Lektsii_TFKP

Точки z = r , z = r1 – простые полюсы подынтегральной функции, причем

только один лежит в круге z <1. Если r <1, то в круге z <1 лежит

полюс z = r и

2p

dx

i

2p

= 2p i × res

=

.

ò0 1 - 2r cos x + r 2

r z2 - (1

+ r 2 )z + r

- r 2

z = r

1

Если

r

>1, то в круге

z

<1 лежит полюс z =

1

и

r

2p

dx

i

2p

= 2p i × res

=

.

ò0 1 - 2r cos x + r 2

r z2 - (1 + r 2 )z + r

z =

1

r 2 -1

r

b) Заменой переменных

x = cosj

сведем

исходный

интеграл к

следующему виду:

p

dj

1

2p

dj

ò

ò

=

.

a - cosj

2

a - cosj

0

0

Выполнив замену переменной z = eij и воспользовавшись формулой

(5.20), находим:

1	dx		1	2p	dj	1			dz		p
-ò1 (a - x) 1 - x2		=	2	ò0 a - cosj		= - i		z ò=1 z2 - 2a z + 1		=	a2 -1 .

ІІІ. Теорию вычетов можно использовать при вычислении несобственных интегралов по вещественной оси, если методы действительного анализа оказываются неэффективными.

1)Если функция f (z) – аналитическая в верхней полуплоскости за

исключением конечного числа особых точек zk , Im zk > 0 , k = 1, 2,..., n , непрерывная в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек, и

lim zf (z) = 0 , Im z ³ 0 , то

z®¥

¥	n
ò	f (x)dx = 2ip å res f (z) .
-¥	k=1 z=zk

Для нижней полуплоскости правую часть последней формулы нужно брать с минусом.

2)Если функция f (z) – аналитическая в верхней полуплоскости за

исключением конечного числа особых точек zk , Im zk > 0 , k = 1, 2,..., n , непрерывная в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек, и

lim f (z) = 0,		Im z ³ 0 , то
z®¥
				¥		n
					ò eimx f (x)dx = 2ip å res f (z)eimz , m					> 0.
				-¥		k=1 z=zk
Если, кроме того, функция						f (z) вещественна на действительной оси,
то
				¥		n	f (z)eimz ,
				ò f (x) cos mxdx = -2p Im å res							m > 0,
				-¥		k=1 z=zk
и
				¥		n	f (z)eimz ,
					ò f (x)sin mxdx = 2p Re å res					m > 0.
				-¥		k=1 z=zk
							¥		dx
Пример 5.10. Вычислить интегралы: a) I = ò											; b)
									n
							-¥ (x2		+1)
¥	cos		x
I = ò					dx .
	2			2
0	x	+ a

Решение.

a)В верхней полуплоскости находится единственный полюс

подынтегральной функции z = i порядка n . Найдем res f (z) по формуле

z=i

(5.17):

res f (z)=

1

æ

æ

z - i ön ö(n-1)

ç

ç

÷

÷

(n

2

z =i

-

ç

è z

+ 1ø

÷

1)!è

ø

=

- n(n + 1)?

(2n - 2)i

. Поэтому

(n -1)!×22n-1

1

¥

cos

x

b) I =

ò

dx = -p

2

2

2

-¥ x

+ a

=

1

((z + i)-n )(n-1)

=

z =i

(n -1)!

z =i

(2n - 2)!p

I =

.

((n -1)!)2 22n-2

Im res

eiz

= -p Im

e-a

=

p

.

2aea

z=ai z2 + a2

2ai

Глава 6. Преобразование Лапласа

§6.1. Функция-оригинал, изображение. Аналитичность изображения

Функцией-оригиналом называют любую комплекснозначную функцию действительного аргумента t f : R ® C , удовлетворяющую условиям:

1) f (t) непрерывна вместе со своими производными, кроме отдельных

точек разрыва первого рода, причем на каждом конечном интервале таких разрывов конечное число;

			2) для t < 0 f (t) º 0;
			3) существуют положительные константы M	и s такие, что
	f (t)		< Mest , при этом число a , являющееся нижней	гранью таких s ,
называют показателем роста функции f (t) .

