Основы геодезии и топографии

' ' '! ! #' $ $ , ( $' *" " '! . '" ." l, $, $ $,"0 / .' *" . ' 0 $' !:

@si = l(n2 - n1).

8 0 '- +- ! ( , +' $ ) '! " 360º (L>i = 2C), &, .' +- ! ( , +' $ ) $! 3 '! " 360º (LMi = 2C). ! * &+! *,

P = Rl(n2 – n1) + A(R12 + R2 + 2Rr).	( 2.27 )
, .) & '! ' ) Rl = C(R12 + R2 + 2Rr) = Q,	!( 6 *:
P = c(n2 – n1) + Q.	( 2.28 )

8 $ )''!) c '! -,! $ ) 5 ' . ' ) ( !' * $+!, ( $ )''!) Q – ( $ )''-* * ( !' * $+!.

,$ + * " ! , .! ( 0 '!1 . $ ) ,' '$"+!, (+ ( ' * &, . '$"+! @! = 0, @$ = 0, ( 2$ *"

	P = c(n2 – n1).				( 2.29 )
		)	B
		/		..
		'!	. ' ) ( !' * $+!
		+!,'! ( / !. (+)* " #-
		' ! $ + '!*			l R.
		8 $ )'' ( !' * $+! Q
		+!,'	( / !.		+" !
		+!. " * & = (R12 + R2 +
		2Rr)0.5; 2$ $ +" '! -,! $ )
		' ,'-*			+" *
		( !' * $+!.
	!. 36
		( $!, $# ( !' * $+
		$! , $ &- ( $# $'
! (+ 1 . ! &- + ( 0		, , 1+!')) 2$ ( 3 ' , &-
, $ +" +!. " * D, $ ( / !.# 2$ +" ! &". $ +!,'! (+ . 36)
	A&2 = A[(OK)2 + (r + R)2].				( 2.30 )

51

$+ " #' ! ,0 b ,-+! * (,0)2 = R12 – r2 , ( . $!, , 2$'! ' , +*" " (2.30), ( " *

A&2 = (R12+R2+2Rr)2+Q.

'" . ' ) ( !' * $+! (+ . )0 $ ( +*"

c = P/(n2 - n1),

. n1 n2 − '! ! #'- ' '- $ $- (+ &, . '$"+!

, $' ( / !.#0 , +! ( ! !) ( 0 ,' '$"+!.

'! ! ! * + ' ) ( / !. ." $ (+ , + $# ."0 / .,!

$+ & ,!' ), (+ .7), ) *- ( !' * $+":

1) $' . 3' , & .' ,+!/ !$# ), ! + * 3."

6 ! ! , +'# + * . 3 ' &-$# +!, ' $ / ' $!

(!( + ' &"*!	, " !		' & 0 . ' )	2$	" , )
+ " +" $ ) (+!, $ #'-* , '$!* ;
2) ( $# & . ! $' ! . 3'! &-$# (+ ( '-
. " )+'! &, .' +- ! !			( ' , . ')0 /		$+
&, .' 6 ( ) f	$	6 !+' +' . ' ' ) +- ! , b).
8 , + ! ,-( ') $ ) .,"*)		&, .!* ( / !.		'$"+!:		(+
( 3 ' $' * 1!' *! ,! (+!,!.
' $# * + ' ) ( / !. ( !' * $+ * !, $ $ *! 6						$!&!

( !'! !+$-, ' "+!5 , +! * + , " ! $ ! $ ( 3 ' ) +- ! , , (+ 5 &, .! (" * 3." +- ! !* ). %" 6 + " #$!$- ( " !0 $ ( !+$!* (( !'!*) +"('-1 *! 6 $!& ,.

." $ . (" !$# * + ' ) ( !' * $+ * ( / !. " 1 ,-$)'"$-1 " ! $ ,, +! * +- $ +-1 '! !+$ * ' 15 *2.

8 / !. * 1 (+ $)3 ''-1 " ! $ , 5 &+! ' * +)$#

(! $ !* .
. ,!' )	( ! ! ,	$	$' $ #'!)	+ .'))

,!.+!$ !) 6 & ! * + ' ) ( / !. ( * / #0 ( !' * $+!

