Tipovoy_raschet_po_matematike_T_V_Klodina__N_S_Zadorozhnaya_N_V_Danilova

11

№

4

2

2

3

2

x - 2x + x

x

+ 3x

x

x

14

-

1)lim

11x - x2

; 2)lim

; 3)lim

;

x→∞

x→0

9 + x - 3

x→∞ x2

-1 x + 1

7

4 x+3

3x

-

x

cos ec

2

4 x

1

4)lim

1

-

; 5)lim

; 6)lim(cos8x )

;

+

x→∞

x

x→∞ 3x

2

x→0

7)lim

x2 + 5x

; 8)lim

x

; 9)lim

1 - cos10x

.

x2 - 2

1

+ x2

-1

x→∞ x + 4

x→0

x→0 sin 2x × tg3x

№

x

8

- 4x

4

+ 3

x

2

- 3x

+ 2

; 3)lim(

)

15

2

-1

-

2

1)lim

; 2)lim

x

x

+ 5x6 + 1

- 4x

+ 4

+ 1 ;

x→∞ x9

x→2 x2

x→∞

5

1−2 x

x -1 3− x

2

3 x −2

4)lim

+

; 6)lim(sec

x)

;

1

; 5)lim

x→∞

1 - 6x

x→∞

x +

8

x→0

(1 + cos x )tg 2

x

x -1

1

4

- ctgx

7)lim

x2 sin 2 3x

; 8)lim

; 9)lim

.

x→0

x→1

x + 8 - 3

x→0

sin x

№

x6 + 2

- 2

x - 2

1

3

16

-

1)lim

; 2)lim

; 3)lim

- 4x4 + 1

- 5x

- 6

- x

;

x→∞ x5

x→6 x2

x→1

1

1 - x3

4

3 x+5

7 x

+

−2 x

2ctgx

2

4)lim

1

+

; 5)lim

; 6)lim(1 - 5x )

;

-

x→∞

3x - 2

x→∞

7 x

4

x→0

- x

; 8)lim

x - 7

; 9)lim

1 - cos x

.

7)lim

x + 2

x→∞

3 x2 + 3 + x

x→7

x + 2 - 3

x→0

x2

№

x

3

+ 8x

2

-1

x -1

x

5

x

3

17

-

1)lim

4x4

-1

; 2)lim

; 3)lim

x2 +

;

x→∞

x→1

x

+ 8 - 3

x→∞ x4 + 5

1

1−4 x

x−2

2

2

-

5

4

x

2

4)lim

+

2x

; 6)lim

+

;

1

; 5)lim

+

1

x→∞

5x + 3

x→∞

2x

1

x→0

ctg3x

x2 - x + 1

- 2

x(1 - cos 4x )

7)lim

; 8)lim

x + 2

; 9)lim

.

x2 + x - 6

x→∞ x - 3

x + 2

x→2

x→0 sin 2 x × tg3x

12

№

23 x2 - x + x2

- 2

x3

x -1

18

1)lim

; 2)lim

x - 8 - 4x2

- 3x -10

; 3)lim x -

;

x→∞

x→5 x2

x→∞

x2 + 3

1

2−x

x3

x

2

cos ec 2 x

3

-

;

4)lim 1 -

; 5)lim

- 2

; 6)lim

x→∞

3 - x

x→∞ x3

x→0

cos x

x2 + 7 + x2

x

tg 2 4x

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

4

x8 + 5 - 3

x→∞

x→0

1 + x

-1

x→0 1 - cos x

2x

3

-

4x

2

+ 5

x

3

x + 1

-

№

1)lim

; 2)lim

; 3)lim

;

2

x

2

- 9

1 + x

2

2

- 4

19

x→∞

x→0

-1

x→2 x

(x - 2)

8

6−5 x

x2

+ 5 x+1

2

−ctg 2 x

4)lim

+

; 6)lim(1 + 5sin x)

;

1

4x +

; 5)lim

x→∞

7

x→∞

x2

-1

x→0

(x - 3)(x2 + x)

