1.2. Краевые условия

Уравнению (3) удовлетворяет всякое свободное колебание, независимо от своего происхождения и от способов закрепления концов струны. Однако, совершенно ясно, что если мы выведем струну из положения равновесия и предоставим самой себе, то характер ее колебаний будет один, а если, выведя из состояния равновесия, придадим ее точкам те или иные скорости – другой. Кроме того, различные способы закрепления концов струны приводят к различным перемещениям точек струны. А тогда понятно, что для определения перемещений точек струны необходимо задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени , т.е. ту форму, которую струна приобретает при выводе ее из положения равновесия,

(4)

и те скорости, которые сообщаются точкам струны в начальный момент

. (5)

В частном случае может оказаться, что в начальный момент времени струна не имеет отклонения от равновесного состояния () или точки струны не получают начальных скоростей ().

Кроме того, необходимо задать граничные условия задачи, т.е. описать характер поведения концов струны в процессе ее колебаний. Здесь ог-

раничимся случаем, когда концы струны закреплены неподвижно:

. (6)

Граничные и начальные условия называются краевыми условиями.

1.3. Метод разделения переменных

Рассмотрим решение уравнения (3) методом разделения переменных, который также называется методом Фурье. Знаменитый французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) опубликовал в 1822 году работу «Аналитическая теория тепла», в которой широко использовал этот метод. Существенным для этого метода является использование рядов Фурье. Рассмотрим метод Фурье на решении краевой задачи для уравнения колебания струны (3) – (6).

Само по себе уравнение (3), взятое отдельно от краевых условий (4) – (6) имеет много разнообразных решений, среди которых имеется и так называемое тривиальное (очевидное) решение тождественно равное нулю. Однако тривиальное решение может иметь место лишь в случае, когда отсутствуют начальные воздействия (и). Во всех остальных случаях тривиальное решение невозможно.

Будем искать нетривиальное решение краевой задачи (3) – (6) в виде произведения двух функций , зависящей от переменной, и, зависящей от переменной. Т.е.. Подставляя решение в таком виде в уравнение (3), получимили

Выражение, стоящее в левой части этого соотношения, не зависит от x, а выражение, стоящее в правой части не зависит отt, а тогда ни левая, ни правая части не зависят ни отx, ни отt, т. е. являются константой. Предположим, что эта константа отрицательна и обозначим ее через: