Глава 02 Векторная алгебра
.pdf65
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами
●Понятие геометрического вектора
Всвоей практической деятельности инженер чаще всего имеет дело с так называемыми скалярными и векторными величи-
нами. И если скалярные величины (обычно их называют скалярами)
характеризуются только числовым значением, то для описания век-
торной величины необходимо задать еще и направление. Примерами скаляров служат масса тела, его энергия, температура тела в какой-
либо точке. К векторным величинам относятся, например, смещение материальной точки, движущейся в пространстве, скорость и уско-
рение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрическим образом векторной величины может служить
направленный отрезок. Напомним, что отрезок прямой называют направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом направленного отрезка и какая – концом. Направленный отрезок естественным образом определяет как числовую характери-
стику векторной величины – это длина направленного отрезка, так и
66 Глава 2. Векторная алгебра
её направленность: линия действия векторной величины – прямая проходящая через концы отрезка, а направление действия векторной величины – от начальной точки направленного отрезка к его конеч-
ной точке.
Направление на направленном отрезке принято отмечать стрел-
кой.
Для обозначения направленного отрезка обычно пишут две большие латинские буквы с общей чертой (или стрелкой) наверху,
при этом первая представляет начало, вторая − конец направленного
отрезка, например, AB (или AB ). Вместо букв A и B могут быть использованы и другие большие латинские буквы (возможно с ин-
дексами).
Будем предполагать, и это существенно, что направленные отрез-
ки неразличимы, если их можно совместить с помощью параллель-
ного переноса.
Математической моделью векторной величины является геомет-
рический вектор, который определяется с помощью понятия на-
правленного отрезка.
Определение 2.1. Геометрическим вектором назовем направлен-
ный отрезок прямой линии.
Ради краткости далее будем геометрический вектор называть вектором, опуская слово «геометрический». Однако необходимо от-
метить, что в математике термин «вектор» относится к достаточно широкому классу понятий (существует, например, арифметический
Глава 2. Векторная алгебра |
67 |
вектор). Поэтому отождествлять термин «вектор» с понятием «гео-
метрический вектор», вообще говоря, нельзя.
Для обозначения вектора принято использовать одну из строчных
латинских букв с чертой или стрелкой над нею: a илиa. Можно буквы, обозначающие вектор, просто набирать полужирным шриф-
том, например, a или b. Обозначают вектор и символом AB (или
AB ), где точки A и B представляют соответственно начало и ко-
нец вектора.
Начало вектора называют точкой его приложения. Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной (а также мо-
дулем или абсолютной величиной). Длина вектора обозначается сим-
волом AB или a .
Векторы называются коллинеарными, если их линии действия параллельны.
Два вектора называются ортогональными, если их линии действия перпендикулярны.
Три или большее число векторов называются компланарны-
ми, если существует плоскость, которой параллельны линии дейст-
вия всех этих векторов.
К векторам относят и так называемый нулевой вектор – это
«вектор», начальная и конечная точки которого совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а его длина равна ну-
лю. По определению полагают, что нулевой вектор коллинеарен лю-
68
бому вектору. Для его обозначения используют символ o . Допус-
тима замена символа o более простым символом 0. Появление в семье векторов «отличного от других» нулевого вектора обусловле-
но спецификой действия линейных операций с векторами. Эти опе-
рации будут введены ниже.
Определение 2.2. Два вектора называются равными, если они кол-
линеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равными счи-
таются и все нулевые векторы.
Из определения вытекает, что, выбрав любую точку C ,
можно построить (причем только один) вектор CD, равный некото-
рому заданному вектору AB, или, как говорят, перенести начало вектора AB в точку C . Иными словами, точка приложения любого вектора может быть выбрана произвольно. Таким образом, не разли-
чаются два равных вектора, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом. Поэтому геометрические векторы называют свободными векторами, ибо они определены с точностью до точки приложения.
В дальнейшем будем полагать, если иное не оговорено осо-
бо, что все рассматриваемые геометрические векторы имеют общую точку приложения.
В механике и физике кроме свободных векторов рассматри-
вают скользящие и связанные векторы. Скользящими называют такие векторы, которые считаются эквивалентными (неразличимыми по действию), если они не только равны, но и лежат на одной прямой.
Глава 2. Векторная алгебра |
69 |
Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу, так как две силы, равные и расположен-
ные на одной прямой, оказывают на такое тело одинаковое механи-
ческое воздействие. Связанными называют векторы, которые счи-
таются эквивалентными, если они не только равны, но и имеют об-
щую точку приложения. К таким векторам относятся, например,
сила, приложенная к некоторой точке упругого тела.
Линейные операции с векторами
К линейным операциям принято относить операцию умно-
жения вектора на число (скаляр) и операцию сложения векторов.
Определение 2.3. Произведением вектора a на число t называют вектор ta, коллинеарный вектору a и имеющий длину, равную
t a , направление которого совпадает с направлением вектора a,
если t>0 и противоположно направлению вектора a, если t 0.
Естественно, умножая любой вектор на нуль, получим в ре-
зультате нулевой вектор.
Данное определение позволяет сформулировать следующее
условие коллинеарности двух векторов:
Теорема 2.1. Ненулевые векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, если существует число t такое, что справед-
ливо равенство
a t b. |
(2.1) |
70 Глава 2. Векторная алгебра
► Достаточность условия (2.1) вытекает прямо из определения про-
изведения вектора на число. Если a t b, то по определению век-
торы a и b коллинеарны.