Вприложениях t , как правило, это время, f (t) - функция,

описывающая физический процесс. С этой точки зрения безразлично, как протекал этот процесс до момента наблюдения (при t < 0), поэтому второе условие не ограничивает области приложения метода, рассматриваемого в этой главе.

Простейшей функцией-оригиналом является «единичная функция» (или функция Хевисайда):

ì	t ³ 0,
1,
h(t) = í	t < 0.
î0,
Функции h(t)sinwt , h(t)coswt , h(t)ewt	также являются оригиналами. В

дальнейшем множитель h(t) будем опускать и всегда под функциейоригиналом понимать функцию, домноженную на h(t) .

Изображением функции f (t) (по Лапласу) будем называть функцию

	¥
F(z) = ò f (t)e-tz dt , z ÎC .
	0
Соответствие f (t) ® F(z)	называется преобразованием		Лапласа
(функция f (t) преобразуется по Лапласу в функцию		F(z) ) и обозначается
F(z) =? f (t) либо f (t) =? F(z) , либо	F[ f ] (оригинал,	как правило,	строчной
буквой, изображение – соответствующей прописной).

Теорема (об аналитичности изображения).

Для

оригинала f (t) с

показателем роста s изображение F(z) –

аналитическая функция, определенная в полуплоскости Re z > s .

Доказательство.

Так

как z = x + iy , то

e-zt

=

e-xt

×

e-iyt

= e-xt ,

¥

¥

¥

M

¥

M

поэтому

ò f (t)e-tz dt

£ ò Mest

e-tz

dt = M òet(s-x)dt =

et(s-x)

=

.

s

- x

x - s

0

0

0

0

Следовательно, интеграл сходится при x > s , т.е функция F(z)

определена в

полуплоскости Re z > s .

¥

¥

¥

¥

ò[f

(t)e-tz ]z¢dt

=

ò f (t)te-tz dt

£ M òest

te-tz

dt = M òtet(s- x)dt =

0

0

0

0

é	te	t(s-x)			¥	¥	e	t(s-x)
= M ê						- ò
	s - x						s - x
ê
ë					0	0

	ù		M
	dtú	=		, следовательно,	F ¢(z)существует. ■
			(s - x)2
	ú
	û

§6.2. Формула обращения преобразования Лапласа. Единственность обращения

Теорема (формула обращения).

Если

f (t) – оригинал с показателем роста s ,

F(z) – его изображение,

1

a+i¥

то в точках непрерывности f (t) =

ò F(z)etz dz ,

где a Î R, a > s , интеграл

2ip

a

-i¥

понимается в смысле Коши.

1

a+ib

Доказательство.

Рассмотрим

fb (t) =

ò

F(z)etz dz =

2ip

a+ib é¥

ù

éa+ib

ù

a-ib

1

1

¥

=

ò êò

f (x )e- zx dx úetz dz

=

ò f (x )ê òetz -xz dzúdx =

2ip

2ip

ê

ú

0

ê

ú

a-ib ë0

û

ëa-ib

û

1

¥ f (x )

ez(t -x )

a+ib

1

¥ f (x )

[ea(t -x )eib(t -x ) - ea(t -x )e-ib(t -x ) ]dx =

=

ò

dx =

ò

2ip

t - x

2ip

t - x

0

z =a-ib

0

	eat ¥ f (x )			e-ax sin b(t - x )dx =
=		ò			(выполним	замену	u = (x - t)b )
	p		t - x
		0

=eat

p

=eat

p

=eat

p

æ u

ö

¥

f ç

+ t ÷

æ u

ö

ò

è b

ø

-aç b +t ÷

1

e

è

ø sin(-u)

du

u

b

-bt

- b

é æ u

ù

¥

ö

-aç

+t ÷

æ u

ö

ò

ê f ç

+ t ÷e è b

ø - f (t)e-at ú

ê è b

ø

ú

-bt

ë

ö

-aç

+t ÷

û

¥

é æ u

ù

æ u

ö

ò

ê f ç

+ t ÷e è b

ø - f (t)e-at ú

ê è b

ø

ú

-bt

ë

û

eat

¥

æ u

ö

æ u

ö

-aç

+t

÷

sin u

b

=

ò f ç

+ t ÷e

è

ø

du

=

p

-bt

è b

ø

u

sin u

e

at

¥

sin u

du +

ò f (t)e-at

du =

p

u

-bt

u

sin u

eat

¥

sin u

du +

f (t)e-at ò

du .

