осями. Последние определяются как циклические точечные группы, содержащие повороты с отражением в плоскости. При таком подходе мы пользуемся двумя типами элементов симметрии: по-

воротными осями, которые, по Шенфлису, обозначаются С

зеркально-поворотными осями, обозначаемыми S . Так, зеркаль-

?но-поворотная ось 5 n

ты, включает в себя операции Ss

S^ = e. Но соответствующую точечную группу обычно обозначают не S3, a C3h (см. раздел 1.5).

2.5. ИЗОМОРФИЗМ И СОПОДЧИНЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП

В табл. 4 дан полный перечень групп низшей и средней категории вплоть до групп 24-го порядка (в каждой строке выписаны группы, имеющие одинаковый порядок); перечислены также точечные группы высшей категории (кроме предельных групп с осями оо). С помощью этой таблицы удобно рассмотреть изоморфизм точечных групп. Изоморфные группы объединены в ней

рамками.

Прия	нечетком имеется только одна				точечная группа япо-го -
рядка.	При я = 4/-{-2		таких групп	насчитывается		пять,	причем
группы	видая ,	(я/2)и я	изоморфны;	изоморфны		также	группы
вида (я/2) 2 и		(я/2) яг. Следовательно, есть только две абстрактно
различные группыс			порядкомя =4 +/2 .		Исключение составляют

группы второго порядка: таких групп только три, и все они изо-

морфны

(группы2и 1

2 тождественно

равны группамт и

2

соот-

ветственно).

имеется

семь точечных

группс

одинаковым поряд-

Пр

и

=я

41

ком,

причем

изоморфны

группы

видаяи

я а

,

также

группы

(я/2)22,

(я/2)mmи

(/г/2)2т (или(я/2)яг2). Еслия

кратно восьми

(я = 8р),

то в соответствующей строке насчитывается четыре абст-

рактно

различные

группы. Еслиж

пе =

8р-т\-4,

о

группы

вида

(я/4) mm

оказываются

изоморфными

группам

(я/2) 22 и

строка

содержит

толькотр и

абстрактно различные

группы. Исключение

представляют группы четвертого порядка: их всего

пять,

и они

относятся к двум абстрактно различным группам

(группы

1т

и

2т2 равны соответственно группам 2/т и 2mm).

И з

групп

высшей

категории

изоморфныдв —е

группы43

т

и 432.

задачах,

связанных

симметрией,

оказываетсяне

-

Во

многих

обходимым

найти подгруппы той

или

иной

группы.

При

этом

удобно

использовать табл4.и

теорему

Лагранжа

(см. предыду

щий раздел) .

точечную

группу Si

подчиненной

группе

S^,

Будем

называть

если SidSn, т. е. группа St является

подгруппой

52-

На

основе

этого определения можно составить схему соподчинения точечных

групп.

Фрагмент такой

схемы

показанн а

рис.

2.5В.1.

качестве

78

Низшая			средняя		категории
Семейство				Семейство
вращающего-			вращающегося
ся		гонуса		цилиндра
	СП		Т		(V
2	1
	1	'	|4|		21т
	i	6	J		3	\
8	1		Ъ	\	\ 4//Т7	\
	\10		5		W	\
	\12		77	|	\6/т \
	|/«		7		/4 |

Точечные группы				Т а б л и ц а 4
Семейство		Семейство		Семействе
скрученного		неподвижного		неподвижного
цилиндра		конуса		цилиндра
	(12\	I т
	222	2/77/77		(7т 2)	(Тт)	\
\	3^	J/77	j
\	422	4 тт		42 \т	1/77/77/77|
52 I		5т|
\	622	6 mm		6т2	Зт	\
\	^	7т	|

СЮ
к	\IF	\8/m			\	822	8шт	~82т\\		4/'/77/77/77|
18I	J	18 \		92	\		9т	\
\20	ТО \	\ Ю/т	\	\		10 22	Ютт	5т 10т	2	,
\22	77	22 \		\		11 2	11т	\
ГГП
\2t	24 \	\ П/т	12\	\		22	т12 т	72	7/7?	| Ыттт
высшая	категория
Iруппо	сш	t^u		[	4J/77 ЛЛ О			1 "'• ЗтШ \		!Ж]
Порядок	П	2*+			2^	24		4<У ^		/2<?

примера здесь рассмотрены подгруппы группы 6/mmm, порядок которой равен 24. Эта группа имеет пять подгрупп 12-го порядке и единственную подгруппу 8-го порядка. Эти группы, подчиненные

группе 6/mra/n, в свою очередь, содержат подгруппы б-го и 4-го по-

рядковит д .Н . а рис. 2.5.1 выписаны подгруппы точечных групп

и 6/т	ттт\этразумеется,	и		подгруппы явл
пами исходной группы 6/mmm. Некоторые ветви продолжены до
группы	1, которая в качестве тривиальной		подгруппы		входит в
любую	точечную группу. Остальные	ветви	во	избежание	загро-
мождения рисунка оборваны, что отмечено			многоточиями.

Группы

—— --/IV———;
-_ —-т2	I	Т-----2
/ _ _ _ _ _ /		/ 1—	i	i
				— — —— 7
Рис. 2.5.1. Примеры соподчинения точечных групп
Представляетещ е интерес выяснить, какие з точечных групп

являются абелевыми.
Очевидно, что разные степени поворотов /г1 и п^ коммутируют.
nknl = nlnk = nh+l	и niknil = nilnik =riih+l. Это означает, что группы п
и п абелевы.
Справедливо также более общее утверждение: если повороты,
содержащиесяв	любых двух операциях sи4	$2, совершаютсяво -

круг одной и той же оси, то операции s4 и s2 коммутируют. Действительно, нетрудно убедиться,чт о

Это означает,чт о абелевыми являются также группы вида п/т,

гд пе — четное,и з семейства вращающегося цилиндра.

К числу абелевых относятся также группы 222, mm2и ттт:

ортогональное расположение элементов симметрии этих групп приводит к тому, что все содержащиеся в них операции коммутируют (см., например, рис. 2.3.1).

80

Как будет видно из дальнейшего, группы, входящие в семейства неподвижного конуса, скрученного и неподвижного цилиндра, неабелевы, если порядок главной оси /г>3. Неабелевы также все группы высшей категории.

