1.Матрица – таблица чисел (символов, функций) разметностью m*n (m-кол-во строк, n-кол-во столбцов). Обозначение: заглавные латинские буквы (А,В,С,D,F) выглядит

. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:  - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Виды матриц:

Элементы  , где i=j, называются диагональными, а элементы  , где  - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов  , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера  существует своя нулевая матрица.

Матрица размера m на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера  называется матрицей-строкой. Матрица размера  называется матрицей столбцом

Треугольная матрица

2.Действия над матрицами:

1. Сложение и вычитание матриц. Сложение и вычитание выполняется для матриц одинакового размера

А+В+С

2.Умножение матрицы на число (К-число не равно О)

К*А=В

3.Умножение матриц (возможно, если число столбцов 1 матрицы равно числу строк 2 матрицы)

Аm*n * Bn*k = Cm*k

4.Транспортирование матриц. При транспортировании строки матрицы в соотв. столбцы

3. Определители квадратных матриц и их свойства: Определителем квадратной матрицы называется число, обознач. Дельта А, /А/. в квадратной матрице m=n.

n-порядок определителя

n=1-определитель 1 порядка

n=2-определитель 2 порядка

n=3-определитель 3 порядка

Минором Mij элемента aij квадратной матрицы А называется определитель полученный вычеркиванием строки из столбца в которых находится элемент aij.

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется произведение

Aij= (-1) ^i+j * Mij

Cвойства определителя:

1.если в определителе строка или столбец состоят из 0, то определитель = 0

2.если в определителе 2 строки или 2 столба имеют пропорциональные элементы, то определитель (бесконечность)= 0

3.если в определителе 2 строки (столбца) поменять местами, то определитель поменяет знак.

4.если к какой либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умнож. на число неравное 0, то определитель не изменится

4. Ранг матрицы. Обратная матрица:

Обратной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А ^-1, такая что А^-1*А=А*А^-1=Е

Теорема: если в квадратной матрице А определитель А не равен 0, то обр. матрица получится А^-1-1/дельтаА*А^*

Рангом матрицы А (обозначается rang А или r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличных от нуля. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется ее базисным минором матрицы. Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также будут базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров, однако все их порядки одинаковы и равны рангу матрицы.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) строки и столбцы матрицы поменять местами;

2) переставить местами два любых ее столбца (строки);

3) вычерчивание строки все элементы которого равны нулю;

4) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;

5) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.

5. Общие сведения о системах линейных уравнений.

 - неизвестные переменные,  - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),  - свободные члены (также действительные или комплексные числа). Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Решением системы линейных уравнений называется набор чисел (С1,С2..Сn) при подстановки которых в уравнения системы вместо неизвестных (х1,х2…хn) каждое уравнение обращено в тождество.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,где  - основная матрица системы,  - матрица-столбец неизвестных переменных,  - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой А, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,