- 2

4 + x

tgx

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

2x3 -1

x→∞

x→0

tg 4x

x→0 1 -

1 + tgx

x

2

+ 5x - 2

- 3

x

4

+ 1

3x

3

№

x + 5

20

-

1)lim

; 2)lim

; 3)lim

x2 -

;

x→∞ 4x3 - 7 x + 3

x→4 x2 - 5x + 4

x→∞

x

3

1

x

x−3

π

ctgx

5

5x + 1

2

4)lim

+

; 5)lim

;6)lim

;

1

tg

- x

x→∞

2 - 3x

x→∞

5x + 2

x→0

4

x3

+ 3

x - 6

x2 sin 2x

7)lim

x +1

; 8)lim

; 9)lim

.

tg 3 4x

x→∞ x + 4 x2 + 1

x→6

x - 2 - 2

x→0

№

x

2

+ 5x - 4

x

3

- 27

x

4

+ 1 x

5

-1

21

-

1)lim

7 x2

; 2)lim

; 3)lim

x4

;

x→∞

+1

x→3

x

+1 - 2

x→∞ x3 + 2

5

2+ x

7 x -1

5 x−3

cos ecx

4)lim

+

; 6)lim(1 + tgx)

;

1

2x -

; 5)lim

x→∞

1

x→∞

7 x + 2

x→0

2 + 4

3

x

x + 5 - 4

1 - cos

x

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

4x4

x→∞

+1 + 3x2

x→11

x - 2

- 3

x→0

x × sin 2x

13

№

8 −

x

3

9 + x − 3

3

2

22

1) lim

; 2) lim

; 3) lim

−

x 2 + 5x

− x 2

1 −

;

x → ∞ x 2 + 10x − 1

x → 0

x → 1

1

x 3

1 − 6 x

x + 2

−

x

4)

2

3

(1 − sin x )ctg 2 x ;

1 −

; 5)

; 6)

lim

lim

lim

+ 5

x → ∞

7 x + 3

x → ∞ x

x → 0

7) lim

x 2

+ 3

; 8) lim

1 + 2x − 3

1 + cosπx

− x + 7 x 2

x − 2

; 9) lim

tg 2 πx

.

x → ∞ 5

x → 4

x → 1

№

1)lim x

3

+ 2x

2

− 5 ; 2) lim

x

3

− 8

; 3) lim(

x2 −2 −

x2 + 2 );

23

x→∞

6 − 5x4

x→2 x2 − 3x + 2

x→∞

1

1−2 x

3−2 x

cos ec 2 x

4)lim

+

; 5)lim

3x -

1

;

1

; 6)lim(1 + x )

x→∞

4 - x

x→∞

3x -

4

x→0

7)lim

3

x -1 + 4

x4 + 1

3

x - 6 + 2

; 9)lim

1 - cos 2x

x +

x2 + 5

; 8)lim

x + 2

.

x→∞

x→−2

x→0 1 - cos3x

№

8x

4

+ x

+ 1

3 - 5 + x

x

3

x

3

- 3

24

1)lim

; 2)lim

-

3 - 2x4

- 5 - x

; 3)lim

x2

;

x→∞

x→4 1

x→∞ x2 + 3

x −3

x−5

6

4

4)

+

2

; 5)

+

1

; 6)

( −

)− x ;

lim

1

lim

4x

2tgx

-

lim 1

x→∞

x

x→∞

4x

3

x→0

7)lim

3

x + 5

; 8)lim

7 -

x + 49 ; 9)lim tgx - sin x .

x→∞

x3 - 7

x→0

x

x→0

sin3 3x

№

1)lim x

8

- 5x

3

+1 ; 2)lim x

2

- x

- 2 ; 3)lim(

x2 - 4 -

x2 + 3x );

25

x→∞

7 - 4x6 + x9

x→−1 x2 + 2x +1

x→∞

3

6+3 x

x2

1−x 2

2

2

4)lim

; 6)lim(1 + sin

3x)x

2

;

1 +

10x +

; 5)lim

x→∞

7

x→∞ x

2 - 3

x→0

7)lim

x3 - 7 x + 5

; 8)lim

1 - x - 3

1 - cos 4x

x2 + 4

x - 3

2 + 3

x

; 9)lim

× tg5x

.