2.6. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП

В	группе G элемент gi	называется сопряженным с элемен-
омт g"2,	если найдется элемент	группых такой,ч о xgiX~=i	g%.
Нетрудно доказать следующие утверждения:

1)всякий элемент группы сопряжен с самим собой,

2)если gi сопряжен с g2, то g2 сопряжен с gi,

3)если gi сопряжен с g"2, то gi~ сопряжен с gy ,

4) если g"i сопряжен с g2 и g2 сопряженl с g3, 1то gi сопряжен

с з-

Последнее позволяет разбить группуG н а классы взаимно со-

пряженных элементов. Отметим, что класс элементов, сопряжен-

ных с е, содержит лишь е, так	как хех-^ =е. В абелевой		группе
каждый класс содержитп о одному элементу,та ка		к	xgxr^ =
= gxx~l=ge = g. Следовательно,	задача разбиения	группы на

классы сопряженных элементов нетривиальна только для неабе-

левых групп. Эта задача имеет большое					значение	для	теории
представлений			групп, основы	которой	изложеныв		разделах
2.7	и 2.8.	на	классы сопряженных элементов группу				враще-
ний	Разобьем
	оооотЭ. а	группа включаетв		себя всевозможные		повороты

Ck (а), которые производятся на угол а вокруг направлений, определяемых единичным вектором k. Найдем все повороты

Ckj (oti),		сопряженные	с произвольным		фиксированным			враще-
нием	Ck	(ос)Дл . я краткости примем обозначения				Ck1	(°t1)==C1		и
Ck(a) = C. Согласно определению				сопряженных		элементов			С\ =
= gCg~гдi, gе—		некоторый	элемент группы		вращений. Отсюда
C{g = gCВ.		результате	поворотаС	векторг	переходитв		вектор
г', равный Сг (рис. 2.6.1). Будем				считать,чт о векторыи г				лег' -
жав т	горизонтальной		плоскости.

Врезультате последующего пово-

ротаg			вектор		г' преобразуетсяв
вектор г", вообще говоря, уже не
лежащий в горизонтальной плоско-
сти		(r"=gr' = gCr).					Пусть	конец
вектора г" находится на высоте г.
Согласно				равенству		C\g = gC			век-
то р	г"		можно получить иным					спо( -		чх
собом			— путем		последовательного
осуществления поворотов g и С\.
При		этом		сначала		получается			век-	рис 26 1	разбиению группы
то р	",	равный gr,			конец		которого		вращенийн а классы		сопряженных
находится				на высоте			z, а затем —				элементов

81

вектор г",

причем r"= Cir'"= Cigr. Из

рис. 2.6.1 видно,

что

Ci —

тэо

поворотн а

угола

вокругсо

и

g"k,те . .

а\= а.и2

ki=gkоП.

-

элементовсо

-

следнее

означает,чт

о

каждый

класс

сопряженных

стоит из поворотов на один и тот же угол вокруг всевозможных

осей.

при

разбиении

на

Этот результат послужит для нас основой

классы

сопряженных элементов

точечных

групп

конечногоп

-

рядка. Здесь, однако, нужно будет учесть одно

важное

обстоя-

тельство: в группе вращений все направления, определяемые век-

торами

k,

симметрически

эквивалентны;

в

подгруппах

группы

ооооэт

но

е

так. Поэтому сопряженными окажутсявс

те

ие

тольк

те

симметрические

поворотын

а

угола

,

которые

совершаютсяво

-

круг симметрически эквивалентных направлений. Иными словами,

Ck (ос) и С^(а)

сопряжены,

если

в группе

содержится

симметри-

ческая операция s, которая преобразует

k

в

k4

и

само

движение

Ck (а)

в Ckx (a )-

Так, в группах

вида

п2

и п22

сопряженными

яв-

ляются ия1

/г*1, ип2

п~и

2

т .д.

,

поскольку

любаяи

з

побочных

осей2

преобразует

положительное

направлениеос

ви

отрица-

тельное,

причем

поворотн

а

угола

превращается

поворотн

а

угол —а.

В

группахгдп2,

е— п

нечетное,вс

осе

и2

эквивалентны. Поэтому

груп

п—\

п+\

разбивается на следующие классы:

1; п1, пп~\ п2, я"~2; ...;

п

2~~ ,

п~~2

;

2(i),

2(2), ..., 2(

П).

Всего

имеется——

п — 1

классов.

Например,

группа3

2

содержит

— +2

тр и

класса:1

;

ЗЗ1,

2; 2

(i), 2(2), 2(3).

В группах я22, где п — четное, присутствуют две системы побочных осей 2.

Классы

сопряженных

элементов таковы.

1; я1, лп ~4

; п2, лп ~2 ; ...;/гп/2;

2(i),

2(з>,...

..., 2(П-п;

2(2), 2(4), ...,2(П). Всего

имеется я——3+

класса. Например,

группа62

2

содержит

шесть классов: 1; б1,

б5,

б2,

б4; б3;

2(i>,

2(3),

2(5>; 2(2), 2(4),

2(6)

Подобно

томука эт к

о

было

сделанодл

я

группы

вращений,

оо

можно показать,чт во полной ортогональной группе——сю,co - rn

держащей всевозможные поворотыи поворотыс инверсией, совокупность всех поворотовн а одинто жт е угол представляет собой класс и совокупность всех инверсионных поворотов на одинаковый угол является классом.

Переходя	к неабелевым подгруппам группы ——оо, нужно до-
полнить это	т
	правило требованием эквивалентности направлений,

относительно которых совершаются повороты и повороты с инвер-

сией. Как	и в подгруппах группы вращений,		Ck (а) и С^(а), а так-
ж е Sk(a)и	Skj (ос) будут сопряжены,	если	некоторая операцияs ,
входящая	группу, преобразует однои	з этих движений другое.

Группы вида пт, (п/2)т и птт, а также п2т и пт2 изоморфны соответствующим группам п2 и п22 (см. табл. 4). Поэтому здесь разбиение на классы будет вполне аналогичным с той

82

лишь разницей, что повороты вокруг главной оси полностью или частично заменяются на повороты с инверсией, а повороты вокруг

побочных осей2 полностьюил и частично заменяются а отраже-

ния в вертикальных плоскостях симметрии.

Из групп низшей и средней категории нам осталось разбить па классы сопряженных элементов группы вида п/ттт, где п — четное число, причем л>4.

