5.3 Средние величины

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами. Наиболее часто в статистике применяется средняя арифметическая, реже - средняя гармоническая, средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики (см. формулы 5 и 6).

Средняя арифметическаяприменяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Например, общий фонд заработной платы состоит из зарплат, начисленных отдельным работникам. Когда имеются отдельные несгруппированные значения признака рассчитывается средняя арифметическая простая по формуле:

, (5)

где индивидуальные значения признака, которые называют вариантами,число единиц совокупности.

По данным, представленным в виде рядов распределения или группировок рассчитывается средняя арифметическая взвешенная. Формула для расчета средней арифметической взвешенной имеет вид:

,(6)

где варианты;веса или частоты (т.е. число вариант, имеющих одинаковое значение признака).

Рассмотрим пример расчета средней арифметической взвешенной на основе интервального вариационного ряда.

Таблица 5 - Расчет средней заработной платы из вариационного ряда

Группы рабочих по размеру месячной заработной платы, руб.	Среднее значение интервалов (Х)	Число рабочих (f)	Произведение вариант на частоты(Xf)
1500-2000 2000-2500 2500-3000	1750 2250 2750	100 220 280	175000 495000 770000
Итого		600	1440000

По данным табл.5 средняя месячная зарплата рабочих составит:

Средняя гармоническая- это величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака. Ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение. Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:

, (7)

, (8)

где число единиц совокупности,варианты,. Расчет средней гармонической поясним на примере.

Таблица 6 - Стоимость продукции и ее выработка в рабочих бригадах

Номер бригады	Стоимость произведенной продукции, тыс. руб. ()	Выработка на 1-го рабочего, тыс. руб. ()
1 2 3	52 68 76	2,1 2,6 2,9
Итого	196

Варьирующим признаком в данном примере является средняя выработка рабочих в каждой бригаде. Среднее значение данного варьирующего признака равно 2,4 тыс. руб. Эта средняя получается как средняя гармоническая, где веса деленные на варианты показывают численность рабочих в бригадах, т.е.

5.4. Логическая формула для вычисления средней арифметической и средней гармонической величин

При расчете средней величины одного и того же показателя может использоваться как средняя арифметическая так и средняя гармоническая величины. Это обусловлено одной и той же логической формулой для искомого показателя. Но вместе с тем данные, по которым могут быть вычислены эти величины, должны быть различными.

Логическая формула вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Поэтому, прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать в виде формулы, называемой логической формулой средней. Далее на основании логической формулы осуществляется выбор рабочей формулы средней в данном конкретном случае. Приведем известный алгоритм выбора рабочей формулы средней:

1. На основании исходной информаций устанавливается логическая формула для искомого показателя средней.

2. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

3. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

4. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формулы средней величины.

Пример. На основании следующих данных по двум сельскохозяйственным предприятиям необходимо определить, в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур:

Культура	Предприятие 1			Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность ц./г	Посевная площадь, га		Урожайность, ц/га
Пшеница озимая Рожь Ячмень Просо	31600 1720 13650 1640	24 19 21 15	1460 120 470 80		19 18 16 13
Итого	48610	-	2130		-

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака ( посевной площади, выраженной в гектарах) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади:

, (9)

где урожайность;валовой сбор;посевная площадь.

Так как нас интересует средняя урожайность по каждому предприятию то логическая формула средней будет иметь вид:

. (10)

Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия 1 средняя урожайность должна определяться по правилу 3, изложенному выше алгоритма, т.е. по формуле средней гармонической взвешенной:

Для сельскохозяйственного предприятия № 2 средняя урожайность определяется по правилу 2, т. е. По формуле средней арифметической взвешенной:

Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии № 1 по сравнению с предприятием № 2 была выше на 4,3 ц/га.