$!, ) $ 1:400. ( " ''- '! ' ) ( / !. , . ' )1 ( !' * $+! +! 1 .)$ ) * 3." & '! , '", & #6 "0 1:200 $+ .' !+ * $ ' 1, $ * + ' ) ( / !. ." $ (+ , . $# (+ .,"1 &, .!1 &+!$# + .' '! ' . 3'

52

,-( ' $#	0 $ + , "		( !' * $+!		−	+! , + $ * $'
!, ( ( , + " ( ,$ +)0 $.
'! $ )/		,+ *)		( ), #		2 $+ ''-		(5 + ,- )
( !' * $+-. +*! « + n» (+ . ! ! $							' # * .
5 + ,-1 ( !' * $+ ,,				( , )0 / 1 (+ , . $# * + ' )
( / !.	( !+$!*			$ ' $#0		±0.2%.	8+ ( * / 9
* + ' ( / !.		* 3 $ &-$# ( ' $#0 !,$ *!$ + ,!' .
8+ (+ . '			( / !.		(	( !'" +! *
* 1!' * ( & *				( ( * / #0 (! $				( !' * $+!)
' &1 . * " $-,!$#			. +*!5 0			&"*!	(( !'!). '!

. +*!5 1+! $ + " $ ) 2 5 '$ * q, (+ . ) *-* ,

.,"1 , ! *' ( +( '. " )+'-1 '!(+!, ' )1 ( +*"

		q = (L0 – L)/L0 ,		( 2.31 )
. L0	− $ + $ !)		. '! ' , '! !)/ !) ) '!	( !'
('!(+ * +,	. '!	$ + '-	,!.+!$! +. '!$' $ ),	L −
+ " #$!$ * + '		2$ ' ( ( !'".

2.9.4.

+* ' «+ ."5 + ,!' » '! ! $ (+ , . ' * + ''

'! ' ) ( / !. ! - & ( , +1' $ (( $ ,

2 ( .! .+.) ("$ * ,, . ' ) ( 5 ! #'-1 ( (+!, .

. ) (+ . ' ) ( / !. ( # "0 $ ) ("' $-

".!+ $, '' . $ , $ ( " ''- ( / !. !/ , * 0 $ ' # (+ "* '#6 '' '! ' , ( $ *" $

+. '!$- ("' $ , $' )$ ) ' ( , +1' $ * , !

( , +1' $ + + '5-2 ( .!. 8 + 1 . $ ( / !. 80 '! ( , +1' $ + + '5-2 ( .! ( / !. 8 '! ( , +1' $

* '! ,- $ ( (+ ."5 + ,!' ) ,-( ') $ ) ( +*"

P = P0(1 + 2H/R),

( 2.32 )

. R − +!. " * , +!!,'-- 6370 *.

( # ,!' +. '!$ ("' $ , '! ( !'!1 ( !+$!1) , (+ 5!" ! − − +0 +! (+ , . $ $ *", $ ( / !. " ! $ , +! * - +- ' '-1 2 * '$ , ( " !0 $ ) , .! & #6 1 + '$! #-

53

'-1 (+ 5 . 9$ ", ' , +!$!$ ( * + ".! ' ) $ - , * + . !'! '-. ) (+ , . ' ) ( / !. + '$! #'

(+ 5 ( # "$) +*" !

		P = P [1 – (Ym/R)2],		( 2.33 )
. Ym −	c+ .')) +. '!$! (+!$)' $ , * + . !'! '-
. + . '- " !$!).
' .!		, ' !$	' &1 . *$# ( " ' )	( / !.
		($( +! ) ( , +1'$ " !$! 8 , $+!) $*
& #6	$!$) $		( / !. + '$! #'	(+ 3 ' )

" !$! 8 , * & #6 " '! '! N " ' i *$'$ . )

( " ' ) ( / !. ( , +1'$ " !$! +! & ,!0 $ '! !$ . '! ,-* !$!*, $. . +!,'$)/ * &

* ' (+)*-* + '$! )*. ! !3. 2$1 !$ ,

( +( '. " )+' * '!(+!, ' + '$! )* (+ . )0 $ " '! '! " ' ,-)0 $ ( / !.# 8 '!

( , +1'$ * ( +*" !*

	8 = 8 (1 + %2/2&2),					( 2.34 )
	8 = 8 (1 + i2/2&2).					( 2.35 )
!(+ * +, (+ " '! '! N = 2.9˚ (" ' i = 0.05) ( (+!, !
$!,$ 1:800, 12,5 *2 '! 1 !.
+ & ,!' ) $'$		(+ . ' )		( / !.		* #'-1
" !$, !, )$ $ *' 1 !$+ ,: 1 ) $, ''						'! *$ ,
*$( 3 ' ), 2			&$!' ,,	'! )		5 ''$
' ., 3 *$ . $3 '		$+ &" * $'$			, * 3' 6 #
(+ (+!, #' * ,-& +	( &! (+ . ' ) ( / !. " !$!.
! ,-6 !) $'$# * 3$		&-$# .$'"$! (+ !'!$*
( & (+ . ' ) ( / !.:			( / !.# " !$! (+ . )$) (
+ " #$!$!* * + '	'!	*$'$ 6 &			,	(+ . '
( / !. &"."$ !,$# $ 6 & 2$1 * + '					. 9$ ( ! !' ,

(. «3.11. 8+ * +- (+!$ (+ 3 ' ) $+ 6 &».