п	класса точно совпадают	классами групп л22, явля-
И з этих классов -+р-3

ющихся

подгруппами групп

п/ттт.

Остальные

классыдл

я

группсл

= 4/ + 2

п

п

т~2

т+2

таковы:

1г-;

/г*1,

nin~i\ л*3, Ягп ~3 ;,

...п ; .

; nL

т±,

(л/2) Л

(л/2)/"-1 ;

..., л?

лг(1), т(3), ..., т(я-1);

лг(2),

ш(4), .

на

двенадцать

классов;

шесть

из

них

. Всегов

ется

уже были приведены (для группы 622);

остальные классы:

1/; 6Д 6г-5;

mj;

ЗД

Зг5;

m<i),

лг(3), лг(5);

лг(2), лг(4), т(6).

Дл я

группс

п = 41 классы,н е

входящиев группы л22, таковы,

1*; лД л;'1"1;

группах— —Зл7-f

m(i), лг(3),

..., m( n -i); лг(2),

т(4). , . ,

/и(П).

Всегов

этих

классов. Так, группа 4/т/пт

содержит следую-

щие классы: 1; 41, 43; 42; 2(i), 2(з>; 2(2), 2(4>; Ь; 4Д 4г-3, mj/, m(i), m(3); m(2), m(4)^

Теперь обратимся к группам высшей категории. В группах 23 и шЗ отсутствуют элементы симметрии, связывающие концы пря-

мых, по которым проходят оси 3; иными словами, эти оси поляр-

ны. Поэтому повороты

Зи З (

а также поворотыс

инверсией

<V

и 3?в

группе тЗ),

совершаемые

вокруг

однойи то жй

е

оси,

здесь не сопряжены. Вместе с тем все четыре оси 3, а также три

координатных

направления

симметрически

эквивалентныВ.ре

-

зультатедл

я

группы2

3

получаем

следующее

разбиение

а

клас-

сы: 1; oVi-^; 3

(1_'1};

2(i_3). Здесь и ниже

запись З ^)

обозначает

четыре поворота З

вокруг эквивалентных осей3 , запись 2(i_—3 )

три

поворота

вокруг эквивалентных

осей2и т п .В .

случае груп-

пы тЗ,

содержащей группу 23 в качестве подгруппы, к этим клас-

са м

добавляются

следующие

классы: h;

(3i1)(i_4);

(3i5)(i-4h

/Я(1-3).

432

и m3m

перпендикулярно

осям 3

и 4 распо-

В группах

лагаютсяос

2и .

Поэтомудл

я каждойос 3и 4 ,

, Зг-,

4;

повороты

З1

и З2, 41 и 4°, З;1

и З;5, 4^ и 4г3 сопряжены. Кроме того, симметрически

эквивалентны здесьн е только направления осей3и

координатные

направления, но и шесть направлений, соответствующих диагона-

лям

координатных

плоскостей. Это

приводит к следующему

раз-

биению группы43

н 2

а

классы:1

; З1^-/^,

32

(i-/,); 4

1(i_3), 4:J(i_3);

42(1-зь 2(i_6)В .

группе

m3m,

содержащей43 в2

качестве

подгруп-

пы к ,

этим

классам

добавляются

классы:

1*;

(Зг1)^-!),

(3i

5)(t-4);

(4гл)(1_

3),

(4/3)(1_3)

;

/п(1.3);

Щь-ъ).

Группа 43т

;

изоморфна

группе43

и2

разбиваетсян

а

аналогичные

классы:1

З1^-^, 32(i_4),

(4г1)(1-з), (4г3)(1-3); (4i2)(i_3); m(1_6).

83

В группе2 5

направления

осей5и

3 н

е

являются

полярными,

поэтому для

каждой

из этих

осей

сопряжены

соответствующие

.повороты:

51

и

5'*, 52

и 53, З1

и З2.

Симметрически

эквивалентны

здесь направления

шести осей5

,

десяти осей3 а,

также пятнадца-

ти осей2В.

результате группа2

5

разбиваетсян

а

классы следую-

щим образом:

1; S^I-G), 54(i_6)

; 52(i-6), 53

(i_6);

3 l

( i _ io b

32

( i_i0 ); 2( i_i

5 ) .

Группа m5 содержит 25 в качестве подгруппы. Поэтому для нее

сохраняются же

е

классыи

добавляются

классы,

содержащие

.повороты

с

инверсией:

1/;

(5г1)(1-6), (5;9)(i-6);

(5г-3)(1_6), (5г7)(1-6);

2.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

И ХАРАКТЕРОВ

Понятие

«представления

группы», которое вводится

настоя-

щем разделе,

тесно

связано

с

понятием

линейного

оператора.

Поэтому для удобства читателя ниже дана краткая сводка основ-

ных сведений о линейных операторах.

Пусть известно правило, о

которому

каждому векторуг

данного простран-

ства М ставится

соответствие вектор г', также относящийсяк

пространству М.

Тогда говорят,чт

ов

пространствеМ

задан операторА

, преобразующийгв

г'.

Последнее записываютв виде равенства г'=Лг.

Оператор А называется линейным, если выполняются следующие условия:

где А, — постоянный множитель.

Примером линейного оператора является оператор дифференцирования, так как

д		dyi д	ду2		ду
дх	1	дх	дх	дх	дх

Тригонометрические функции относятся к числу нелинейных операторов, посколь-

ку, например, sm(x+y)= sinx+sm y\ sin kx=^k sin x. Нетрудно показать, что все

симметрические преобразования — линейные операторы. Один из простейших л ;

нейных

операторов—

умножение

а

числот

.

Линейность

этого операторапо

д

тверждается

равенствами т(х+у)=тх+туи

m(kx)=kmx.

Совокупность единичных векторов а/, где i=l, 2, ... я, представляет собой

базис /г-мерного пространства,

обозначаемый {аг-}. В

этом базисе

произвольный

вектор записываетсяв

виде г =

"V r/aгд/t

е r—t

коэффициенты разложенияПо. -

кажем,чт

о

действие

всякого

линейного

оператора

сводитсяк

переходуист

-

ходного

базиса

{аг}к

некоторому

новому

базису

{а/}. Действительно,

г' = Аг =

Отсюда

видно,

что вектор

г'

имеет

те же

компоненты, что и вектор г, но не

в базисе {ааг-},в

некотором

новом базисе

{Лаг} = {а/}.