u

p

u

-bt

Так как

f (t)e-at

-

непрерывная

функция,

то можно показать, что

первое

слагаемое

бесконечно

мало

при

b ® ¥ ;

интеграл Эйлера

¥

sin u

подсчитывается

по

формуле

ò

du = p .

Значит,

u

a+i¥

-¥

1

lim fb

(t) =

ò F(z)etz dz = f (t) . ■

b®¥

2ip a-i¥

Теорема (единственность обращения).

Если два оригинала

f1(t) и

f2 (t)имеют одно и то же изображение

F(z) , то функции

f1(t)

и

f2 (t) совпадают во всех точках t , где обе функции

непрерывны.

Доказательство.

В точке t , где функции

f1(t) и

f2 (t)

непрерывны,

1

+¥

1

+¥

имеют место формулы

f1(t) =

ò

F(z)etz dz

и

f2 (t) =

ò

F(z)etz dz , а

2ip

2ip

значит, f1(t) = f2 (t). ■

-¥

-¥

Таким образом, оригинал определяется своим изображением с

точностью до значений в точках разрыва.

§6.3. Свойства преобразования Лапласа

1. Линейность: a f (t) + b g(t) =? a F(z) + b G(z) (следует из линейности

интеграла).

?

1

ç

÷

2. Теорема подобия:

f (a t) =

Fæ

z

ö .

a

èa ø

¥

f (at)e-zt dt =

¥

f (u)e-z

u

1

1

æ z

ö . ■

Доказательство. f (at) =

ò

a

du =

F

ç

? ò

a

a

÷

0

0

èa

ø

3. Дифференцирование оригинала: если f (n) (t)

является оригиналом,

то f

(n)

(t) =? z

n

F(z) - z

n-1

f (0)

- z

n-2

f

¢

- ... - f

(n-2)

(0) ,

в частности,

для

(0)

n = 1

f

¢

(t) =? zF(z) - f (0).

¥

¥

¥

Доказательство. f ¢(t) =? ò f ¢(t)e-zt dt = f (t)e-zt

+ ò f (t)ze-zt dt =

¥

0

0

0

-zt dt = zF(z) - f (0), т.е. для n = 1 формула доказана.

= - f (0) + zò f (t)e

0

n = 2

Для

¢

¢¢

= [f

¢

¢

2

F(z)

- zf (0) - f

¢

f (t)

(t)] =? z[zF(z) - f (0)]- f (0) = z

(0).

Далее по индукции. ■

4. Дифференцирование изображения: F (n) (z) =? (-1)n t n f (t) .

d æ

¥

ö

¥

-tz

ç

-tz ÷

Доказательство.

¢

ò f (t)e

dt ÷ = -ò f (t)te

dt =? -tf (t) .

F (z) = dz ç

è

0

ø

0

d

d æ

¥

ö

¥

F¢¢(z) =

F¢(z) = -

çç

ò f (t)te-tz dt

÷÷ =

ò f (t)t2e-tz dt =? t2 f (t) .

dz

dz

è

0

ø

0

Далее по индукции. ■

	t	F(z)
	5. Интегрирование оригинала: ò f (t)dt =?		.
	0	z

Доказательство. Очевидно, что если f (t) – оригинал, то

g(t)

f (t)

	t
	= ò f (t)dt		–	оригинал.				Поэтому
	0
	¢			t			F(z)
		= zG(z) = F(z) , значит, ò f (t)dt =?
	= g (t) =? zG(z) - g(0)					G(z) =			.■
								z
				0
				¥	f (t)
	6. Интегрирование		изображения:	ò F(z)dz =?		(если		интеграл
					t
				z

сходится).