54

3.

' ,'-* !.! !* $+ 6 & ), )0 $):

1 −	" ' , . , , $, 6 & * + ' ;
2	− "$!' , '	+$+ ,	. ) 5 ' $'$
+ " #$!$, * + ' ;
3 −	+).! * + '	.' $	3 , '- ( "$#
'! & '!. 3' '! ' 5 '$# ;
4 −	5 ' ! $'$ "' 5 * + ''-1 , '.

3.1. $! )#*2-#)

* +$# , '" – '!$ '! $ $' 6 ' 2$ , '-

.+" .' + .' , ', (+ ')$ ! . ' 5" * + ' ).

8 " '' *" , + " #$!$ * + ' ) " (+ (-,!$) '! * ' ,!', $,$ $,"0 / '! ,!' 0 . ' 5- * + ' ).

" #$!$- * + ' '!-,!0 $ $! 3 * + ''-* , '!* +!$ (+$ * + ' )*.

'! ' , '- * 3' ( "$# ' ( + .$, '' ("$*

'! 3 ' ) . ' 5- * + '	'! * +) *"0	, '" (
'! & +$) $! ! " 3 ''-1 . ' 5 .		. ' 5-. !
* + ' ) '!-,!0 $ (+)*-*,	' ( + .$, ''-*. 8+ * +-

$! 1 * + ' – * + ' '! ( !' ' 5 + " *, " , − $+!' ( +$+ *.

'$+-1 " !)1 '! ' , '- * 3' ( "$# '!. !(+ * +, * +$# .,! " ! $+ " #' ! ( "$# 1 '! ' ) ! $, $ $+$ " O * 3' ,- $# ( ,$'

+*"

γ= 180 - α - β.

2$* (+ * + '! ' , '- ( " ' ' (+)*, !

, '', ( + .$, * ,-' ) '! ' ,!' *!$*!$

!, *$ * 3." (+ . ) * , ' ' ( + .$, '' * + ''-* , '!*. ! (,-''- ) '! ' ) '!-,!0 $

, ''-*, ( + .$, ''-* * + ' )*.

55

) '$+ ) ( ,-6 ' ) $'$ ' !$#' + " #$!$! , . (+!$ .'" $" 3 , '" * +)0 $ ' * '

.,"1 +!. ! ! . ) (+ . ' ) '! ' ) , '- .$!$'

.' * + ' ), $ (+	n * + ' )1 .' $		3 , '-
, * + ' ), + *	.' ($. . n-1 * + ' ),			'!-,!0 $
&-$'-* , . &!, '-*.
+ * '! ' ) , '-, ( " '' * + ' , '#
,!3' '!$# $'$# 2$1 * + '		. '$# * + '		!,$
$ $'$ (+ & + ,,	$+-*	,-( ')0 $)	* + ' ),
(+ . )$) " , )*,	, $+-1 ' ,-( ')0 $). * + ' ),
( " ''- , . '! ,-1 " , )1,		* 0 $ . '! ,"0		$'$#.

, ) $!0 $) . '! ,-*, * + ' ) (+ , . '- .' *

$* 3 (+ & + * ( (+ & +!* .' $'$ ), .' * $*

3 5 * 5!* . '! ,-* (-$*, .' * $* 3 *$.!* (+ . '! ,-1 ,' 6 ' 1 " , )1. * + ' ), ( " ''- +!,' $'$#0 , '!-,!0 $) +!,'$'-*. (+$,' * " ! ' '!-,!0 $) ' +!,'$'-*.

3.2. 7#65# #$! )#0# #, 2# /

* +$# , '" !& 0 $' $' ' , * 3': ! &- $/ !$#' ' (+ , . # * + ' ), + " #$!$- 1 ($ , .!$!0 $) $ $' ( $'') '! ' ) , '-. #

" ! ' * 3$ ! !$# ), $ * + '' '! ' , $'$ ,(!.!$ $''-* '! ' * , '-.

$' ' + " #$!$! * + ' ) , '- $ $'

'! ' ) '!-,!$) $'' 6 &	* + ' ) ,-+!3!$)
+*"
= 7 – X,	( 3.1 )

.− $''!) 6 & ! * + ' ), 7 - + " #$!$ * + ' ), : -

$' ( $'') '! ' , '-.