x→∞

x→−8

x→0 sin x

14

№

x

3

+ x

2x

2

− 3x − 5

x

3

x

4

− 3

26

1) lim

; 2) lim

; 3) lim

−

x → ∞ x 4 − 3x 2 + 1

x → −1 3x 2 − x − 4

x → ∞ x 2 + 2

x 3

4)

4

12 x − 2

; 5)

+

4 x

; 6)

(cos 2x )− cos ec

2

x ;

lim

1 −

lim

x

2

lim

6x −

+

x → ∞

5

x → ∞

x

1

x → 0

2

2

x + 1 −

1

x − 4

1

7) lim

; 8) lim

; 9) lim

4

tgx −

.

x → ∞ x

+

x 3

− x

+ 2

x → 2

x + 7 − 3

x → π

cos x

2

№

3

6

1)

x

+ 7 x − x ; 2)

x + 3 − 2 ; 3)

1

−

3

27

lim

lim

;

x2 −

4

lim

− 4 x −

x→∞ 3x6 + 5x − 1

x→1

x→2

x2

2

3

4 x−1

2x

− 5

− 7 x

(1 − 3sin 2 x)5cos ec

2

4)

; 5)

3

; 6)

3 x ;

lim

1 +

lim

lim

x→∞

1 − 3x

x→∞

2x

− 1

x→0

7)lim

(x − 1)(4x2 + 3)

1 − x2

1 − sin3 x

7 − x + 2x3

; 8)lim

−

; 9)lim

.

x→∞

x→1 1

x

x→π

cos2 x

2

№

x

4

− 5x

x

2

− 36

x

3

− 2

x

3

28

1)lim

; 2)lim

−

+ 3x − 2

− 42

; 3)lim

;

x→∞ x2

x→6 2x2 − 5x

x→∞ x2 + 1

x2 − 1

9 x+11

x

4)

+

5

x

2

6)

(1 + 3x )cos ec 2 x ;

lim

1

; 5)

lim

;

lim

+

x→∞

x3

x→∞

x

3

x→0

7)lim

x + 3

x3 + 1

2sin 2 3x

; 9)lim

tgx − sin x

x

+ 4 x2 − 3

; 8)lim

x(1 − cos x )

.

x→∞

x→0

25 + x − 5

x→0

№

1)lim 5x

3

+ 2x + 6 ; 2)lim x

2

− 6x + 5 ; 3)lim(

x3 + 1 −

x3 − 1);

29

x→∞ x5 − 7 x + 3

x→5 x2 − 3x − 10

x→∞

1−x 2

5x − 2

−8 x

3

x

2

2

4)lim

+

; 5)lim

; 6)lim

1 − tg

x;

1

x→∞

x2 − 2

x→∞

5x + 3

x→0

7)lim

x3 − 10x + 2

3

5 + x − 2

(1 − sin 2 x)tg 6x

; 8)lim

x − 3

; 9)lim

x

.

x→∞ x2 − x + 1

x→3

x→0

15

3x

2

- 4x + 1

- 2

2x

4

- 3

x

3

№

x + 3

30

-

1)lim

; 2)lim

1 - x - 2x2

x3 -1

; 3)lim

+ 1

;

x→∞

x→1

x→∞ x3

x2 - x + 1

2 x

x−1

4

3x

2ctg 2 x

2

2

4)lim

-

; 6)lim(sec 3x)

;

1

; 5)lim

x→∞

x2 + 1

x→∞

3x + 7

x→0

x(1 - cos x )

x2 +

x3 + 1

4

- 2

7)lim

; 8)lim

x

; 9)lim

.

4 16x8 +1 +1

x→∞

x→16

x - 4

x→0 sin3 5x

Задание 6.

Найти производные функций. Номера примеров задач класса «А»: 1, 2, 6, 7 и № 1 при нахождении производной второго порядка y ''.

Варианты для самостоятельного решения.

y′ = ?

y′′ = ?

