МОР КР ЗФ

Контрольная работа №1 «Методы оптимальных решений»

Задание 1. Для функции двух переменных , заданной следующим выражением:

1. Найти стационарную точку и вычислить в ней значение функции;

2. Найти экстремальные точки и экстремальные значения;

3. Найти области выпуклости (вогнутости) функции.

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. ;

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

1.9. ;

1.10. .

Задание 2. Функция трех переменных задана следующим выражением.

1. Найти стационарную точку функции и вычислить в ней ее значение;

2. Найти экстремальные точки и экстремальные значения функции;

3. области выпуклости (вогнутости) функции.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задание 3. Даны функция и ограничения.

1. Составить функцию Лагранжа;

2. Найти стационарную точку функции Лагранжа;

3. Найти условный экстремум функции (экстремальную точку, экстремальное значение и тип экстремума).

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

Задание 4.

Составить математическую модель и найти оптимальное решение, используя процедуру “поиск решения” (“solver”) MS Excel.

4.1. Магазин оптовой торговли реализует три вида продукции П1, П2 и П3 в условиях, когда ограничена полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости составляет 450 м², и рабочее время работников магазина составляет 600 чел*час. Товарооборот должен быть не меньше 240 тыс. руб. Затраты ресурсов и получаемая прибыль даны в табл. Разработать план товарооборота, обеспечивающий максимум прибыли.

Таблица.

Ресурсы	Затраты ресурсов на реализацию тавара стоимостью 1 тыс. руб.			Объем
	П1	П2	П3	ресурса
Полезная площадь, м^2	1.5	2	3	450
Рабочее время, чел*час	3	2	1.5	600
Прибыль, тыс. руб.	50	65	70

4.2. Двум погрузчикам равной мощности за 24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 т, на второй 168 т. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 т в час , на второй - 12 т. Второй погрузчик на каждой площадке может погрузить по 13 т в час. Стоимость погрузки 1 т первым погрузчиком на первой площадке равна 8 тыс. руб., на второй 7 тыс. руб., вторым погрузчиком на первой площадке - 12 тыс. руб., на второй - 13 тыс. руб. Первый погрузчик на второй площадке может работать не более 16 час. Найти такой план работ, чтобы стоимость работ была минимальной.

4.3. Процесс изготовления двух видов изделий состоит в последовательной обработке каждого изделия на трех станках. Время использования станков ограничено 10 ч в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия указаны в табл. Найти оптимальные объемы производства.

Таблица.

Изделие	Время обработки 1 изделия, мин			Удельная
	Станок 1	Станок 2	Станок 3	прибыль
1	10	6	8	2$
2	5	20	15	3$

4.4. Производится два вида продукции - A и B. Объем сбыта продукции A составляет не менее 60% от общего объема реализации A и B. Для изготовления продукции A и B используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100$. Расход сырья на единицу продукции A составляет 2$, а на единицу продукции B - 4$. Цены на продукцию A и B равны 20$ и 40$ соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции A и B.

4.5. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков, стоимость изделий, стоимость часа работы каждого станка и максимально возможное время использования каждого станка приведены в табл. Определить максимальную чистую прибыль.

Таблица.

Станок	Время обработки одного изделия, час.				Стоимость 1 часа работы станка, $	Максим. время работы, час.
	Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4
Станок 1	2	3	4	2	10	500
Станок 2	3	2	1	2	15	380
Цена изделия	65	70	55	45

4.6. Планируется выпуск мужских и женских костюмов. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат, на мужской костюм - 3.5 м шерсти, 0.5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. По плану предусматривается выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400$. Прибыль от реализации женского костюма составляет 10$, а от мужского - 20$. Определить максимальную прибыль.

4.7. При проведении капитального ремонта дома фирма возводит перегородки двух типов: гипсобетонные и каркасные с обшивкой листами сухой штукатурки. Ресурсы, необходимые для изготовления 1 м², и месячные фонды указаны в табл. Найти такой месячный план (в м²) производства перегородок, чтобы их суммарная площадь была максимальна.

Таблица.

Наименование	Единица	Расход на 1кв. м		Месячные
ресурса	измерения	Гипсобетонные перегородки	Каркасные перегородки	фонды
Гипсобетон	м3	0.08	0.00	160
Пиломатериалы	м3	0.01	0.022	50
Сухая штукатурка	м2	0.00	2.1	4200
Рабочая сила	чел.-дн.	0.17	0.27	675

4.8. Распределить станки четырех типов по пяти видам работ. В наличии имеется 25, 30, 20, 30 станков каждого типа соответственно. Каждый вид работ заключается в выполнении 20, 20, 30, 10 и 25 операций соответственно. На станке типа 4 не может выполнятся работа типа 4. Стоимость одной операции, осуществляемой на станках разных типов для разных работ приведена в табл. Определить оптимальное распределение станков по работам.

Таблица.

Тип	Тип работ
станков	1	2	3	4	5
1	10	2	3	15	9
2	5	10	15	2	4
3	15	5	14	7	15
4	20	15	13	-	8

4.9. Фирма рекламирует свою продукцию по радио и телевидению. Затраты на рекламу не могут превышать 1000$ в месяц. Минута рекламы на радио стоит 5$, минута телерекламы - 100$. Фирма планирует использовать радиорекламу по крайней мере в два раза чаще, чем телерекламу. Опыт показал, что минута телерекламы обеспечивает объем сбыта в 25 раз больший, чем минута радиорекламы. Определить оптимальное распределение средств на рекламу.

