Пособие по контрольным. Линейная алгебра

Если I3 = 0 , то линия является распадающейся.

Эллипс, гипербола и парабола, и только они, являются не распадающимися линиями второго порядка.

Возникает вопрос, как по общему уравнению (*) узнать, какую кривую это уравнение задает?

Ответ дает таблица:

	кривые	I2	> 0
		Кривая
	Центральные	эллиптического типа
		l1	и l2 одного
		знака

I2 < 0

Кривая

гиперболического

типа

l1 и l2 разных знаков

I2 = 0

Кривая

параболического

типа

Одно из l1 или l2 равно 0.

I3 ¹ 0

I1I3 < 0 , эллипс

x2

+

y2

=1,

a2

b2

a =

I

,

b =

I

.

3

3

I

2

l

1

I

l

2

2

I1I3 > 0 − мнимый эллипс

x2

+

y2

= -1, a и b

те же.

a2

b2

I3 = 0

Точка

в

этой

(пара

пересекающихся

точке

«мнимых» прямых)

I3 ¹ 0

Гипербола

x2

y2

= 1,

-

a2

b2

a =

I3

,

b =

I3

I

2

l

1

I

l

2

2

I3 = 0

Пара

пересекающихся

прямых.

Для

нахождения прямых

достаточно решить уравнение (*)

относительно

x

или

y , и

разложить

уравнение

на

I3 ¹ 0

множители.

Парабола

y2 = 2 px ,

p =

1

-

I3

I

I

1

1

I3 = 0

Пара параллельных прямых

(различных,

совпадающих,

«мнимых»)

Нахождение канонического уравнения кривой

21

1.Составим матрицу кривой и найдем инварианты кривой I1 , I2 , I3 .

2.Определим тип кривой по таблице.

3.Находим собственные числа из уравнения I2 - lE = 0 .

4.Находим каноническое уравнение кривой.

5.Строим в новой системе координат кривую.

ПРИМЕР 1. Найти каноническое уравнение кривой. Построить

кривую.
3х2 - 2ху + 3у2 + 2х - 4у +1 = 0
Решение.
Составим матрицу кривой:
æ	3	-1	1	ö
ç	-1	3	-2	÷	. Найдем инварианты кривой:	I1 = 3 + 3 = 6 ,
1. А = ç				÷
ç	1	-2	1	÷
è				ø

3 -1 1

3−1

I2

=

-1

3

= 9 -1 = 8

, I3 = -1 3 -2 = -3.

1

-2

1

2.

I2 > 0,Þ эллиптический тип; I3 ¹ 0 и I3 × I1 < 0,Þ эллипс.

3.

Найдем собственные числа :

I2

- lE

=

3 − λ −1

= ( 3 - l) 2

-12 = ( 2 - l) ( 4 - l) = 0,

-1

3 - l

т. е. l1 = 2, l2 = 4 (одного знака).

4.

Найдем каноническое уравнение кривой

( x ) 2

( y ) 2

( x) 2 +

( y) 2

+

-3

-3

, тогда

=1,

a =

=

3

, b =

=

3

=1

8× 2

4

8× 4

а2

b2

4 2

3 16 3 32

. По каноническому уравнению строим эллипс в канонической системе координат XOY

ПРИМЕР 2.

3х2 - 2ху + 3у2 + 2х - 4у + 2 = 0

Решение.

-1

æ

3

1

ö

3

−1

ç

-1 3

-2

÷

=

1. А = ç

÷

, I1 = 3 + 3 = 6 , I2

-1 3

= 9 -1 = 8, I3

=

A

= 5 .

ç

1

-2

2

÷

è

ø

2. I2 > 0,Þ кривая

эллиптического

типа,

т. к. I3 ¹ 0,Þ

I3 × I1 > 0,Þ

«мнимый эллипс».

3. Собственные числа такие же, как в предыдущей задаче.

22

Каноническое уравнение

( x ) 2

+

( y ) 2

= -1. Построить нельзя.

5 16

5 32

ПРИМЕР 3.

х2 + у2 + 2х +1= 0

Решение.

æ

1

0

1

ö

ç

0

1

0

÷

,

I1

=1+1 = 2 , I

2 =1, I3 = 0 .

