Интервальный вариационный ряд.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный (вариационный) ряд распределения. Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых- частичные интервалы, высоты равны отношению частоты к длине частичного интервала( плотность частоты) (частости к длине частичного интервала (плотность частости)).Гистограмма частостей имеет вид:

Выборочные аналоги интегральной и дифференциальной функций распределения

4.1. Эмпирическая функция распределения.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:

mx- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна. mx/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х < х, т. е. эмпирическая функция стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):

1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];

2) неубывающая;

3) если хi -наименьшая варианта, то

если x k - наибольшая варианта, то

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

3/ 4.2. Выборочная дифференциальная функция.

Выборочным аналогом дифференциальной функции f(x) является функция

, где

есть частость попадания наблюдаемых значений СВХ в интервал [x, x + Dx), следовательно,

характеризует плотность частости на этом интервале.

- частость попадания наблюдаемых значений СВХ в частичный интервал , длина которого h, тогда выборочная дифференциальная функция

.

При х £ хнач и х ³ хкон

При построении графика выборочной функции плотности в качестве х принимают середину каждого частичного интервала. Удобно совмещать на одной координатной плоскости гистограмму частостей с графиком выборочной плотности.

Для рассматриваемого примера гистограмма частостей и график выборочной плотности имеют вид:

4/

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

КОРРЕЛЯЦИЯ [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин, X и Y, безразлично, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением (ложной К.).

Выборочный коэффициент асимметрии определяется формулой:

где

— выборочный центральный момент k-го порядка;

— несмещённая оценка центрального момента второго порядка;

— несмещённая оценка центрального момента третьего порядка.