системы координат

Ка

к

было

показанов

разделе

2.2, переход

т

одной

другой

можно

осуществить

помощью

квадратной

матрицыВ.

общем случае

этот

переход описывает формула

at-= ^а^а^,гд е

а,*—

компоненты

матри-

k

34

цы А. Таким образом, всякому линейному оператору Л соответствует квадратная матрицаА и можно записатьв матричной форме равенство т'=Аг.

Оператор	называется единичным, если ему	соответствует	единичная	мат-
рица. Такой	оператор преобразует каждый векторгв	самого	себя. Если	опера-

тору соответствует унитарная матрица, то он называется унитарным.

Последовательному действию	операторов Л и Б	отвечает произведение
ВА. Если результатн е зависито т порядка действий, е. . TtA=AB,т о			операторы
называются коммутирующими. При	этом коммутируют	и	соответствующие мат-

рицы.

Если линейный оператор Л преобразует вектор г, отличный от нуля, в вектор,

пропорциональный г, т. е. Лг=Хг,	где X —	действительное		число, то вектор г
называется собственным вектором	оператораЛ	а ,	число— К	собственным зна-

чением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор г относится к

собственному значению	Я.	упрощения записейм ын	е	будем пользоваться
В последующих разделахдл я
обозначениями типа Л. И операторы и соответствующие			им	матрицы будут
обозначаться заглавными буквами.
Представлением	группы	G называется ее гомоморфное отобра-

жение на группу линейных операторов Т. Согласно этому опре-

делению каждому элементуg и			з	группыG		поставлен	соответст
вие оператор T(g) из группы Т. При					этом произведению элемен-
тов	группы отвечает произведение соответствующих операторов,
т. е.	T(gi)T(gz)	= T(gig2). Размерность			пространства М, в		кото-
ром	определены	операторы	T ( g ) ,	называют		размерностью пред-

ставления.

Поскольку каждому линейному оператору соответствует квад-

ратная матрица, можно считать,чт

о

представление группы—эт

о

ее гомоморфное отображение на группу квадратных матриц.

В

качестве примера

приведем

два

из возможных

представле-

ний группы

С4, содержащей повороты d, C ,

С42, С43. Нетрудно

убедиться,чт

о

представлениями

этой

группы

являются значения

корней |/"1 и |/1

(речь идет об операторах

умножения

на эти

числа). Здесь

устанавливаются

следующие соответствия:1 ) Ci-^1,

С4*-Ч С42-> —1,

С43-> —i; 2) Ci-И,

C4W—1,

С42-И, С43-> —1.

В первом случае порядок группыТ

равен порядку

группыG

(это

изоморфное отображение, представляющее собой частный случай

гомоморфного); во втором случае порядок группы Т вдвое мень-

ше, чем порядок группы G.

Если элементами группы G являются линейные операторы, то

эт а

группа

образуетта

к

называемое

''векторное

представление

самой себя. Последнее откосится, в частности, к точечным груп-

пам,

каждаяи з

которых

есть трехмерное

представление

самой

себя.

Всякая группа имеет единичное представление, в котором каж-

дому

элементу

группы

ставится

соответствие

единичный

опе-

ратор.

о

пространство М

преобразуется о

представ-

Часто говорят,чт

лению Т группы G, подразумевая под этим, что операторы T(g)

определены в пространстве М.

связаны соотношением TA(g)~

Если операторы

T A

( g )

и T(g)

=AT(g)A~iy

где А —

произвольный линейный оператор, а Л"1 —

85

обратныйем	у оператор (АА~^=	Л	представл
		А~=А1) т, о

Ти называются эквивалентными *. Переходо т одного представле-

нияк другому— эквивалентному— соответствует переходу т

пространства М с базисом {аг-} к пространству той же						размернос-
ти М' с базисом {а/}, причем оператор А переводит						векторы		из
пространстваМ в	пространство М'.
Легко доказать следующие два утверждения:
1) если представление Ti		эквивалентно		представлению Т2,				то
и, наоборот, представление Т2		эквивалентно представлению 7Y,
2)св е представления, эквивалентные			данному, эквивалентны
между собой.
Отсюда вытекает, что все представления данной группы (об-
щее число которых, очевидно, равно			бесконечности) распадаются'
н а классы взаимно эквивалентных представлений.							каждый
Примем без	доказательства следующую				теорему2:
класс эквивалентных представлений			группы		конечного		порядка
содержит унитарные представления,е . .			представления, е			опе-
раторы которых унитарны. Поэтомудл			я	таких групп можно огра-

ничиться рассмотрением унитарных взаимно неэквивалентных

представлений, взяв по одному представлению из каждого класса.

Будем

называть

подпространство М4

пространства М инва-

риантным относительно оператораЛ

, если

этот

оператор,

дейст-

вуя на векторы из подпространства Мь

преобразует их в векто-

ры, принадлежащие этомуж

е

подпространству MI.

называется

ПредставлениеТ

группыGв

пространствеМ

приводимым, есливМ

существует хотяб ы

одно

подпространство

Мь

инвариантное относительно всех операторов T ( g ) .

В качестве примера приводимого представления укажем век-

торное представление точечной группы Dn. Действительно, трех-

мерное пространство,

котором

определенатэ а группа,

содержит

дв а

подпространства,

инвариантных

относительно

операций,со

«

держащихсяв

Dn: одномерное пространство, совпадающее

осью

я,

и двумерное — плоскость, в которой лежат побочные оси 2.

с

В подпространстве Mi

можно

определить

операторы

Ti(g]

помощью

соотношения

T i ( g ) r = T ( g ) r ,

где

r^Mi. Будем

гово-

рить, что

оператор T(g)

индуцирует в

инвариантном подпрост-

ранстве оператор T i ( g ) ,

определяемый

этим соотношением. Соот-

ветственно приводимое представлениеТ индуцируетв инвариантно м подпространстве Mi представление7 Y Если представлениеТ унитарно, о унитарно 7\. Индуцированные представления

своей совокупности

полностью

определяютт о

приводимое пред-

ставление, котороеи х

индуцировало.