№ 1

- 8; 2) y = xe1−cos x ;

1) y = ln tgx;

1) y = x2 arctgx - 2x + 3

x5

2)cos y = y3 - x2 ;

x3

x

t

3) y = ln tg

; 4) y = 2arctg x +

;

x = e

cost

2

x

2

+1

3)

t

y = e

sin t.

t + 1

=

5) y = x

arcsin x

;

x

t

6)sin(x + y ) = x3 y 2 ;

7)

t − 1

=

y

t

№ 2

1) y = (1 + x2 )4 ;

1) y = e x cos x + 23

x2 - x5 + 4; 2) y = x ×10

x ;

2)x - y + arctgy = 0;

1

x

3) y = arcsin

; 4) y = 3

ln x - 3cos2

;

x = sin t

3

3)

2x +

3

5) y = x

ln x

;

= a sin

3

t

y = ln cost.

x

a,b

− const

6)2ln(x − y ) = sin(xy );

7)

3

= b cos

t

y

16

№ 3

1) y = 2x3 ln x -10x

+ 5 x2

-1; 2) y = sin x × ecos x ;

1) y = 7 x−1 ;

x

2) y = x + ln y;

3) y = arctg

; 4) y = 3lg( x + 2)- 5

x3 - 4;

x = 2cost

1 - x2

5) y = (arcain2x )2 x ; 6))x + arcsin y = y + arcsin y;

3)

= 2sin t

y

x = sin t

.

7)

y = et - e−t

№ 4

1) y = lg x × sin x - 3

+ x3 + 5; 2) y = ln(sin

);

ln x

x

x

1) y =

;

1

arccos4x

3

x

3) y = e2 x+3 x2 - x

+

; 4) y

=

- ctg

x;

y

2) y =1 + xe

;

1 - 4x

2

2

x = 3(t - sin t )

5) y = x1+tgx ; 6) y sin x - cos(x - y ) = 0;

x = ln(1 + t 2 )

3)

= 3(1 - cost ).

y

7)

- arctgt.

y = t

№ 5

2

1) y = xarctgx;

1) y = x3

× 2x

- 3ln x + 3 x -

2; 2) y = e− x

× ln x;

3) y = arctg

1

; 4) y =

sin 3x

+ 28 x 2 +1 ;

2)e x− y = xy;

x = ln t

1 + x

x

2

+ 1

3)

5) y = (sin x )cos5 x+1 ; 6) ln(x + y ) - y = 2;

= t 2 -1.

y

x = cost

7)

+ 2sin t.

y = t

№ 6

1) y = (4x + 3)× 2− x ;

1

1−x

2) y3 + x3 = 3xy;

1) y = xarctgx + sin x - 4

+

; 2) y = e

1+ x ;

x3

3

x = arcsin t

3) y = cos 2x × ln(2x -1); 4) y = arcsin3x - ctg π x;

3)

= ln(1 - t 2 ).

y

2

x

x

x = e−t

;

5) y =

2 + x

7)

3

.

6) y - x = arctgy;

y = t

№ 7

- 7; 2) y = 3x cos(x4 );

1) y = arcsin

1) y = e x ln x - 3cos x + 3

x2

x ;

3) y = (arctg )

2)e y

+ xy = 2;

t

ctg

x

x = cost

x = ln sin

;

6) y = (tgx)

2 ;

3)

.

5)

2

y

= t - sin t

7)arctg(x + y ) = x

y = ln sin t

17

№ 8

1) y = xe x

2

1

ln x - x7 + 3; 2) y = 3xe−5 x 2

;

1) y =10x tgx +

;

2) y = sin(x + y );

2

x = cost

1 - ln x

= arccos(x

)- 5

3)

3

3

2

3) y = sin

2

- x

; 4) y

4

;

y = ln sin t.

x

2

t

5) y = (x + 1)x ;

sin t

x = e

2

2

7)

t

6) y = ln y + x

+ y ;

y = e

cost

№ 9

1) y = (x4 + 5)e x

x

1) y = e x ;

3 x 4

- sin x + 5

x3

+ 9; 2) y = sin

× e

;

2) y = tg (x + y );

3

x = t + sin t

x2

; 4) y = arcsin(3

+ 1)-

x

3) y = ln

3

x

;

3)

y = 2

- cost.

