Электротехника+лекции
.pdf
|
1 e j |
|
j |
2 – мнимая единица, или оператор поворота на угол |
Рис. 2.16. Изображение вектора на комплексной плоскости
π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стрелки на угол π/2, а умножение на j e j 2 к повороту вектора на прямой |
||||||||||
угол по часовой стрелке); |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
a1 |
|
|
|
a |
a12 a22 |
|
|
– модуль комплексного числа |
(всегда |
|||||
sin |
cos |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
положителен); |
|
|
|
|
|
|
||||
arctg |
a2 |
|
– угол или аргумент комплексного числа. |
|
||||||
a1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:
cosα ± j·sinα = e±jα
Комплексное число A = a1 – ja2 = ae-jα называется комплексно-сопряженным
числу А = a1 + ja2 = aejα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату их модуля:
А А аe j ae j a2 .
Умножение комплексного числа aejα на число еjφ сводится к повороту вектора а в комплексной плоскости на угол α + φ:
aejα · ejφ = aej(α+φ).
комплексных чисел производится в
А + В = (a1 + ja2) ± (b1+ jb2) = (a1±b1) + j(a2±b2).
Умножение и деление комплексных чисел может производиться в
алгебраической и показательной формах:
А · В = (a1 + ja2)· (b1+ jb2) = (a1b1 – a2b2) + j (a2b1 + a1b2) = aejα · bejβ = abej(α+β) .
|
|
|
|
|
(a ja |
|
) (b jb |
|
|
|
a b a b |
a b a b |
|
ae ja |
|
|
|
||||
|
А |
|
А В |
|
2 |
2 |
) |
|
|
|
a |
e j ( ) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 1 |
2 2 |
j |
2 1 |
1 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(b jb ) (b jb ) |
|
b2 b2 |
b2 b2 |
|
be j |
|
b |
|
||||||||
|
В |
|
В В |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Возведение в степень производится следующим образом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(aejα)n = anejαn = an (cosαn + jsinαn). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим проекции вращающегося против часовой стрелки с постоянной |
|||||||||||||||||||||
угловой скоростью ω вектора I m |
(рис. 2.17). Проекция на действительную ось – |
Im cosα. Проекция на мнимую ось – jIm sinα.
Рис. 2.17. Проекции вращающегося вектора
Тогда согласно формуле Эйлера
I m на комплексную плоскость
Im ejα = Im cosα + jIm sinα.
Угол α может быть любым. Если α = ωt + ψ, где ψ – начальная фаза, то
Im ej(ωt+ψ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ),
где: Im cos (ωt + ψ) – действительная часть комплексного числа; jIm sin (ωt + ψ) – мнимая часть комплексного числа.
Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы
синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt = 0. Для этого момента времени вектор Im ej(ωt+ψ) будет равен Im ejψ = I m , где I m –
комплексная амплитуда тока, модуль ее равен 1т, а угол α на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ . Аналогично можно записать для э.д.с. и
напряжения:
E m Em e j
U m U m e j
Например, если ток, протекающий по цепи, равен i = 12sin (ωt + 30°)А, то
в данном случае Im = 12 А, ψ = 30º , следовательно, комплексная амплитуда тока I m , а комплекс тока (комплексный ток)
2.11. Закон Ома в комплексной форме записи
Комплексное сопротивление Z включено в цепь переменного тока с
напряжением U (рис. 2.18). Точка над буквой Z не ставится, точку принято ставить над комплексными величинами, которые представляют синусоидальные функции времени.
Ток в цепи определяется по закону Ома:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
U |
|
U |
, |
|
I |
||||||||
Z |
R jX |
ze j |
||||||
|
|
|
|
|
где: R – активное сопротивление цепи;
X – реактивное сопротивление цепи, которое может быть индуктивным или емкостным;
z – модуль комплексного сопротивления;
φ – угол сдвига по фазе.
