из
таблицы приложения 2.
Проверим гипотезу об ассиметрии:
Tэ<tт ,гипотеза не отвергается
Проверим гипотезу об эксцессе
Tэ>tт ,гипотеза не отвергается
Сводная таблица проверки гипотез
|
№№ гипотез |
Нулевая гипотеза H0 |
Условная запись нулевой гипотезы |
Проверка гипотез |
Заключение по гипотезе | |
|
tэ |
tt | ||||
|
1 |
О распределении |
Н0={Mx=0.06086 σx=0.9273 |
8.91 |
14.1 |
Гипотеза не отвергается |
|
2 |
Об асимметрии |
Н0={A=0} |
0.0877 |
0.73 |
Гипотеза не отвергается |
|
3 |
Об эксцессе |
Н0={E=0} |
0.46 |
1.47 |
Гипотеза не отвергается |
Анализ результатов проверки статистических гипотез позволяет сделать вывод о том, что рассматриваемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами: математическое ожидание Mx = 0.06086 , среднее квадратическое отклонение σx = 0.9273.