ортогональным

дополнением

к

Подпространство

М2

называется

подпространству

М\,

если скалярное

произведение

любых двух

Тто

1

По составляет труда установить, что

если

Т — предс^авленге

группы G,

Л

тоже является

представлением

этой

группы. Действительно,Т A

(gig*)

—

Доказательство

этой и

других

-

в разделах

27 и

2.8,,

2

теорем, приводимых

можно найтивнк Г .Я . . Любарского «Теория группие е применениев физике»

(см список рекомендуемой литературы).

86

векторов, один из которых принадлежит М\, а другой принадлежит Л12, равно нулю. Нетрудно доказать, что, если —MI подпространство, инвариантное относительно операторов унитарного

приводимого		представления тТ,	о	ортогональное			дополнениек
М^	— подпространство М2 — тоже				инвариантно		относительно
этих операторов.
	Итак, если пространство М преобразуется по некоторому при-
водимому унитарному представлению					Т,т но о о	расщепляетсян а		М{
дв а	взаимно	ортогональных	инвариантных подпространства
и	уИ2. Обозначим символами		7\ и	Т2	представления, индуцируе-
мы ве	этих	подпространствах	приводимым			представлениемТ		.

Очевидно, что всякий вектор геМ можно представить как сумму

векторов		FI^M! и г2еМ2:			r = ri + r2.		Следовательно,		T ( g ) r =
==Ti(g)ri		+T2(g)r2В .	а	подобных случаях			говорят,чт	о представле-
ниТе	расщепляетсян			представления		иТ^	Ти 2 является		суммой
этих представлений.						и Т2 приводимо, его, в свою
	Если	одно из	представлений 7\
очередь, можно разбить на два представления								меньшей размер-
ности. Продолжаяэт			у	процедуру,м		ы	придемк	неприводимым
представлениям. При				этом	пространство М окажется				разложен-

ным на ряд взаимно ортогональных подпространств Afi, М2, M3l...,

каждое из которых преобразуется по некоторому неприводимому представлению т^ группыG . Если среди полученных подпрост-

ранств окажется несколько, например m/t, подпространств, преобразующихсяп о одномуи тому неприводимому представлению т/i (или по представлениям, эквивалентным представлению т&), то говорят, что представление т/i содержится в исходном приводимом представлении mk раз.

Таким образом, всякое приводимое унитарное представление 1

распадаетсян а		унитарные неприводимые представления (являет-
ся их	суммой).	В результате анализ	возможных представлений
данной	группы	сводится к отысканию	взаимно неэквивалентных
унитарных неприводимых представлений.				непри-
Укажемн а		важные особенности матриц приводимых
водимых представлений.
Матрица А вида

г

А,

А2

1 Для строгости нужно отметить, что здесь имеются в виду конечномерные представления.

87

где А\, А2, Л3, ... — квадратные таблицы чисел		разной или одина-	и
ковой размерности,вс	е элементы матрицы,н	е входящиеэт

квадраты, равны нулю, называется квазидиагональной (или блочной)В . частном случае, когда квадраты Ль Л2,... содержат

лишь по одному числу, матрица является диагональной.

Еслив	качестве	базисав	пространстве М взять	совокупность
базисных	векторов	инвариантных подпространств,		о	матрицы

операторов T(g) принимают квазидиагональнъш вид. Отдельные блоки этих матриц представляют собой матрицы операторов,

соответствующих неприводимым представлениям, которые входят в состав данного приводимого представления.

Отметим два важных свойства неприводимых представлений, которые примемеб з доказательства.

1. Сумма квадратов размерностей всех	неэквивалентных	-
приводимых представлений группы равна	ее порядку (теорема

Бернсайда).

2. Число неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов.

Отсюда вытекает, что у абелевых групп все неприводимые представления одномерны (в абелевой группе каждый класс содержит лишь один элемент). Напротив, неабелевы группы должны иметь неодномерные неприводимые представления.

В качестве примера рассмотрим неприводимые представления

точечных групп вида Сп. Такая группа, будучи абелевой, имеет п
одномерных неприводимых		представлений. Пусть т			— одно	из
этих	представлений. Поскольку		тп(Сп) =г(Спп) ==г(С\) 1= ,			one-
ратор т(Сп) принимает однои з			2m*m	е	т=1, 2,..., >г
			п
			значений ,гд
(ясно,тч о этот оператор представляет собой умножениен а чис-
ло).	Все п неприводимых	представлений группы		Сп	можно полу-
		2nimk
читьп о формуле -rm(Ckn)=e		, п	где , т=1 , 2,...,п . Для нагляд-
ности выпишем эти представления в виде таблицы:					,

4Я1

лл

= 1

88

Такие же неприводимые представления имеют

группы

вида

5гдЛ, пе—

четное,и

группы вида

Спгдл, пе

нечетное,

поскольку

эти группы изоморфны группам Сп

(см. табл. 4).

след

(т. е. сум-

м а

Характером

%(g)

представления

Т называется

диагональных

элементов)

матрицы,

соответствующей

операто-

ру

T ( g ) .

Матрицы,

которые

соответствуют

разным

операторам,в

совокупности

образующим

представление,

вообще

говоря, раз-

личны. Поэтому характер приобретает разные значениядл

я раз

ных элементов группы G,

как

это и

показывает

обозначение

и (Я). Важно отметить, что след матрицы, а следовательно, и зна-

чение характеран е зависято т выбора базиса пространства,ко - тором действуют операторы T ( g ) .

Для примера приведем матрицы и значения характера, соответствующие векторному представлению группы С4 (разумеется,

это представление приводимо) и одному из неприводимых представлений этой группы:

			1					c\			c\		3
T(g)		/1	0	0\	0 / 1			0\		0/-1	0\	-,0	1	0\
		0	1	0	V	-1	о	0 0	\)	0 - 1 0		1	0	0
xte)		\0 0 1/						о		V о	0 1 /	\0	0 1 /
			3					1			—1		1
Ti(g)			(1)				(0			(-1)			(-0
Xi(g)			1					I			_ 1		—1
В дальнейшем нам потребуется понятие скалярного произведе-
ния	характеров,			которое			определяется				формулой: (X, Хх) =
=—	TjXteJXi. (#)»				гДе N— порядок группы; xi—(g)								величины,

g

комплексно сопряженные со значениями характера xi( ) > суммирование ведется по всем элементам группы. Так, скалярное произ-

ведение характеров, приведенных в таблице, вычисляется следующи м образом:

(X, Xl) =- •(-*) +(-!)•(-!)