'! 6 & * + ' * 3' ".$# 1$) &- ( $*" !$", $ ( ,$+'- * + ' ) .' $ 3 , '- .!0 $, !

(+!,, +! '- '! ' ).		8+ '- 6 &		* + '	–
' , +6 '$,	+ !' ,	",$,	, !,	'$'$#
* +$#'-1	'$+"* '$,,	, )'	,' 6 ' 1 " ,		.+.

56

6 & ! * + ' ), )$) &-' + " #$!$* ,*$'

. $, ) ' # 1 +! '-1 (+ ', ( 2$*" * 3'

+! *!$+ ,!$# ! ! &+! "0 "**"

= 1 + 2 + 3 + … + n ,

, $+ !3. ! ! * $# .$, , )' ) !-& .' !$+!.

6 & !* * + ' $' )$) +"&- 6 &, $. . (+ *!1(+$-, (+ '! , ' ' , ' ) $+-1 – ' ,' *!$#'$# ( '$). +"&- 6 & * "$ &-$# ,-), '- '$+ #'-* * + ' )*. " #$!$- * + ' , . +3!/ +"&- 6 &,

!* ')0 $) ' ,-*.
8 +! 0 , ,	$,!1 6 & . )$ '! $*$
" ! '- .
$*!$ 6 & 2$ , ' ,' *		$! 6 &,
$+- (+ ( ,$+'-1	* + ' )1 .' $	3 , '-

(+ * + ' .' + .'-1 , ' ( ), )0 $) .' * $* 3 '! *. !(+ * +, (+ * + ' " , & #6 !

$+ " #' , , ' ,) ! ! # $+ 5!$#'-*, $ * 3' &-$# ", + ''-*, $ * + ''- "- . +3!$ .'" $" 3

$*!$"0 6 & " ' # $! 1 6 &.

$*!$	6 & &-,!0	$ ($)''- ( + * ''- .
8+ * + * ($)''	6 & * 3$	"3$# 6 & ! , + " #$!$!1

* + ' ) . '- ' -! '$' (+ . ' ) . '- * +' '$-. ( + * ''-* $*!$* 6 & !* , + " #$!$!1

* + ' ) .' $ 3 ' * +' '$ $' )$)

."0 / 6 &: -! (+ &! '$- , .$, ' + ,'$ ( ,-, -! (+ , ! '$-, -! $' ' ) '$- $ $, +! * +) * '.

8 + ''- $*!$ 6 & , ' !0 $ ( +! '-* (+ '!*. .' ' 1 !, )$ $ ' , +6 '$,!

'$' 0 $+ , * +' '$+"* '$! ('$+"* '$! #'- 6 &), .+" – $ $)' ) ,' 6 ' + .- (6 & + .-,

,' 6 ' 6 &), $ '!& 0 .!$) ('- 6 &).

" ! '-*	'!-,!0 $ 6 &, ' ,) !''- "' 5 '! #'
!, *$#0	! *-& !$+!* *!$*!$

3 .!' ) $+-1 +!,'- '" 0 .

57

!$*!$* 3 .!' *				6 &		'!-,!$) "**!
(+ , . '	, * 3'-1		'! '	6 &		'! $,$ $,"0 /
, + )$'$ , $. .
	"(	) =	181 +	282 + …	+	n8n ,	( 3.2 )
. 1, 2 , …	, n	− +! '- '! ' ) 6 &, , ' !0 /
(+ .!''-1 " , )1 * + ' , ! 81, 82, …					, 8n − $,$ $,"0 /

* , + )$'$ . + )$'$#0 '!-,!$) , '!, ($)''!) . ) ' +$'-1 " , * + ' , $+-* $+ *$) !$ $# ( ), ' ) 6 &. 8 . !$ $#0 ( ), ' ) 6 & ( ' *!$)

$' 6 ' ! 6 & . '! , +! * +! " , 1 6 & , .!'' * +)." (+ . )$) ( +*"

q = k/n,	( 3.3 )
. k – 6 & . '! , +! * +!, n –	&/ 6 &

, +)." * + ' . , + )$'$ ' ,$'-, $ , !* ')) 1 ,

+*" (3.2)	$,$ $,"0 / * * !$ $)*,		( " *
(+ & 3 '' +!, '$,
	"( ) * 1q1 + 2q2 + ... +	nqn .
$"$ $,	"' 5 '! #' !, *$	6 &	$ !-

& !$+! ,-+!3!$) (+!$ , $*, $ ( ), ' 6 & , +)." , $ ( . ,!$#'$ , $+!) *$ *$ , !3. * ' +$' * " !, ' ( . ')$) ' ! , . * ! ' * +'$ ; '-* ,!*, '! +! * + 6 & , +)." '

!,$ $ '! ! +! * +! $! #'-1 6 & ( " '' +).!

