Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_TFKP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

871.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

ограничена на g r , а

z - z0

<1. Следовательно, последнее равенство

x - z0

можно почленно проинтегрировать на g r :

f (x )dx

f (z) =

ò å

(z - z0 )n = åcn (z - z0 )n ,

x - z

n+1

2ip g r

2ip g r n=0

(x - z0 )

n=0

где cn =

f (x )dx

(n = 0,1, 2,...). ■

2ip

ò (x - z

)n+1

g r

Ряд (5.3), коэффициенты которого определены формулами (5.4),

называется рядом Тейлора функции f (z)

с центром в точке z0 .

Теорема (единственность разложения в степенной ряд).

Если функция

f (z) в круге U =

{z,

z - z0

< R} представима как сумма

степенного

ряда

f (z)

= åcn (z - z0 )n ,

то

коэффициенты

этого ряда

n=0

однозначно определяются по формулам сn =

f (n) (z0 )

(n = 0,1, 2,...).

Доказательство следует из формулы (5.2).

Основные разложения:

(

< +¥);

ez = å

(5.5)

n=0

(-1)

n-1

2n-1

(

< +¥);

sin z = å

(5.6)

n=1

(2n -1)!

(-1)

(

< +¥);

cos z = å

(5.7)

n=0 (2n)!

2n-1

sh z = nå=1

(

< +¥);

(2n -1)!

(5.8)

(5.9)

(5.10) (здесь ln z

ch z = nå=0

(

< +¥);

(2n)!

ln(1+ z)

(-1)

n-1

(

< 1)

= å

n=1

– главная ветвь логарифма);

(1 + z)a = åCan zn (z < 1), Can

n=0

ìa(a -1)?

= ïí ï 1,

(a - n + 1), n =1,2,...

n = 0

(5.11) (здесь za – главная ветвь степенной функции); в частности,

= åzn (

< 1).

- z

n=0

(5.12)

Пример

5.3. Разложить

указанные

функции

ряд

Тейлора в

окрестности точки

z0 : a)

z 0 = 0;

z 0 = 0; c)

z 2 + 1

(1 - z)3

1 - z + z 2

z 0 = 0; d)

z -1

, z 0 = -1;

cos z ,

z 0

= p

; f)

ez ,

z0 = 3;

g) главная

2z 2 + 5z +

ветвь функции ln(z +

1 + z2 ),

z 0 = 0.

Решение.

a) Из формулы (5.12) для

<1 имеем:

= å(- z2 ) =

å(-1)n z2n .

- (- z 2 )

z 2 +1 1

n=0

b) Из теоремы о почленном дифференцировании степенных рядов и

формулы (5.12) имеем для

<1:

n-1

n-2

ån(n

-1)z

ç åz

ç ånz

(1 - z)

è1- z ø

è n=0

è n=1

2 n=2

c) Записав данную функцию в виде

z (z + 1)

z(z + 1)

(z + 1)(z 2 - z + 1)

1 - z + z 2

1 + z 3

и воспользовавшись формулой (5.12), для всех z < 1 имеем:

z(z + 1)	¥
	= z(z + 1)å(-1)n z3n = z(z + 1)(1 - z3 + z6 - z9 + ? + (-1)n z3n + ?	)=
1 + z 3
	n=0

= z + z 2 - z 4 - z 5 + z 7 + z 8 - z 10 - z 11 + ... + (-1)n z 3n +1 + (-1)n z 3n + 2 + ...

d)Воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов,

разложим функцию на простейшие дроби:

z -1

A(2z + 1)+ B(z + 2)

2z 2 + 5z + 2

(z + 2)(2z + 1)

z + 2

2z + 1

(z + 2)(2z + 1)

: 2A+ B = 1

A = 1,

z 0 :A+ 2B = -1

B = -1.

Получаем:

z -1

z +

2z +1

2z 2 + 5z + 2

Применяя к каждой из дробей формулу (5.12), получаем:

= å(-1)n (z + 1)n ,

z +1

< 1,

z + 2

- (- (z + 1))

n=0

1 .