Частным случаем скалярного произведения характеров является

их скалярный квадрат, которыйдл я характеров, данныхв	таб
лице, приобретает следующие значения:
(X, Х)=

- - О +1+1+1)-!.

89

Отметим ряд замечательных свойств, присущих характерам

представлений.

1. Характеры эквивалентных представлений совпадают, и, на-

оборот,дв а		представления,			имеющие			одинаковые		характеры,
эквивалентны.									равен сумме харак-
2. Характер приводимого представленияТ
теров всех		неприводимых			представлений ,				которые		содержатся
в Т. Пусть Шг — число, показывающее, сколько раз										представление
тг- содержится в			Т.	Тогда	% (g) =Sm^ (ё)-				Это	обстоятельство
связано		квазидиагональным видом						матриц приводимого пред-
ставления. Перестановка					блоков		квазидиагональной				матрицы
соответствует переходу т представленияТк									эквивалентному
представлению. Таким образом, набор коэффициентов тг- опреде-
ляет представление Т с точностью							до	эквивалентности.
3. Характеры			неприводимых			неэквивалентных				представлений
ортогональны между собой,т е.							и.		х	скалярное произ
но нулю.											представле-
4. Скалярный квадрат характера неприводимого
ния	равен	единице. Последниедв				а	свойства		можно выразитьоб -
щим	соотношением:			(хг, хл)= 6гь,дг е			6^=р0п и	i^kи	6г-/<=1рп и
5 . Скалярный квадрат характера приводимого										представления
больше единицы:			(X, У,) =		гп2.
				i							неприво-
6. Приводимое представление можно разложитьн а
димые, если известны характеры						последних,			помощью формулы

7. Значения характералд я взаимно	сопряженных	элементов
группы одинаковы: %(g) = %(xgx~i).	Иными словами, характер
есть функция классов сопряженных элементов:		%(g) ^^(Kg).

Пользуясь этим свойством, в таблицах характеров выписывают лишь по одному элементу g из каждого класса и приводят соответствующеем у значение характера.

2.8. ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В табл. 5 приведены характеры неприводимых	представлений
важнейших точечных групп j. Группы расположены	по возраста-

нию их порядка. Изоморфные группы, имеющие одинаковые таб-

Более полные таблицы такого рода можно найти в книге Дж. Дешиус, П. Кросс. Теория колебательных спектров молекул (М , I960), а такжев книгеАБ БолотинаН Ф . . Степанова (см. список рекомендуемойли - тературы).

90

	Т а б л и ц а 5
Характеры неприводимых представлений точечных групп
(использованы обозначения е — е~ш'п	и е"- — величина, комплексно
сопряженная	с е)

С2 е С2 Ci Cs

А	1	1	\*	А'
В	1	—1
			Аи
			с^	е	С2	o(Уv ) Gv (X)
			Ai	1	1	1	1
			Ло	1 1 — 1 — 1
			Bl	1 — 1		1 — 1
			В2	1 — 1 — 1			1
'.		cl		c^ ^43
Л 1		1		1	л		л
В	1 — 1		1 — 1
1^| —	i	—1		i
				Сзг/	e	2C3	3ay
				Л	1	1	1
				A>	1	1	—1
					2 — 1		0

С3		e	Cl
А		1	1
м		1	8
		1	8*
c*h	ог
Ag	A
Аи	BI
BQ	B2
Bu	Ba
'	^	C52	S3 Cl
1	1	11	1
1	8	82	82*
1	8t	82t	82
1	e2	e*	e
1	e2*	e	e*
-3

A,

Аг

E

c!

i

8*

8

8*

8

e2* e2

c«	'	ci CG		C6	6	C6	*e	c*
A	1	—8	11	1	1	1	Ag	A'
M	1		—8*	1	— 8	— 8*	}E:	E'
в	1	—1	1	—1	1	— 1	AU	A"
El(	1	8	_____ *	_____ J	— 8			E"
	1	8*	—8	—1	____ *	8
	1	—8*	— 8	1

91

D2h e C 2< Z) C2( V) C2(X)t <T(Z) a(Y) o(X)

Ag	I	]	—	1 1	[	] 1	1	1
Big	][			—1	1		—1	—1
Big	]1	——		—1		] —1	1	— 1
B3g				1	—	—1	— 1	1
Au				1		—1	— 1	— 1
BIU			— —1			—1	1	1
Вы		— —1				1	— 1	1
BSU				1	1	— 1	1	_ j

'	c	\		c	l	i		>	*i
C*h t			C42				sl		<>l
Ag	1		1		1	1	1	I	1
Bg	_ 1		1	_ j		1	—1	.	—1
Eg{	i		——— 1	— i		1	i	—	i
	___ i		1		i	1	—i	—
Au	1		1		1 — 1		— 1 —		—1
Bu	—— 1		1 — 1 — 1				1 —		1
EU{			——— 1	—i		— 1	—i		i
							i		— i

						e\			*4	*>»
	C4V
	A		1	1		1	1	1	Al	A,
	At		1	1		1	—1	— 1	A%	A,
	BI		1	—1		1	1	_ 1	BI	BI
	B2		1	—1		1	—1	1	BZ	BZ
			2	0		—2	0	0	E	* E
C6,	e	2C		2C		C^	3%	30,	*,	°sH	Dad
			6	3	6
A	1	1		1		1	1	i	A	4	A*
A»	1	1		1		1	_ 1 _i		At	A2	Ag
B!	1	— 1		1	—1		1	_ i	BI	A\	Aa
B2	1	— 1		1	—1		—1	i	a.	X	AZU
Ег	2	1		—1		—2	0	0	Ei	E"	Eu
E,	2 — 1 —1					2	0	0	E2	E'	E&

т

A j

F \

°h

Alg

AIU

AA 4

S*2U

i'Ей

Fig

Flu

F2g

rF 2U

а*		e	2C4
Aig		1
Ао%		1
B^g		1	—
B%		1	—
		2	3(
AIU		1
Aou		1
BIU	1	1	—
Eu		1	—I
		2	3(
e		4C3	«3
1		1	1
1		e	e*
1		e*	e
3		0	0
	e		8C3