* + ' . !, '$, '" 0		*!$*!$ 3 .!' ) 6 &
* + ' ) !	-& , '- (+!$ (+ ), )$) , $*, $
(+ ' +!' '' * ", ' ! * + '				2$ , '-
+ .' !+ *$ ( " ''-1 '! '				6 & *$
$'. '5 0 $+ *$# ) '" 0 .
" ! '-	6 &	* + '	& !.!0 $	."0 / *
, $,!*:

58

1	− ( 3$#'-		6 &		,$+ !0 $) (+ * +' $! 3
!$ ,	! +!,'- *		(	!& 0 $' , '			$+ 5!$#'-
6 &;
2	−	* & #6 6 & ! ( !& 0 $'				, ', $* + 3
'! ,$+ !$);
3	−	!& 0 $'!)	, '!		6 &	'	(+ , 1 .$
(+ . '' (+ . !;
4	−	+ .' !+ *$ 6 & (+ ' +!' ' *
", ' ! * + '				, +)." *$ $'. '5 0 $+ *$# )
'" 0 .
3.3. #+! "#& 35%*3 #)%# 32(03"2%
* + ' .' $			3 , '- (+ . 1 +!&$!1

&-' (+ , .)$ ' * ' .,"1 +! ! ' !$#' '! ' ,

" ! +!,'$'-1 * + '			& +"$			+ .'		!+ *$ ,
'!-,! * '! !+ *$					+ . '		,	$+		), )$)
& '!. 3'-*, * .' * + '.
+ " #$!$- +!,'$'-1					* + ' .'					$ 3
, '- (+ .$!,$# , &" , '' * , .						71,	72, …	, 7n, $ +*" !
!+ *$	+ . '- *$ , .
	L = (71		+ 72		+ …	+ 7n)/n = [7]/n .				( 3.4 )
) "(+ / ' ) ,-' ) !+ *$								+ . '- ,, .)$
(+ & 3 ''	'! '	70	* +) *				, '-.		-, . *
+*" " ,-' ) !+ *$					+ . '- + (+ & 3 ''
'! ' 7o. & '! *
	7i - 7o = 27 ,			i = 1, 2, …			, n..
! ' ,!' 2$1 +!, '$, * 3' '!( !$#
	7i = 7o + 27i ,		i =1, 2, …			, n.				( 3.5 )
8 .$!, , (3.5) , (3.4), ( " *
L = ( 7 + 271 + 7o + 272 + …				+ 7o + 27 n)/n = (n7 + [27] )/n ,

59

L = 7o

+ [27]/n .

( 3.6 )

, $,

!+ *$

+ . '-:

(+ ", '

!

+!,'$'-1

* + '

.'

$

3

, '- 1

+ .'

!+ *$ $+ *$) $' *" ( $'' *") '! ' 0

2$

, '-. ! !$# 2$ , $, * 3' ."0 / * &+! *.

8"$# : –

$' '! ' * +) * , '-. ! ' ,!'

(+ . ' ) $'' 6 & * 3' '!( !$#:

i = 7i –

X,

i = 1, 2, ... n.

3 , ( '' 2$ +!, '$,! +! . , '! n, ( " *

[

]/n = [7]/n –

X

[

]/n = L –

X.

( 3.7 )

+!, '$,! (3.7) ."$, $ , '! [G]/n ), )$) 6 &

!+ *$ + . '-.

8 , $," " ! '-1 6 & '! (+

", ' ! * + '

$+ *$) '" 0 . * ) 2$ , , .", '!

' ,!' +!, '$,! (6)

* 3'

! 0 $#, $ !+ *$!)

+ . '!

(+

", '

!

* + '

$+ *$)

$' *"

'! ' 0

:.

8 2$*" + .' !+ *$ '! '

+).!

+!,'$'-1 * + '

.'

$

3 , '- ), )$) &

'!. 3'-* '! ' * 2$

, '-.

3.4. )**52% %"#& 35%*(7#65%

8+ , .) +!,'$'-

* + ' ), ' &1 . * (+ .$#

$( '#

1

'!. 3'$

–

5 '$# 1 $'$#, . )

(+ * ')0 $) +! '- ,- 1!+!$+$ . .'

$! 1

1!+!$+$ ), )$) + .')) ,!.+!$!) 6 & ! * + ' ),

(+ . ) *!) ( (+ . 3 '' . . !" * +*"
_____
m = 9[ ]/n ,	( 3.8 )

60