¥

¥

é¥

ù

¥

é¥

ù

Доказательство.

ò

F(z)dz =

ò

ê

ò

ú

ò

êò

ú

ê

f (t)e-tz dtúdz =

f (t)ê

e-tz dzúdt =

z

z ë0

û

0

ë z

û

¥

æ

e

-tz

¥ ö

¥

e

-tz

f (t)

ç

÷

= ò

f (t)ç

-

÷dt = ò f (t)

dt =?

.

t

t

t

0

è

z=z ø

0

7. Теорема запаздывания: для l > 0 f (t - l) =? e-zl F(z) .

¥	¥
Доказательство. f (t - l) =? ò f (t - l)e-zt dt = ò f (u)e-z(u+l )du = (так
0	-l
¥	¥
как при t < 0 f (u) = 0 ) = ò f (u)e-zu e-zl du = e-zl ò f (u)e		-zu du = e-zl F(z) .
0	0

8. Теорема смещения: для l ÎC F(z - l) =? elt f (t).

¥

Доказательство. elt f (t) =? ò f (t)elt e-zt dt = F(z - l) .

0

§6.4. Примеры преобразований Лапласа

¥

-tz dt = -

e

-tz

¥

1

1.

1 =? ò1× e

=

, Re z > 0 .

z

z

0

t=0

¥

¥

1

1

1

2.

elt =? òelt e

-tz dt =

et(l-z)

= -

=

, Re z > Rel .

l - z

t=0

l - z

z - l

0

eilt

- e-ilt

1

é

1

1

ù

l

3.

sin lt =

=?

-

=

,

Re z >

Iml

.

ê

ú

2i

2i

z

2

+ l

2

ë z - il

z + il û

4.

coslt =

eilt + e-ilt

=?

1

é

1

+

1

ù

=

z

,

Re z >

Iml

.

ê

ú

2

2

z + il

z

2

+ l

2

ë z - il

û

5.

shlt =

elt - e-lt

=?

1 é

1

-

1

ù

=

l

, Re z >

Rel

.

ê

ú

2

- l

z

2

- l

2

2 ë z

z + l û

6.

chlt =

elt + e-lt

=?

1 é

1

+

1

ù

=

z

, Re z >

Rel

.

ê

ú

2

z

2

- l

2

2 ë z - l

z + l û

7. tn = (-1)n tn

1

== F (n)

é

1

ù

=

1

æ 1

ö(n)

=

ê

ú

ç

÷

(-1)n

?

(-1)n

ë(-1)n

û

è z

ø

= (-1)n (-1)(-2)(-3)...(-n)

1

=

n!

, Re z > 0 .

zn+1

zn+1

8.

t nelt = (-1)n t n

elt

= F (n)

é

elt ù

=

1

æ

1

ö(n) =

n!

,

ê

ú

ç

(-1)n

?

(-1)n

÷

(z - l)n+1

ë

(-1)n û

è z

- l ø

Re z > Rel .

t sin lt = -t

sin lt

=?

¢

æ

-

l

ö¢

=

2lz

9.

÷

,

-1

F

[- sin lt]= ç

z2 + l2

(z2 + l2 )2

è

ø

Re z >

Iml

.

coslt

¢

æ

z

ö¢

z2 - l2

10.

t coslt = -t

=?

-

÷

=

,

-1

F [- coslt]= ç

z2 + l2

(z2 + l2 )2

è

ø

Re z > Iml .

ebt - eat

¥

bt

at

¥

æ

1

1 ö

11.

=? òF[e

- e

]dz = ò

ç

-

÷dz

t

z

z

è z - b

z - a ø

= ln1 - ln

z - b

= ln

z - a

, Re z > max(Rea, Reb).

z - a

z - b

		z - b			¥
	=ln				=
		z - a
					z = z

sint

¥

¥

1

= p

12.

=? òF[sint]dz =ò

dz =arctg z

¥z = z

- arctg z = arcctg z ,

2

Re z >1.

t

z

z

z

+ 1

2

Преобразования

Лапласа

применяются

при

решении

дифференциальных уравнений, к расчету электрических контуров и в других областях.