1

1

1

1

2—

2—

30

3	0
3	0
3	0

CJ

11

1

1

—2

1

1

1

—2

3C2

1

1 —11

acj

1

1

1

1

2

2

—1

—1

—1

—1

2C2

1

—1

1

—1

_01J

_ J1

0

6C4

1

1

—1

—1

0

0

1

1

—1 _ j

<

—11 —11

0

1

—1

—1

1

0

Td

AA*z1

E

FI

Fi

6C2

1

1

—1 _ j

0

0

— 1

— 1 1 1

i	Ъ	"A
1	1	1
1	1	1
1	— 1	1
1	— 1	1

20 —2

—1 — 1 — 1

— 1	— 1	— 1
— 1	1	—1
_ 1	1	— 1
-2	0	2
e	8Сз	зс2
1	1	1
1	1	1
2	— 1	2
3	0	— 1
3	0	_j

I 856

1_ i1

——1

11

—— 1	— 1
2	— 1
—2	1
3	0
—3	0
3	0
—3	0

^

._1i

1

—1

0

—1

1

—1

1

0

6S4

1

— 1

0

—11

Зал

1

—1

1

—1

2

—2 _ i

1

—1

1

*>*

_ 11

_ 1

1

0

— 1

1 —11

0

bod

1

—1

0

_ J

1

6S4

1

—1 _ 1

1

0

0

1

—1

—1

1

0

л

A,

E

Л

Ft

6od

1

— 1 —1 1 0

0

—11 —11

лицы характеров, объединеныВ. верхней строке каждой таблички выписаны симметрические операции, точнее классы сопряженных операцийлД. я неабслевых групп указано число операций, входящих в данный класс. В крайнем левом столбце даны символ группы и обозначения неприводимых представлений. При наличии изоморфных групп справа приводятся символы этих групп

и соответствующие этим группам обозначения неприводимых представлений. Так как число неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов, таблички характеров всегда имеют квадратную форму.

Используемые	обозначения неприводимых				представлений
предложены МалликеномОн.		и строятся	следующим		образом.
Одномерные представления обозначаютсяАил				Ви	. БукваА
используется тогда,	когда	значение	характера,	соответствующее

93

операции Сп1, где Сп

— главная

ось

симметрии,

равно I,

т. е.

x(CV) = l

(в таких

случаях говорят,

что

представление

симмет-

рично относительно операции CV). Буква В употребляется тогда,

когда х(Сп1) = — 1

(в

таких

случаях говорят, что

представление

антисимметрично по отношению к

данной операции). Индексы g

и и отвечают соответственно представлениям, четным и нечетным

относительно инверсии,т е . .

случаям %(i) =lи

%(i) =—1- Анало-

гично символами А

и А' обозначают представления, для которых

х(а/г)=1

и %(oii) = —1.

Если

имеется

несколько

представлений

одного типа, ио

х

различаютс

помощью цифровых индексов.

Двумерные

представления

обозначают

буквой

,

а

трехмер-

ные — буквой F (илиТ).

По

аналогии с одномерным

случаем,

различают Eg и

и, Е' и

", Fg

и Fu

и т. д.

", отвечающий

двумер

Обратим внимание на то, что

символ

ным представлениям,

встречается

табличкахдл

я

групп вида

Cn, Sn, Cn/(, хотяэ и

группы

абелевыии х

неприводимые

пред-

мни

ставления

одномерныЭт.

о

объясняется чттем, дво

а

взаимно сопряженных одномерных неприводимых представления, объединяемых символом , суммарно отвечают двумерному подпространству, которое, если ограничиться вещественными операторами, является инвариантным. Поскольку во многих физических приложениях теории представлений нас интересуют только

действительные		величины,не		т	надобности			разлагать такое			дву-
мерное представление			а истинно			неприводимые. Так,в				случае
группы С4	можно пользоваться				представлением				, содержащим
матрицы	1 0 \ / 0 1 \ /-1 , 0\ —0 1							OV'	кот°Р™соот-
	^Tj - (-Т ОН			О -ТИТ
ветствуют значения характера 2, 0, —2, 0.								заключенное в		табли-
Конкретное		геометрическое содержание,
ац х характеров,		выявляетсярп		и	анализе		движений,		которые
могут совершать точки, связанныеотли й и иной группой симмет-
рии. Рассмотримэт о подробнее.
Возьмем в качестве первого примера точечную группу С2г,. На
рис. 2.8.1 изображена			система		общих		эквивалентных			позиций
этой группы. В результате операции С2							исходная точка MI				пере-
ходит в точку М2; операция				o v	( Y )	преобразует исходную				точку в
точку аМ3у	операция —av(X)			в		точку		Мв4;	результате		единич
ной операции точка М±			преобразуется самав себя. Пусть							точка

MI смещается вдоль оси X, т. е. совершает поступательное движение Тх. Тогдапр и условии сохранения симметрииC2 v точка Мз должна сместиться в том же направлении, а точки М2 и УИ4 — в противоположном. Если считать, о смещениюв положительном направлениисо Xи отвечает оператор1+ а , смещениюв отрица-

тельном направлении — оператор —1, то получим совокупность операторов, соответствующую неприводимому представлению BI

'группы С27; (табл. 5). Аналогичное рассмотрение движения TY показывает,чт оно о описывается представлением BПрz. и смещении

точки Mi вдоль оси Z с сохранением симметрии С

М^ должны двигаться в том же направлении, что соответствует

94

Рис. 2.8.1. Поведение общей системы эквивалентных позиций

группы Czv при поступательном движении вдоль оси X и вращении вокругос Уи

неприводимому представлению А\. Результаты проведенного анализа отражает таблица:

Операции	е	С2	ovУ( ) ov (X)	Тип
точки	MI	М2	М3	движения
				М4

	Si к	Bl	1 — 1			1 — 1Тх, Ry
	R g	B2	1 —	1	—	1	уу	R	x
							Т1
	i.u	AI	1	1		1	Tz
							1
ll		A*	1		1 — 1 —*z1
Произвольное перемещение						точки	Mi	складываетсяи з состав-
ляющих Тх, TY, Tz			и описывается векторным представлением, ко-
торое приводимо			является суммой				неприводимых представлений
Bi +B2-\-A\. Соответственно					матрицы, входящиев векторное пред-
ставление,	имеютви		д
/1	0	0\	/ —1	О	О
0 1 0 ,			0 — 1 0
О\0	1	/0	\	0 1

Неприводимые представления точечной группы позволяют описать не только поступательное, но и вращательное движение то-

чек, входящих в систему	эквивалентных позиций. Пусть точка	Mt
вращается вокруг оси	У, т. е. совершает движение RY	(см.

