ющего и апериодического звеньев. Но так как оно достаточно часто встречается в системах управления, то его иногда рассматривают как самостоятельное типовое линейное звено.

К этой группе очень часто относят также звено чистого запаздывания. Само по себе это звено нельзя считать линейным, но к системам, имеющим в своём составе помимо типовых линейных звеньев звено запаздывания (система при этом называется особой линейной системой), с успехом применяются некоторые методы расчёта, предназначенные для линейных систем. Поэтому имеет смысл изучить его свойства в составе вышеприведённой группы звеньев.

Полную информацию о свойствах линейного типового звена в переходном и установившемся режимах можно получить из переходной характеристики.

Переходной характеристикой называется график переходного про-

цесса на выходе звена при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях.

Единичное ступенчатое воздействие – это такое воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остаётся неизменным. Применение в данном случае единичного ступенчатого воздействия оправдано тем, что к линейным объектам применим принцип суперпозиции и наложения. Физически это означает следующее: если к линейному звену приложено несколько воздействий, то суммарный эффект от этих воздействий может быть определён как сумма эффектов от каждого из этих воздействий. Кроме того, единичное воздействие унифицирует расчеты и упрощает сравнение полученных результатов.

На рис.1.1 представлены: а) блочная схема типового звена, б) входное единичное ступенчатое воздействие.

Хвх	Типовое	Хвых	Хвх
	линейное
	звено		1	t

а

б

Рис. 1.1

Переходную характеристику любого типового звена можно найти и построить по переходной функции (формуле), которая является решением дифференциального уравнения звена при

единичном воздействии и нулевых начальных условиях, или методом структурного моделирования.

7

В табл. 1.1 приведены дифференциальные уравнения, переходные функции и переходные характеристики типовых линейных звеньев, изучаемые в настоящей работе. Параметры типовых звеньев имеют следующие обозначения:

k – коэффициент передачи,

T, T1, T2 – постоянные времени в секундах, τ – время запаздывания в секундах,

A = T2 – коэффициент демпфирования колебательного звена,

T1

α и β – действительная и мнимая части корней характеристического

уравнения колебательного звена при А < 2,

АO =		α2	+β2	и ϕ0 = arctg	β	– амплитуда и фаза, соответ-
		β			α

ствующие нулевым начальным условиям в решении дифференциального уравнения колебательного звена при А < 2,

на, αи – угол наклона переходной характеристики интегрирующего зве-

УУР – уровень установившегося режима Обратим внимание, что дифференциальное уравнение колебательно-

го звена может иметь и другую форму записи, эквивалентную той, что

приведена в табл. 1.1:

T	d2Xвых	dXвых			вх .
	ξT	+ 2 + X	dt	=kXвых
	dt2
		8

9

Наименование

звена

Интегрирующее

Апериодическое

Колебательное

Реальное

дифференцирующее

Звено

запаздывания

Таблица 1.1

Дифференциальное

Переходная функция

Переходная

уравнение звена

характеристика

dXВЫХ = k X

X

(t) = k t

XВЫХ

αи=arctgk

ВХ

ВЫХ

dt

αи

t

T dXВЫХ + XВЫХ = k XВХ

X

(t) = k (1−e−T )

XВЫХ

T

k

УУР

t

dt

ВЫХ

t

T2

d2X

ВЫХ +T

dX

ВЫХ + X

= k X

При А < 2

XВЫХ

А<2

k

1

dt2

2

dt

ВЫХ

ВХ

XВЫХ(t) = k (1−e−α t

AoSin(βt +ϕo ))

t

T dXВЫХ + X

= k dXВХ

X

(t) = k e−T

XВЫХ

k /T

t

dt

ВЫХ

dt

ВЫХ

T

T

t

XВЫХ

XВЫХ (t) = XВХ(t −τ)

XВЫХ(t) =1 (t −τ)

1

τ t

Параметры этого уравнения связаны с табличными следующими соотношениями:

T = T1, ξ = T2 / 2T1 = 0.5 А.

Здесь ξ – коэффициент демпфирования для второй формы записи дифференциального уравнения колебательного звена.

Кроме того, у колебательного звена при коэффициенте демп-

фирования А ≥ 2 или ξ ≥ 1 переходная характеристика будет иметь другой вид – монотонный (без колебаний), так как в этом случае корни характеристического уравнения становятся отрица-

тельными действительными.

При фиксированных значениях параметров типовых звеньев по переходной функции можно легко найти начальные – Хвых (0)

и конечные – Хвых (∞) значения выходной величины, а по переходной характеристике увидеть, что каждому звену соответствует определённый характерный для него вид переходного процесса при одном и том же единичном входном воздействии – Хвх = 1(t).

Более глубокие исследования динамических свойств при изменении параметров типовых звеньев связаны с многократными построениями переходных характеристик, что представляет собой довольно трудоёмкую процедуру.

Удобным и наглядным в таком случае оказывается метод структурного моделирования с применением персональных компьютеров.

Для моделирования типового звена достаточно по исходным данным (структурной схеме и численным значениям параметров) составить схему модели и ввести её в прикладную программу

«MATLAB &SIMULINK»).

Передаточные функции и структурные схемы изучаемых типовых звеньев приведены в табл. 1.2. Численные значения параметров будут заданы в программе работы.

В методе структурного моделирования решение дифференциального уравнения и вывод переходных характеристик на экран монитора выполняет соответствующая прикладная программа.

При изменении какого-либо параметра звена изменяется его переходная характеристика, а следовательно, и свойства исследуемого звена. Для удобства сравнения свойств типовых звеньев при вариации параметров, а также при охвате звена обратной связью в ТА У принято оценивать переходные характеристики следующими параметрами:

10

• в установившемся режиме – уровнем установившегося

режима (Хвых (∞));

• в переходном режиме – быстродействием в секундах (Tрег), максимальным отклонением выходной величины от уров-

ня установившегося режима в процентах (σmax%), количеством колебаний (ккол).

Примечание. Аналогичный параметр применительно к системам автоматического управления (регулирования) в ТАУ называется временем регулирования и обозначается Tрег. Здесь использовано это обозначение.

Под быстродействием понимается время, за которое переходная характеристика входит в пятипроцентную зону (±5% от уровня установившегося режима) и более из неё не выходит.

Таблица 1.2

Наиме-

Передаточная

Структурная

новаие

функция

схема

Simulink

звена

X вх

Инте-

k

X вых

W(p) =

k

гриру-

p

ющее

p

X вх

Апери-

W(p) =

k

k

X вых

одиче-

Tp +1

Tp +1

ское

W(p) =

X вх

Колеба

k

k

X вых

тельное

T12p2 +T2p +1

T2p2 +T p +1

1

2

Реаль-

ks

ное

W

(s) =

X вх

ks

X вых

рен

Ts +1

Ts +1

диффе-

циру-

ющее

W (s) = ke−τs

Звено

X вх

ke−τs

X вых

запаз-

d

ния

s = p dt

дыва-

11