Докажем необходимость этого условия. Если векторы a и b
коллинеарны, то, имея общую точку приложения, они будут иметь и общую линию действия. Следовательно, интересующее нас число t
равно дроби ab или дроби ab в зависимости от того, сона-
правлены векторы a и b или они имеют противоположные направ-
ления. Единственность найденного множителя t очевидна: при ум-
ножении вектора b на разные числа получаются различные векто-
ры. ◄
Определение 2.4. Суммой a bдвух векторов a и bназывается вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора bпри условии,
что начало вектора bсовпадает с концом вектора a.
Правило сложения векторов, содержащееся в данном опре-
делении, обычно называют правилом треугольника. Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагае-
мые векторы a и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма a b образуют треугольник (рис. 2.1). Нетрудно заметить, что при этом вектор a b является также диагональю параллелограмма,
построенного на векторах a и b, так как AD BC b (рис. 2.2),
Глава 2. Векторная алгебра |
71 |
что позволяет правило сложения векторов сформулировать и в виде
правила параллелограмма:
Определение 2.5. Если неколлинеарные векторы a и b имеют об-
щую точку приложения и на них построен параллелограмм, то сум-
ма a b есть диагональ этого параллелограмма, выходящая из об-
щего начала векторов a и b.
Если векторы образуют замкнутый многоугольник, т.е. каж-
дый следующий вектор приложен к концу предыдущего, а конец последнего совпадает с началом первого, то сумма всех этих векто-
ров равна нулевому вектору. Очевидно, что прибавление нулевого
вектора к любому вектору не меняет последнего.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
|
a b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АD
Рис. 2.1 Рис. 2.2
Умножение вектора на число является естественным обоб-
щением сложения векторов. Так, например, под вектором 3 a по-
нимается сумма a a a . Сложение вектора со скаляром так же нелепо, как сложение величин разной размерности, например, се-
кунд и сантиметров.
72 |
Глава 2. Векторная алгебра |
Отметим, что векторы не сравниваются друг с другом, нет положительных и отрицательных векторов, не бывает неравенств
вида a b и т.п.
Свойства линейных операций с векторами
При сложении векторов и при умножении вектора на число справедливы все обычные правила, с которыми мы привыкли иметь дело в курсе элементарной математики. Для любых векторов a, b, c
выполняются следующие равенства:
1.a b b a (коммутативность суммы);
2.(a b) c a (b c) (ассоциативность суммы);
3.Существует нулевой вектор 0 такой, что a 0 a ;
4.Для каждого вектора a, существует противоположный век-
тор a такой, что a ( a) 0;
5. 1 a a для любого вектора a (особая роль числового мно-
жителя 1);
6. ( a) ( )a (ассоциативность относительно числового множителя);
7. ( ) a a a (дистрибутивность по отношению к
умножению на вектор);
8.(a b) a b (дистрибутивность по отношению к ум-
ножению на число).
73
Выписанные выше свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов прямо вытекают из определений этих операций, геометрически наглядны и легко проверяются. Вектор
a, противоположный к вектору a, коллинеарен вектору a, равен ему по длине и противоположно направлен, иными словами это век-
тор ( 1) a .
Благодаря свойствам 1-8, все выкладки в векторной алгебре производятся по тем же правилам, по которым производятся анало-
гичные выкладки в обычной «школьной» алгебре, т.е. можно приме-
нять обычные арифметические правила раскрытия скобок и вынесе-
ния множителей за скобки..
В математике принято называть линейным (или векторным)
пространством всякое множество, если
1) на элементах множества определены две операции: одна из них, называемая суммой элементов, любым двум элементам мно-
жества ставит в соответствие по некоторому правилу третий элемент этого множества, а вторая, называемая произведением на число, каж-
дому элементу множества и всякому числу ставит в соответствие определенный элемент множества;
2) эти операции обладают всеми восьмью свойствами, пере-
численными выше.
Таким образом, множество всех геометрических векторов с определенными выше линейными операциями представляет собой линейное пространство, которое обозначают символом B3 . Линей-
74 Глава 2. Векторная алгебра
ными пространствами будут и аналогичные множества геометриче-
ских векторов на плоскости и на прямой линии. Для их обозначения используются соответственно символы B2 и B1 .
Отметим, что элементы любого линейного пространства принято называть векторами. Естественно, такие «векторы», вооб-
ще говоря, не имеют ничего общего с геометрическими векторами.
Например, множество всех функций, определенных и непрерывных на отрезке a, b , когда операции сложения таких функций и умно-
жения их на число определены обычными правилами математиче-
ского анализа, тоже будет линейным пространством (справедли-
вость свойств 1-8 проверяется элементарно). Следовательно, функ-
ции этого множества являются векторами данного линейного про-
странства. Поэтому с термином «вектор» надо обращаться очень аккуратно и не отождествлять его автоматически с понятием «гео-
метрический вектор».
Линейные комбинации векторов
Определение 2.6. Линейной комбинацией векторов a1, a2, , an
называют вектор
b t1 a1 t2 a2 tn an ,
где t1, t2, , tn − произвольные числа, называемые коэффициента-
ми линейной комбинации. Говорят, что линейная комбинация век-
торов равна нулю, если b − нулевой вектор.