2n (z + 1)n ,

= -

= - å

z +1

2z + 1

(z + 1)-1

1 - 2(z + 1)

n=0

Отсюда

z -1

= å(-1)n (z + 1)n + å2n (z + 1)n = å(2n + (-1)n )(z + 1)n

2z 2 + 5z + 2

n=0

для всех точек круга

z +1

e) Пользуясь тригонометрическими формулами, получаем:

cos z = cosææ z - p

+ p ö= cosæ z - p

öcosp - sinæ z - p ösin p

çç

èè

4 ø

p ö

p öù

ê cosç z -

÷ - sinç z -

÷ú .

4 ø

4 øû

Из разложений (5.6) и (5.7):

¥ (-

n æ

n-1æ

2n-1

p ö

ç z

(-1)

ç z -

= å

cosç z -

sinç z

(2n)!

(2n -1)!

4 ø

n=0

n=1

Окончательно имеем:

p ö2

p ö3

p ö4

2 ê

p ö

ç z

4 ÷

ç z - 4 ÷

cos z =

ê1 +

ç z -

+ ...

4 ø

ö2n-1

ö2n+2

ç z -

... + (-1)n-1

(-1)n

+ ...ú ,

z ÎC .

(2n + 2)!

(2n +1)!

f) Из разложения (5.5) имеем:

ez =e(z -3)+3 = e3 å(z

- 3)

, z ÎC .

n=0

g) Продифференцируем функцию ln(z + 1 + z2 ):

F(z) = (ln (z +	¢	=	1	é	+	z	ù	=	1	.
	1 + z2 ))		z + 1 + z2	×ê1		1 + z2	ú
				ë			û 1 + z2

Из формулы (5.11) имеем:

(1 + t)-1/ 2

Тогда

(1 + t)-1/ 2 = åC-k1/ 2tk (

<1),

k =0

k 1×3×? ×(2k -1)

(-1)

, k =1,2,...;

k! 2k

C-1/ 2

=í

, k =0.

1×3

×? × (2k -1)

(2k)!

=1+ å(-1)k

tk =

å(-1)k

tk .

22k (k!)2

k =1

k! 2k

k =0

(2k)!

(1 + z2 )-1/ 2 = å(-1)k

z2k

(

<1).

22k (k!)2

k =0

Проинтегрировав почленно последнее равенство, получим:

(2k)! z2k +1

ln(z +

1 + z

)= òF(t)dt = å(-1)

2k + 1

k =0

(k!)

где z < 1.

§5.3. Ряд Лорана

Теорема (о разложении в ряд Лорана).

Любую функцию f (z) , аналитическую в кольце V = {z,r < z - z0 < R}, 0 £ r < R £ ¥ , можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда

				¥
			f (z) = åcn (z - z0 )n ,
				n=-¥
				(5.13)
коэффициенты которого определяются по формулам
сn = ò			f (x )dx	(n = 0,±1,±2,...),

			n+1
	x - z0	= r (x - z0 )		(5.14)
	x - z0	= r (x - z0 )

где r < r < R .

Доказательство.

Фиксируем

точку

z ÎV

построим

кольцо

= {x : r

x - z0

, V

Ì V .

< R } такое, что z ÎV

По

интегральной

формуле

Коши,

f (z) =

f (x )dx

2ip

x - z

f (x )dx

¶V ¢

, где G

= {x :

x - z0

x -z0

2ip

x - z

2ip ò

x - z

= R }, g

= r

} –

G¢

g ¢

окружности, ориентированные против часовой стрелки.

При

любых

x ÎG

справедливы

соотношения

z - z0

< 1

x - z0

(z - z0 )n

(сходимость равномерная на G¢ по

x - z

z - z0

(x - z0 )n+1

n=0

(x - z0 )ç1

x - z0 ø

f (x )dx

(n = 0,1,2...).

x ), поэтому

åcn (z - z0 )n ,

cn =

2ip Gò¢ x - z

2ip Gò¢ (x - z0 )n+1

n=0

При

всех

x Îg

справедливы

соотношения

x - z0

< 1

z - z0

(x - z0 )n-1

= å

(сходимость

x - z

z - z0 - (x - z

0 )

x - z0

(z - z0 )n

n=1

(z - z0 )ç1-

z - z0 ø

f (x )dx

равномерная

на g

по

x ),

поэтому

- 2ip gò¢

x - z

= nå=1 (z - z0 )n

dn =

f (x )(x - z0 )n-1 dx

(n =1, 2...).