Рис. 2.18. Цепь переменного тока с комплексным сопротивлением Z
2.12. Комплексная проводимость
Под комплексной проводимостью Y понимают величину, обратную
комплексному сопротивлению Z:
|
|
Y |
1 |
|
1 |
|
|
R jX |
|
|
R jX |
|
|
R |
j |
|
X |
g jb , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 X 2 |
R2 |
X 2 |
R2 |
X 2 |
|||||||||
|
|
|
Z R jX |
(R jX )(R jX ) |
|
|
|
||||||||||||||
где: g |
R |
– активная проводимость; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R2 X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
X |
– реактивная проводимость цепи. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
R2 X 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если X положительно, то и b положительно, |
при отрицательном X, b |
||||||||||||||||||||
также отрицательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично |
треугольнику |
сопротивлений |
строим |
треугольник |
проводимостей (рис. 2.19). Треугольник проводимостей – графическая интерпретация связи между модулем полной проводимости у и ее активной и
реактивной составляющими: y g 2 b2 .
Рис. 2.19. Треугольник проводимостей
При использовании комплексной проводимости закон Ома записывается следующим образом:
I= U ∙Y .
2.13.Активная, реактивная и полная мощность цепи переменного
тока
Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной
мощности р за период Т:
P |
1 |
T |
pdt |
1 |
T uidt |
1 |
|
U m I m |
sin t sin( t )dt |
U m I m |
cos UI cos , |
T |
|
T |
T |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
где: и = Umsin(ωt + φ) ; i = Imsinωt.
Активная мощность – это энергия, которая определяется в единицу времени
(предполагается, что в 1 секунду укладывается целое число периодов Т) в
резисторе R:
P = I2R [Вт].
Реактивная мощность Q = UIsinφ [вар].
Если sinφ > 0, то и Q > 0, если sinφ < 0, то Q < 0.
Полная мощность определяется из треугольника мощностей (рис. 2.20),
который подобен треугольнику сопротивлений:
S P2 Q2 или S = U·I [В·А].
Рис.2.20. Треугольник мощностей
Из треугольника мощностей получаем:
tg QP , sin QS , cos PS .
2.14. Комплексная форма записи мощности
Допустим, что к электрической цепи (см. рис. 2.18) подведено напряжение
|
|
I e j 2 . Представим эти два вектора на |
U U e j 1 , по цепи протекает ток |
I |
|
комплексной плоскости (рис. 2.21). |
|
|
Рис. 2.21. Комплексные напряжение и ток
Комплексная мощность
S U I Ue j 1 Ie j 2 UIe j se j s cos js sin P jQ ,
где: I – сопряженный комплекс тока;
s – модуль комплексной мощности.
2.15.Законы Кирхгофа в комплексной форме записи.
Для цепей переменного тока справедливы законы Кирхгофа,
сформулированные ранее для цепей постоянного тока, см. 1.5, п. 1.6.
Согласно первому закону сумма комплексных токов в узле равна нулю:
n
I k 0 .
k 1
Второй закон применяется к любому замкнутому контуру цепи:
|
n |
n |
|
|
E k |
I k Zk , |
|
|
k 1 |
i 1 |
|
где: |
|
|
|
n |
|
|
|
E k |
– алгебраическая сумма комплексных э.д.с. источников напряжения; |
||
k 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
I k |
Z k – падения напряжений |
на |
комплексных сопротивлениях Zk |
k 1 |
|
|
|
отдельных участков. |
|
|
|
2.16. |
Цепь переменного тока |
с |
последовательным соединением |
элементов |
|
|
Согласно второму закону Кирхгофа для цепи рис. 2.22 можно записать
u uR uL uC |
RI m sin t LIm sin( t 90 ) |
I m |
sin( t 90 ) |
|
C |
||||
|
|
|
U mR sin t U mL sin( t 90 ) U mC sin( t 90 )
Рис. 2.22. Цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, С
Для действующих значений
U UR2 (UL UC )2 (IR)2 (IX L IXC )2 I R2 ( X L XC )2 ,
где: XL – XC = X – реактивное сопротивление цепи.