1. А = ç

÷

ç

1

0

1

÷

è

ø

2.	I2 > 0,Þ			кривая		эллиптического		типа, I3 = 0,Þ точка (пара
пересекающихся «мнимых» прямых).
3.Найдем уравнения прямых из уравнения x2 + 2x + y2 +1= 0 , D = -4y2
ìx = −1+ yi
. í	- yi
îx = -1
Мнимые прямые пересекаются в действительной точке S(−1,0) , её и
строим.
Кривая распадающаяся, т.е. х2 + у2 + 2х +1= ( x +1- yi) ( x +1+ yi) .
ПРИМЕР 4.
х2 + 2ху - у2 - 6х + 4у - 3 = 0
Решение.				-3
	æ	1	1		ö		1	1
	ç	1	-1 2		÷	=1-1 = 0 , I2 =			= -2 , I3 = -1.
1. А = ç					÷ , I1		1 -1
	ç	-3	2	-3	÷
	è				ø

2.I2 < 0,Þ гиперболический тип; I3 ¹ 0,Þ гипербола.

3.Собственные числа кривой

	IЕ- l								=			1− λ				1						= (1- l) ( -1- l)									-1 = l2 - 2 = 0	;
		2											1			-1- l
	l1 =									, l2 = -										(разные знаки).
							2										2
4. Каноническое уравнение гиперболы.
	х	2			у		2	=1,					а =					-1							= 1 , b =				3 4		, a = b ≈ 0,6.
		-
																												1
	а2				b2													-2 ×								23 4		2
																						2
	(	x ) 2				-				( y )			2		=1.
1 23 2								1 23 2

ПРИМЕР 5.

х2 + 3ху + 2у2 + 2х + 5у - 3 = 0 Решение.

23

æ	1	3 2	1	ö				9		1
ç	3 2	2	5 2	÷	, I1	=1+ 2 = 3, I2	= 2 -		= -		, I3	= 0.
1. А = ç				÷				4		4
ç	1	5 2	-3	÷
è				ø

2.I2 < 0,Þ гиперболический тип, I3 = 0,Þ кривая распадается на пару пересекающихся прямых.

3.Найдем уравнения этих прямых

	х2 + (3у + 2)х + 2у2 + 5у - 3 = 0
D = (3yу+ 2)2 у- 4(2 2 +y5						- 3)y= 9 2 +y12 + 4y- 8 2 -y20 +y12 =				2 -y8 +16 = ( - 4)2
xу=	−3у − 2 + у − 4			= -	- 3, xу = -2		+1. Уравнения прямых:			ìx + y = −3,
										í
1	2					2
										î x + 2y =1.
Тогда х2 + (3у + 2)х + 2у2 + 5у - 3 = (x + y + 3)(x + 2y -1) = 0
	4. Построим эти прямые в исходной системе координат.
	ПРИМЕР 6.
	х2 - 2ху + у2 + 4х - 6у +1= 0
	Решение.		-1
	æ	1			2	ö		1 −1
	ç					÷
	1. А = ç	-1 1			-3	÷ , I1 = 2 , I2	=	-1 1	= 0, I3 = -1.
	ç	2	-3		1	÷
	è					ø

2.I2 = 0,Þ кривая параболического типа, I3 ¹ 0,Þ парабола.

3.Найдем собственные числа .

I2 - lE

=

1− λ −1

= (1- l) 2

-1 = -l( 2 - l) = 0 ,

-1

1- l

4 Каноническое уравнение параболы

2

1

æ

1

ö

1

y

= 2 px;

p =

2

-

ç -

2

÷

=

, тогда каноническое уравнение

8

è

ø

параболы ( y ) 2 =

x

;

2

ПРИМЕР 7.

х2 + 4ху + 4у2 - 2х - 4у - 3 = 0

Решение.

-1

æ

1

2

ö

ç

2

4

-2

÷

I1 = 5, I2

= 0, I3 = 0.

1. А = ç

÷.

ç

-1

-2

-3

÷

è

ø

24

2.I2 = 0,Þ параболический тип, I3 = 0,Þ пара прямых.

3.Найдем уравнения прямых

х2 + (4у - 2)х + 4у2 - 2х - 4у - 3 = 0 ;
D = (4yу- 2)2 -у 4(4 2 - 4y - 3) y=16 2 -16y		+ 4 y-16 2 +16 +12 =16
x = -1- 2y, xу = -2 + 3;
1	2
Тогда (x + 2y +1)(x + 2y − 3) = 0
	ìx + 2y +1 = 0,
Пара параллельных прямых: í		= 0.
	îx + 2y - 3

Тогда х2 + 4ху + 4у2 - 2х - 4у - 3 = 0 ,т.е.(x + 2y + 1)(x + 2y − 3) = 0 4. Построим параллельные прямые в исходной системе координат.