1 - x2

1 - x

5) y = xln x ;

x = tgt

6)cos(xy + 1) = y 2 ;

7)

= sin 2t + 2cost

y

№ 10

× ln x + 8cos x - 3x + 2; 2) y = cos(e x

2

+3 x−2 );

1) y = 3 x

1) y = 5 x2 - 2;

3) y = ln(x2 )× sin(3x + 1); 4) y =

arctg

2)e x− y = x + y;

x

- 2sin x ;

x = ln cost

x

t

3)

5) y = x

−2 x

= cost + ln ctg

y = ln cos 2t.

;

x

6)3x + 3y = 3x+ y ;

7)

2

= sin t

y

№ 11

1) y = x ln2 x;

1) y = x4 arcsin x - 3 x + 2tgx = 2; 2) y = x2 × e−tgx ;

2)e x+ y = y;

2x

-

1

ln x

3) y = arccos

; 4) y =

- 43

x +1;

x = sin 3t

3

1 + x3

3)

x

y = cos2 3t.

1 - x

x =

1

2

5) y =

x

;

t

+1

7)

6) y 2 - x2 = arctg(xy );

3

y = 2t

18

№ 12

1) y = arccos(x3 );

1) y = 3x2 ln x +

sin x - 5

x6

+ 3; 2) y =10x lg x ;

3

3) y = x3arctg(ln x ); 4) y =

1 + 3x

+ 7ecos x ;

2)ln y = y + x;

3t

x = e

1 - x

.

2

3)

5) y = x

x

;

= t

3

- t cost

= 5t

2

x

y

7)

2

6) y -1 = 3x y + ln y;

y = t

- 2t

№ 13

1) y = (

- 2)tgx - log3 x +

2

- 3; 2) y = x7 × lg(cos x );

1) y = (x + 7)ln(x + 4)

x

2)arctgy = x + y;

x3

3

x = t + sin t

x

1 + e x

sin x

3) y =

arctg

; 4) y =

+ 7 ×10

;

1 - e

x

y = 2 + cost.

2

5) y =

(

)sin x−1

;

x = e−t

cos x

6) y ln y = 2x + 3 y;

7)

+ 12

y = t 5

№ 14

1) y = 9

×13x

+ 4sin x - ln x + 9; 2) y = x5 × ecos x ;

1) y = (2x -1)3 × 2x ;

x

1

1 + x

2

x

2)sin y = y

2

+ x

2

;

3) y = ln arcsin

; 4) y =

- 4tg

3

;

1 - x3

x = t 3 - 2

x

3

5) y = (ln x )x ;

x = t - sin t

3)

= arctg 2t.

7)

y

6)2x + y = 2x+ y ;

=1 - cost

y

№ 15

+

4

- 6; 2) y = ln2 (1 + sin x );

1) y = 5cos x ;

1) y = cos x × lg x + 79

x4

x2

2) y ln y - 3x =1;

4

× arctg(e

x

); 4) y =

1 -10

x

3

2

4

3) y = x

- 2

x

- 5;

3) x = t

- 2

1 + 10x

y = arcsint.

4 x−7

2

5) y = (arccos x )

;

7) x

=

t - t

6)e y × y = x;

y = arccos

t

№ 16

ln(x − 2)

1) y = e

x

sin x + 2x

12

- 4

5

x

8

+ 21; 2) y =

2

arcctg 4 x

;

1) y =

;

x - 2

3) y = x2 ln(x + cos x ); 4) y = 4

1 + 2x

+

2

;

4

+ y

4

= x

2

2

2)x

y

;

1 - 2x

3

x = sin t

5) y = xarctgx ;

x = cos2 t

7)

3)

6)arcsin y = x + y;

= cos 2t

y = arctgt.

y

19

№ 17

1) y = x6 arccos x - 5x

+ 4tgx; 2) y = tg

x

× e x 5

;

1) y = (1 + x2 )arctgx;

2)e xy = x + y + 1;

3

x2

-1

3

x = sin 3t + 3

3) y = arcsin

; 4) y = lg( x +

x +1)+

2

+ x ;

3)

x2

y = cos3t - 7.

