12.2.3 Типовые задания для самопроверки

1. Оператор , заданный на пространстве функций, квадратично интегрируемых по модулю на отрезке [0,1], задан соотношением

.

Найдите оператор ⁺.

2. Оператор , заданный на пространстве функций, квадратично интегрируемых по модулю на отрезке [0,1], задан соотношением

.

Найдите собственные значения этого оператора и его нормированные собственные функции.

3. Какова вероятность обнаружить квантовую систему, описывающуюся ненормированной волновой функцией , в состоянии с также ненормированной волновой функцией.

4. В гильбертовом пространстве вещественных функций, квадратично интегрируемых на отрезке [0,1], постройте первые три элемента ортонормированного базиса, находя излинейно независимых элементов .

5. Пусть - линейный оператор в гильбертовом пространстве, причем обратный оператор^-1 существует. Докажите, что операторы и^-1 имеют одинаковые собственные значения.

6. Найдите собственные значения и собственные функции оператора ортогонального проектирования , ()

7. Пусть иортогональные проекторы, причем=. При каких

оператор ++также является ортогональным проектором?

8. Оператор - унитарный. В каком случае оператор(- некоторое число) также является унитарным?

9. Оператор:, где функцииx(t) и y(t) являются квадратично интегрируемыми по модулю на отрезке [a,b], определен соотношением

.

Как выглядит оператор ⁺? В каких случаях оператор - эрмитов?

9. Эрмитов оператор удовлетворяет соотношению²=с,

где с - вещественный параметр. Каковы собственные значения такого

оператора?

9. Пусть - Эрмитов оператор,- произвольное комплексное число с

Im 0. Докажите существование оператора, обратного к оператору

.

9. Квантовая система может находиться в двух состояниях ₀ и ₁, которые

ортогональны друг другу и нормированы на 1. Оператор задан соотношением

₀= 5₀ +12i ₁

₁= -12i ₀ - 5 ₁

Чему равны собственные функции и собственные значения этого оператора?

12.3. Краткий терминологический словарь

Линейные (векторные) пространства, базисы в линейных пространствах,

нормированные пространства, норма элемента линейного пространства, скалярное произведение, гильбертовы пространства, пространство L², базисы в гильбертовых пространствах, разложение Фурье, коэффициенты Фурье, равенство Парсеваля, полиномы Эрмита, Лежандра, Лягерра, линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса-Фреше, обобщенные функции, пространство основных функций, сингулярные и регулярные обобщенные функции, функция Дирака, линейные операторы в гильбертовых пространствах, непрерывные и ограниченные операторы, норма оператора, сопряженные операторы, эрмитовы и самосопряженные операторы, унитарные и проекционные операторы, функции от операторов, унитарная экспонента, самосопряженный лапласиан в Rⁿ, собственные значения и собственные функции эрмитова (самосопряженного) оператора, обобщенные собственные значения и обобщенные собственные функции, спектр оператора, резольвента, операторы Шредингера.

3