2ip

g ¢

последних

двух

формулах заменим

на

- n , получим

сn = d-n

f (x )(x - z0 )-n-1 dx

(n = -1, - 2,...).

2ip

g ¢

Таким

образом,

f (z) = åcn (z - z0 )n ,

где

ряд определяется как

n=-¥

объединение двух рядов (по положительным и неположительным степеням),

а окружности

G¢

g ¢

можно заменить (по интегральной теореме Коши)

любой окружностью

x - z0

= r , r < r < R . ■

Ряд (5.13), коэффициенты которого определяются по формулам (5.14),

называется рядом Лорана функции

f (z) в кольце V .

Выражение åcn (z - z0 )n называется правильной частью ряда Лорана,

-1

n=0

c-1

c-2

c-3

å cn (z - z0 )n

+ ...

– главной частью ряда

- z0

(z - z0 )2

(z - z0 )3

n=-¥

Лорана.

Замечание. Если

z0 = ¥ , то рядом Лорана в окрестности бесконечно

удаленной точки функции

f (z) называется ряд

f (z) =

åcn zn , при этом

n=-¥

(z) = c0

-1

-2

-3

+ ..., а главной

правильной его частью называется

(z) = c z + c

–

z2 + c

+ ....

По формуле Коши – Адамара,

= lim n

= lim n c-n .

n®¥

Теорема (о единственности разложения в ряд Лорана).

z - z0

Всякий сходящийся ряд по отрицательным и положительным степеням

является рядом Лорана своей суммы, т.е. если функция f (z) в кольце

V представима рядом вида (5.13), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (5.14).

Пример 5.4. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) =

z2 - 3z + 2

кольце:

a) V1 = {z : 0 <

< 1}; b) V2 = {z :1 <

< 2}; c) V3 = {z : 2 <

< ¥}.

Решение. Используя метод неопределенных коэффициентов,

представим

рациональную функцию

f (z) в виде суммы простых дробей:

f (z) =

z2 - 3z + 2

(z -1)(z - 2)

z - 2

z -1

Пользуясь формулой (5.12), получаем следующие разложения:

a) -

å zn

(сходится при

< 1),

z -1

- z

n=0

¥ æ z ön

= -

< 2 ), поэтому в

(сходится

при

z -

2 nå=0è

2 ø

кольце V1

f (z) = å

ç1

÷z

;

2n+1

n=0è

= -

¥ æ 1

ön

= -

-1

> 1),

(сходится

при

-1

1 ö

åè z

zç1 -

n=0

n=-¥

поэтому

кольце

(с

учетом

второго

разложения

a))

-1

æ z

ön

f (z) = - å z

;

n=-¥

2 n=0è

2 ön

-1

æ z

ön

åç

(сходится при

> 2), поэтому в

n=0

è z

2n=-¥

è 2

ç1-

-1

кольце V3 (с учетом первого разложения в b))

f (z) = å

-1÷z

n=-¥

è 2n+1

§5.4. Классификация изолированных особых точек

однозначного характера

Точка z0 Î

называется изолированной особой точкой функции

f (z) ,

если существует такая проколотая окрестность этой точки (т.е.

0 <

z - z0

< R

при конечной z0

или R <

< ¥ при z0 = ¥ ), в которой

f (z) аналитична.

В зависимости от поведения f (z) при приближении к такой точке различают три типа особых точек.

Изолированная особая точка z0 функции f (z) называется

а) устранимой точкой, если существует конечный предел lim f (z) = A;

z®z0

б) полюсом, если lim f (z) = ¥ ;

z®z0

в) существенно особой точкой, если lim f (z) не существует.

z®z0

Изолированные особые точки могут быть классифицированы по виду лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

Теорема (критерий устранимой точки).