Ток в цепи определяется по закону Ома:
I |
|
U |
|
|
U |
|
|
|
|
Z |
|||
R2 X 2 |
||||||
|
|
|
|
или в комплексной форме записи:
U
I Z ,
где: U – напряжение, приложенное к цепи;
Z – комплексное сопротивление цепи.
В данной цепи возможны следующие три варианта.
1. Индуктивное сопротивление больше емкостного XL > ХC , следовательно, UL > UC .
Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 2.23, а. Вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
U C для наглядности изображен рядом с вектором |
U L |
, в действительности |
U C |
||||
|
|
|
|
|
|
||
компенсирует |
U L . Угол arctg |
X |
в данном случае положительный, вектор |
||||
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжения U |
опережает вектор тока I на угол φ. |
|
|
|
Рис. 2.23. Векторные диаграммы для цепи с последовательным соединением
R, L, C: a – XL > XC ; б – XL < XC ; в – XL = XC
2.Индуктивное сопротивление меньше емкостного ХL < ХC,
следовательно, UL < Uc (рис. 2.23, |
б), угол φ отрицательный, вектор тока |
||
|
опережает вектор напряжения |
|
на угол φ, по отношению к сети нагрузка |
I |
U |
является активно-емкостной.
3. Индуктивное сопротивление равно емкостному XL = Хс – условие резонанса напряжений (рис. 2.23, в).
Реактивное сопротивление цепи X = XL – Хс = 0, полное сопротивление равно активному Z = R. Ток в цепи определяется величиной активного
сопротивления I |
U |
и намного превышает номинальное значение тока для |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||
данной цепи. Напряжения на реактивных элементах равны UL= XL I = UC = Хс I |
|||||||||||||
и превышают в |
X L |
|
|
XC |
раз напряжение сети U=UR. Угол сдвига фаз φ = 0, |
||||||||
R |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||
следовательно, cosφ = 1. |
|||||||||||||
Активная мощность цепи равна полной Р = UIcosφ = UI = S, а реактивная |
|||||||||||||
Q = UIsinφ = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Резонансная |
|
частота последовательного колебательного контура |
|||||||||||
fрез |
|
1 |
|
|
зависит от величины индуктивности L и емкости С. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
Явление резонанса напряжений широко используют в различных электрорадиотехнических устройствах.
2.17. Цепь переменного тока с параллельным соединением элементов
Основной схемой соединения приемников переменного тока является параллельная схема. На рис. 2.24 показано соединение двух приемников – катушки индуктивности и конденсатора. Каждый приемник характеризуется активным и реактивным сопротивлениями. Напряжение на приемниках одинаковое и равно сетевому U.
Анализ электрического состояния цепей с параллельным соединением приемников производится следующими методами.
Рис. 2.24. Цепь переменного тока с параллельным соединением R, L, С
1. Комплексный метод
Токи в ветвях схемы определяются по закону Ома в комплексной форме записи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|||
I 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
R |
jX |
1 |
|
|
Z |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
||||
I 2 |
|
|
|
|
||||||||
R2 |
jX 2 |
|
Z 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
где: X1 = 2πfL1 – реактивное (индуктивное) сопротивление первой ветви
Z1 – комплексное сопротивление 1-й ветви;
X 2 |
1 |
– реактивное (емкостное) сопротивление 2-й ветви; |
||||
|
||||||
2 fC |
||||||
|
|
|
|
|
||
Z2 – комплексное сопротивление второй ветви. |
||||||
Ток |
в неразветвленной |
части цепи |
определяется по первому закону |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Кирхгофа в комплексной форме записи I I1 I2 . |
||||||
Построение векторных |
диаграмм (рис. |
2.25) начинаем с построения |
вектора напряжения U , который откладываем по действительной оси. Далее
откладываем токи I1 , I2 , I под расчетными углами φ1 φ2, φ. Проекции токов