95-

рис.

2.Пр8.1).

и

сохранении

симметрии C2v

точка М3

должна вра-

щатьсявто

жм

е

направлении,

точки

Ми2

М—4

навстречу.

Если

считать,чт

о

вращению точекM и i

М3

соответствует

опера-

тор+

1

а,

вращению точек иМ2

—М4

оператор —т1, о

получим,

точ рассматриваемое

движение

описывается

представлением

ВА.

Аналогично, вращение

Rx

ассоции-

руется с представлением В2, а вра-

щениеR

—z с

представлением Л2.

Обратимся

теперь

к

точечным

-т*

группам,

содержащим

оси

высшего

м,

__*.

порядкаВ.

качестве

примера

рас-

смотрим группу СН4. а рис. 2.8.2

Y

изображена

совокупность

точек,

связанных операциями этой

группы.

Здесь прежде всего обнаруживает-

~

о о о

т-г

*

ся

тесная связь движений Тх и 7V.

общей

сие-

^

Действительно,

если

точкаМ

\

сме

Рис.

2.8.2.

Поведение

Щаетсяв

положительном

направле-

темы эквивалентных позиций труп-

ныпрС4

и

поступательном движе-

оснии

и

аX,

точка —М3

соответст-

вии вдоль осейX и

Y

венно

противоположную

сторону,

симметрии

С4

то

точки

М<2 и М4

при сохранении

должны сместитьсяв

противоположных

направле-

ниях

вдольос Уи

(составляющая длТх

я

двух

последних

точек

равна нулю). Такую ситуацию описывает двумерное представле-

ние чт ,

о

видно

з

таблицы:

Операции

е

С1

С2

С3

4

4

4

точки

Mi

М2

мл

М4

CU

Е

2

0

—2

0

(Тх,

Т,),

(Rx,

RY)

03 К

А

1

1

1

1

Т7, Rz

!

В

1

—1

1

— 1

с

Эта таблица отражает и то, что взаимосвязанные движения Rx

и

RY

тоже

ассоциированы

с представлением

, а движение Tz

и

R—z

с

представлениемА

.

Векторное

представление

данном

случае является суммой

+Л .

Табл. 6 показывает, какие представления описывают поступа-

тельное и вращательное движение -точек

в

различных

в

точечных

группах

симметрии. Отсюда,

в

частности, видно,

что

группах

высшей категории движения Тх, TV, Tz

связаны между собой; их

совокупность описывается трехмерным неприводимым представ-

лением,

которое

и

является

векторным

представлением

группы.

Совокупность

вращательных движений

Rx, RY, z

здесь

также

ассоциирована с трехмерным неприводимым представлением. Рассмотрим теперь движения другого типа — движения, при

которых симметрия анализируемой совокупности точек может по-

•96

Т а б л и ц а

6

Представления, описывающие поступательное движение Т и вращательное

движениеR в

различных

точечных

группах

Тип

Тотч

ыо

-фупкы

^

дви-

С'

и С4

s4

с2 1

с3

(2 2V

жения

С-2,

S<2

С4 h

[)

2

/V D4

Q'

С3

»и С *V

Тх

в

,

Au

Е

Ви

\ Г -./

|

в.

,

Л7

fll

,

Ту

в ] ^

Ли

Ви

1

J

HI

1

Л7

5-2

i

Tz

А

А

Аи

В

Аи

Аи

I

А"

Аи

BI

^2

Л"

^1

1

^1

%

^

в

А

в „

j7

n

,

/>.

X

Л" Be

в

Е

AS

Е

Е (1

*•

1

i Е

в,

I ^

BI

I ^

RY

\

в&

I

)

Л"

J

Л2

RZ

А

А

А&

А

AS

А,

А'

А, Bt

Л2

Л'

Л2

Тип

Точечные группы

дви-

жения

Fu

Fw

A-

R

нижаться, но которые тем не менее тоже связаны с неприводимы-

ми представлениями точечной группы. Конкретным примером по-

служит молекула XeOF4, имеющая симметрию Си4г форму тетрагональной пирамиды, внутри которой располагается атомХе . На рис. 2.8.3 представлены четыре возможных искажения молекулы, которые она претерпевает в процессе внутримолекулярных

колебаний. Для ясности рядом показан вид искаженной молеку-

лыв	проекции вдольос и	ВС4.	первых двух случаях	молекула,
утрачивая ось С4 и две из четырех плоскостей зеркального отра-
жения, приобретает симметрию C2v. Этому соответствуют те не-
приводимые представления,		в	которых сохраняющимся	симметри-

ческим операциям отвечает единичная матрица, т. е. представления fii и В2 (см. табл. 5). В третьем случае молекула в процессе колебаний сохраняет симметрию С4и; такому колебательному движению соответствует единичное неприводимое представление А\. Наконец, в четвертом случае молекула сохраняет лишь одну из плоскостей симметрии, что отвечает двумерному представлению Е.

Рассмотренные случаи колебаний молекулы XeOF4 представляют собой некоторые из так называемых «мод нормальных

97

внутримолекулярных колебаний». Каждой моде соответствует определенная частота в колебательном спектре. Число мод нормальных внутримолекулярных колебаний равно числу атомов в молекуле, умноженному 3а(т е . н. а число степеней свободы каждого атома), за вычетом 6 степеней свободы целой молекулы (трех поступательных и трех вращательных) . Так, для молекулы

XeOF4 получаем 6-3—6=12 модВс. эте	и моды классифицируются
по неприводимым представлениям	соответствующей точечной

г\

Хе	Хе

Рис. 2.8.3. Моды нормальных колебаний молекулы Хе0р4

группы. Часто, называя неприводимые представления типами

симметрии, говорят, что то или иное нормальное колебание имеет

соответствующийти		п	симметрии. Например, колебания, изобра-
женные на рис. 2.8.3, относятся к типам Вь Б2, А\ и Е.						характеров-
Другие аспекты			использования		представленийи
точечных	групп,в	частностии х		использование квантовой			химии
молекул,вописаны			обширной плитературе			о
группв	химии.
в книге Р. Хохштрассера,			а также в	книге	Вопрос		полном выво
					А. Пуле и Ж.-П. Матье (см. список
рекомендованной литературы).