Изолированная	особая точка z0 Î C функции		f (z) является
устранимой тогда и	только тогда, когда лорановское разложение			f (z)	в
			¥
окрестности точки z0	не содержит главной части, т.е.	f (z) = åcn (z - z0 )n .
			n=0
Теорема (критерий полюса).
Изолированная особая точка z0 Î C функции		f (z)	является полюсом
тогда и только тогда, когда главная часть лорановского разложения				f (z)	в

окрестности точки z0 содержит конечное число отличных от нуля членов,

				¥	(z - z0 )n .
т.е. f (z) = åcn					(z - z0 )n .
			n=-N
Порядок полюса z0						функции f (z)		равен кратности		нуля функции
j(z) =		1		в этой точке.		Из теоремы	о	критерии	полюса следует, что
j(z) =	f (z)			в этой точке.		Из теоремы	о	критерии	полюса следует, что
	f (z)
порядок		полюса			совпадает	с номером	N	старшего	члена	главной части

лорановского разложения функции в проколотой окрестности полюса.

Теорема (критерий существенно особой точки).

Изолированная особая точка z0 функции f (z) является существенно

особой тогда и только тогда, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z0 содержит бесконечно много отличных

от нуля членов, т.е. f (z) = åcn (z - z0 )n .

n=-¥

Эти критерии справедливы и для случая z0 = ¥ с учетом определения ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 5.5. Определить характер особых точек функций:

	sin z		1	1

a) f (z) =		; b) f (z) =		; c) f (z) = e z .
	z		(z - 2)n

Решение.

a) z = 0 – устранимая особая точка, так как lim

sin z

=1;

z®0

b) z = 2 – полюс порядка n , так как lim

= ¥ , а порядок нуля

(z -

2)n

z®2

функции (z - 2)n в точке z = 2 равен n ;

c) z = 0 – существенно особая точка, так как при стремлении z = x к 0

по действительной оси предел справа равен ¥ ,

а слева 0; при стремлении

вообще не имеет

z = iy

к 0 по мнимой оси функция e z = cos

- i sin

предела.

Пример 5.6. Найти полюсы функции f (z) и определить их кратности:

z ez

f ( z )=

; b) f (z)=

z4 - z3 - 3z2 + 5z - 2

z3 (1 - cos z)

Решение.

a) Запишем функцию f ( z ) в виде f ( z ) =

z ez

(z -1)3 (z + 2)

Точки z =1 и z = -2 являются полюсами, так как

	lim		z ez	= ¥ , lim		z ez			= ¥ .
						(z -1)3	(z + 2)
	z ®1 (z -1)3 (z + 2)				z ® -2
Точки	z = 1 и		z = -2 нули знаменателя, причем					z = 1– нуль третьего
порядка, а	z = -2	простой нуль.			Числитель в		этих		точках в нуль не

обращается, поэтому точки z = 1 и z = -2 будут соответственно полюсами 3-

го и 1-го порядка функции f ( z ) .

b) Нулями знаменателя будут точки z = 2p n, n Î Z . Разложим

знаменатель f (z) в ряд Тейлора в окрестности z = 0 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019275.97 Кб1Lektsia_7.doc
#
19.09.2019140.29 Кб1Lektsia_8.doc
#
09.06.2015584.79 Кб17lektsii_141_matan1.pdf
#
09.06.2015853.56 Кб110Lektsii_po_analiticheskoy_geometrii_Novikov.pdf
#
09.06.2015378.37 Кб7Lektsii_po_filosofii_2011.doc
#
29.03.2016871.98 Кб27Lektsii_TFKP.pdf
#
09.06.201521.62 Mб86leng_algebra.pdf
#
09.06.2015137.73 Кб63litologia.doc
#
09.06.2015599.6 Кб9Maciashek_978-5-94774-488-0_Glava1_cB488-0.pdf
#
07.09.2019978.43 Кб2MAKROEKONOMIKA_1.doc
#
09.06.2015524.95 Кб10MatAn1semestr.pdf