ПРИМЕР 8.
х2 + 4ху + 4у2 - 2х - 4у +1= 0 .
Решение.			-1
æ	1	2		ö
ç	2	4	-2	÷	,	I1	= 5, I2	= 0, I3 = 0.
1. А = ç				÷
ç	-1	-2	1	÷
è				ø

2.I2 = 0,Þ параболический тип, I3 = 0,Þ пара параллельных прямых.

3.Найдем уравнения прямых

х2 + (4y - 2)у + 4у2 - 4у +1= 0 ;

D = (4yу- 2)2 -у 4(4 2 - 4y +1) y=16 2 -16y + 4 y-16 2 +16 - 4 = 0 .

x1,2 = -2y +1.

Тогда (x + 2y -1)2 = 0.

Пара совпадающих прямых: x + 2y −1= 0 .

4. Построим их в исходной системе координат.

ПРИМЕР 9.

х2 + 4ху + 4у2 + 2х + 4у + 2 = 0 .
æ	1	2	1	ö
ç	2	4	2	÷	, I1	= 5, I2	= 0, I3	= 0.
1. А = ç				÷
ç	1	2	2	÷
è				ø

2.I2 = 0,Þ параболический тип, I3 = 0,Þ пара параллельных прямых.

3.Найдем уравнения прямых

х2 + (4х + 2)у + 4у2 + 4у + 2 = 0;

D = (4yу+ 2)2 -у 4(4 2 + 4y + 2) y=16 2 +16y + 4y-16 2 -16 - 8 = -4 ,

D = 2i

x1 = −4y +22 + 2i = -2y +1+ i, x2 = -2y +1- i;

25

Тогда (x + 2y −1− i)(x + 2y −1+ i) = 0 .
Пара параллельных «мнимых прямых»																		«пустое множество».
Построить нельзя.
ПРИМЕР 10.
ху + 2х − 4у − 8 = 0
	æ	0		1	2	1	ö
	ç						÷
1.	А = ç	1	2	0 -2			÷	,	I = 0	,	I		= - 1	4	,	I		= 0.
	ç			-2		-8	÷		1			2					3
	ç	1					÷
	è						ø

2.I2 < 0,Þ гиперболический тип, I3 = 0,Þ пара пересекающихся

прямых.

3.Уравнение не является квадратным ни относительно x , ни

относительно	y . Разложим уравнение на	линейные множители
x(y + 2) − 4(y + 2) = 0 , (y + 2)(x − 4) = 0 .
Уравнения	прямых: y = −2, x = 4. Строим	их в исходной системе
координат.

ПРИМЕР 11. Найти каноническое уравнение кривой: 5x2 + 6xy + 5y2 -16x -16y -16 = 0.

1) Найдем матрицу кривой

æ	5	3	-8	ö
ç	3	5	-8	÷
A = ç				÷ .
ç	-8	-8	-16	÷
è				ø

2) Найдем инварианты кривой:

I1 = a11 + a22				= 5 + 5 =10 , I2 =			a11	a12		=		5	3		= 25 - 9 = 16 > 0	,
							a21	a22				3	5
Þ кривая эллиптического типа.
		5	3	-8
I3 =		3	5	-8	= -8(2 ×14 +18× 2) = -512 ¹ 0
		-8	-8	-16

Т.к. I3 ¹ 0 , I1 × I3 < 0 , Þ эллипс. 3) Найдем собственные числа:

26

I2 - lE

= 0 , т.е.

5 - l

3

= 0 , (

5 - l) 2

- 9 = 0 ,

3

5 - l

( 5 - l - 3) ( 5 - l + 3)

= 0 , Þ λ1 = 2, λ2 = 8.

4) Найдем каноническое уравнение эллипса:

x2

y2

I

I

3

512

3

512

1

+

1

=1, a =

=

= 4

, b =

=

= 2

,

I

l

16

× 2

I

l

16

×8

a2

b2

2

2

1

2

т.е. x12 + y12 =1 - каноническое уравнение эллипса. 16 4

5) Строим эллипс в канонической системе координат.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.

ВАРИАНТ №1 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в

	æ	1+ i		2	ö
	тригонометрической и показательной форме ç		-		( 2 - i) ÷ .
		1- 2i		5
	è				ø

2.Вычислить по формулам Муавра (1+ i3)6 и 3-i .

3.Разложить многочлен x4 - x3 + x2 - 3x - 6 на неприводимые множители в R и на линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера.