5) y = (2 + tgx)x ;

x =

(sin t + cost )

t

6)tgy = y 2 - x;

7)

= t

(1 - sin 2t )

y

№ 18

1) y = x2 cos x +

x9 + 3; 2) y = x6 × ln(1 + 3x );

1) y = x ln(1 - x );

2 ln x -

1

1

; 4) y = sin8 (

)-

e x 3

2)x - y = e y ;

3) y =

arccos

1 - x2

;

x = sin 2t

3

1 + x3

x

3)

5) y = (x2

+ 1)cos x ;

=

1

y = t 3

+ 2.

x

t +1

6)xy + ln y + ln x = 0;

7)

= 4 t + 1

y

№ 19

1) y = x log5 x - 7ctgx + 9x

-

1) y = arcsin(x2 );

5; 2) y = x5 ln(x + x );

x

= 3arctge−2 x

+ 6

2)ln(x - y ) = y;

3) y = cos4

; 4) y

x2 - 5;

x = t 2

+ 1

1 - x

3)

5) y = x x ;

x = arcsint

y = tg 2t.

−

x

7)

1 - t

2

y

6)e

+ ln x =1;

y =

№ 20

1) y = (x +

)ctgx + e x - 34

1

1) y = (x3 + 2)e4 x+3 ;

x3

+ 6; 2) y = x4 ×10 x ;

2

2) cos(x + y ) = y;

3 (

)

arcsin x

tgx

x = arctgt

3) y = ln

sin x - x ; 4) y =

2

- 8e

;

3)

.

1 - x

y = ln(1 + t 2 )

5) y = (ctgx)ln x ;

x = et

+ 1

6)x arccos y = x

(

)

7) y =

t

y + 1 ;

t

20

№ 21

1) y = (2x -1)sin x + 5x

- 5

x6

+ 5; 2) y = e6 x ctg 3 x;

1) y = sin 2 3t;

6

2)x2 - y 2 = xy;

1 - x

3

x

3) y =

arccos

; 4) y =

4

+ 7 x ln x ;

x = arcsint

3

3

1 + x

3)

2

5) y = (3 - x2 ) ;

2

y =

1 - t

.

tgx

x = ln(1 + t

)

x

7)

2

6)

= arcsin(x + y );

= t

y

y

№ 22

+ 80; 2) y = 3x 2 −arctgx ;

1) y = cos3 2x;

1) y = x4 × 3x

+

ln x - 3

x9

2

3) y = x × sin 2 (cos3x ); 4) y =

ln 2x

2)xy = arctg

x

;

- 3 1 - e x ;

1 - x4

(

y

5) y =

(

arctgx

)x 2

x = 2t

2 )

;

7)

x = ln 1 + t

6) cos(x - 2 y ) = 3 y;

y = ln(t -1)

3)

1

y =

.

1 + t 2

№ 23

1) y = x arccos x - 6e x + 2x10 - 5; 2) y =x3 lg(tgx);

1) y = (x - 3)4− x ;

3) y = earcsin 3 x ; 4) y =

cos(2x - 3)

-

4

;

2)e x - e y = y - x;

x = arccost

x

x

sin x

3)

.

5) y = (ln x )

;

7) x = t cos3 t

y = ln(1 - t 2 )

x

6)xy = arctg

;

=

y

t sin3 t

y

№ 24

1 - x

2

1) y = arcsin e x ;

x

x

1) y =

+

7tgx -

3

+ 4; 2) y =

× sin 3x;

ln x

2

2)x2 + y 2 = xy;

3) y = ln(x - arctg 2 x); 4) y = x3

- 5x 2 +1 ;

x = cost

1 + x2

3)

5) y = xarccos x ;

x = t(sin 2t -1)

y = t - sin t.

6)xe2 y - ye2 x

= 0;

7)

y = arcsint -

t .