4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:

7	6	-9	-4	4
-3	-5	4	-1	3
5	5	-3	1	-3	.
2	2	7	1	-1
3	3	-5	-2	2

ì	x - 3y + z = 9
ï
5. Доказать совместность системы í2x + 4y + 3z = -3 и найти решение:
ï	2x - y + 2z = 3
î

27

а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы. 6. Показать, что векторы а1(8;1;3;0) , а2 (5;-3;-1;2) , а3 (9;-6;5;-1),

а4 (1;-3;2;4)образуют базис. Найти разложение вектора b(17;-5;8;-1) в этом базисе. Сделать проверку.

7.Образует ли линейное пространство множество невырожденных матриц второго порядка?

8.Найти вектор Фробениуса матрицы

æ	2	1	0	ö
ç	1	2	0	÷
А = ç				÷.
ç	1	1	3	÷
è				ø

9. Исследовать по определению, являются ли векторы a(1;0;5) , b(3;2;7) ,

c(5;0;9) , d(-4;2;-12) линейно зависимыми?

10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений:

ì 2x1 + x2 - x3 - x4 - x5 = 0
ï		+ 2x3 - x4 - 2x5 = 0 .
íx1 - x2
ï	3x + 3x		2	- 4x - x = 0
î	1				3	4
11. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:
	F(x , x , x ) = x2					+ 4x x + 4x x + 4x x + 5x2 + 4x2 .
	1	2		3	1	1	2	1	3	2	3	2	3
											ìx = 2 - 2t			ì x + 2y - 3z = 0
											ï	y =1+ t	и			.
12. Найти расстояние между прямыми í														í	= 0
											ï	z = -3t		î3x + y - z + 5
											î

13.Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (2;−2;−3)

относительно плоскости x + y + 2 = 0 .

14.Найти расстояние от точки M (1;0;1) до плоскости x + 2y − z + 5 = 0 .

15.Найти каноническое уравнение кривой 8x2 + 6xy + 6x + 3y +1= 0 и

построить ее.

ВАРИАНТ №2

28

1.Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в

тригонометрической и показательной форме 2 - 2 3i ×i . 1+ i 3

2.Вычислить по формулам Муавра (-1- i)6 и 3-1+ i .

3.Разложить многочлен x4 - 2x3 + x2 - 8x -12 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.

4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:

3	2	-5	3	2
2	-1	7	2	-1
5	1	-3	5	-3
7	4	-9	6	4
-3	1	4	-3	3

ìх - 3y - 7z = -5
ï		и найти решение:
5. Доказать совместность системы í2x - 2y - 6z = 6
ï	2x - y + 5z =1
î

а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) методом обратной матрицы.

6.Показать, что векторы a1(0;0;2;9), a2 (-1;1;-4;-7) , a3 (5;-3;1;-2) , a4 (0;-5;3;4) образуют базис. Найти разложение вектора

b(11;-19;41;93) в этом базисе. Сделать проверку.

7.Образует ли линейное пространство множество векторов в R3 с иррациональными координатами?

8.Найти вектор Фробениуса матрицы

æ	4	2	0	ö
ç	2	4	0	÷
А = ç				÷.
ç	1	1	5	÷
è				ø

9.Исследовать по определению, являются ли векторы a(2;1;0), b(4;3;-3) , c(-6;5;7), d(-34;-5;26) линейно зависимыми?

29

10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений:

ì	8x1 - x2 - 3x3 - 2x4 - x5 = 0
ï	3x1 + 2x2 - 2x3 + 7x4 - 2x5 = 0 .
í

ïî12x1 -11x2 - x3 - 34x4 + 5x5 = 0

11.Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:

F(x1, x2 , x3 ) = -x12 - 2x1x2 - 6x1x3 + 8x2 x3 - 5x22 - 3x32 .

х

−

1

=

у

+

2

=

z

ìx - y + 3z + 5 = 0

12. Найти расстояние между прямыми

и í

2

1

2x - y + z -1

= 0

0

î

.

13. Найти точку M0 (x0; y0; z0 ) , симметричную точке M (0;2;1)

относительно прямой	х −1,5	=	у	=	z − 2	.
	2		-1
				1

14.Найти расстояние от точки M (1;1;1) до плоскости x − 2y + 3z − 5 = 0 .

15.Найти каноническое уравнение кривой x2 + 2xy + y2 - 5x - 5y + 4 = 0 и построить ее.

ВАРИАНТ №3 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в

æ	1- i ö20	+ i	18	.
тригонометрической и показательной форме i ×ç	÷
è	1+ i ø

2. Вычислить по формулам Муавра: ( -1+ i)	8			æ	1+ i ö
		,	3 ç				÷ .
					2
			è				ø

3.Разложить многочлен x4 + 3x3 + 5x2 + 9x + 6 на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.

4.Вычислить, пользуясь свойствами определителей:

30