4.10. Денежные средства могут быть использованы для финансирования двух проектов. Проект A гарантирует получение прибыли в размере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект B гарантирует получение прибыли в размере 2$ на каждый инвестированный доллар, но через два года. При финансировании проекта B период инвестиций должен быть кратным двум годам. Как следует распорядиться капиталом в 100000$, чтобы получить максимальную прибыль через три года после начала вложений.

Задание 5. Дана задача линейного программирования, в которой x₁  0, x₂  0.

1. Записать задачу в канонической и стандартной формах;

2. Записать каноническую и стандартную задачи в матричном виде;

3. Решить задачу линейного программирования геометрически;

4. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом;

5. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

No. 5.1 -x1 + 2x2  -1 -2x1 + x2  2 3x1 + x2  3 max f = -x1 + x2	No. 5.2 -2x1 + x2  2 x1 - 2x2  2 x1 + x2  5 min f = -x1 + x2	No. 5.3 -x1 - 3x2  -9 -x1 - 2x2  -8 2x1 + x2  8 min f = -3x1-2x2
No. 5.4 -2x1 + x2  2 -x1 + 2x2  8 x1 + x2  5 max f = –x1 + x2	No. 5.5 -2x1 + x2  2 -x1 + 2x2  8 x1 - x2  5 min f = -2x1 - x2	No. 5.6 2x1 - x2  8 -x1 + x2  1 -x1 + x2  -1 min f = -5x1 - 2x2
No. 5.7 2x1 - x2  2 -x1 + x2  1 -x1 - x2  -8 max f = x1 + 2x2	No. 5.8 3x1 - x2  7 2x1 - 4x2  -12 -4x1 + 3x2  10 min f = x1-3x2	No. 5.9 2x1 + 3x2  11 -x1 - 3x2  2 2x1 - x2  -1 max f = 3-x1 + x2
No. 5.10 x1  4 -x1 + 2x2  -8 x2  5 max f = 2x1 + 5x2

Задание 6. Дана задача линейного программирования, в которой x₁, x₂, x₃  0.

1. Записать задачу в канонической и стандартной формах;

2. Записать каноническую и стандартную задачи в матричном виде;

3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом;

4. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

No. 6.1 3x1 - 2x2  -8, 3x1 + x2  3, x2  8, x1  4, max f = 4x1 + x2	No. 6.2 x1 + x2  4, x1  1, x2  6, x1 - x2  0, min f = 10x1 + 5x2	No. 6.3 x2 + x3  5 x1 - x2  1, x1  1, 3x1 + x2  15, max f = 2x1 + 4x2 + 5x3
No. 6.4 x1 + 4x2  4, x1 - 2x2  8, x2  3, x1  10, max f = 2x1 - 4x2	No. 6.5 x1 + x2  5, x1 + x2  15, x2  2, x1  3, min f = x1 - 3x2	No. 6.6 x1 - 8x2  10, x1 + x2  6, x1  2, x1  5, max f = 10x1 - 6x2
No. 6.7 x1 - 8x2  15, x1 + x2  1, x1 - 5x2  5 3x1 + 10x2  30 max f = x1 – 4x2	No. 6.8 2x1 + 4x2  20, 2x1 + x2  18, 4x1 - x2  10, x2  3, max f = 5x1 - 3.5x2	No. 6.9 x1 + x2  2, 3x1 + x2  4, x1 + x3  5, min f = -2x1 - 5x2 + 3x3
No. 6.10 3x1 + 3x2 + 2x3  6, x1 + 4x2 + 8x3  8, x3  2, max f = 3x1 - 6x2 + 2x3

Задание 7. В задаче об оптимальном планировании перевозок A_i – пункты отправления; a_i – запасы в пунктах отправления; B_j – пункты назначения; b_j – заявки пунктов назначения.

1. Определить начальный план транспортной задачи методом северо-западного угла;

2. Определить начальный план транспортной задачи методом минимального элемента;

3. Найти оптимальный план транспортной задачи методом потенциалов и стоимость перевозки по этому плану.

7.1	B1	B2	B3	B4	B5	ai		7.2	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	4	5	5	4	5	330		A1	6	7	8	9	8	100
A2	4	5	6	2	6	320		A2	5	6	7	8	6	75
A3	4	4	5	5	6	410		A3	4	6	7	8	7	100
A4	2	3	5	6	4	430		A4	3	5	6	7	8	150
A5	4	4	5	3	4	400		A5	5	6	7	8	6	100
bj	340	370	420	410	350			bj	80	80	120	130	115
7.3	B1	B2	B3	B4	B5	ai		7.4	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	6	6	8	9	8	50		A1	8	8	8	7	7	200
A2	3	6	8	8	5	100		A2	6	7	7	7	8	250
A3	4	6	7	8	7	150		A3	5	6	7	7	8	250
A4	5	5	5	7	8	150		A4	6	7	8	7	7	300
A5	5	7	7	8	6	200		A5	6	5	6	7	8	200
bj	80	100	140	160	170			bj	150	220	230	240	360
7.5	B1	B2	B3	B4	B5	ai		7.6	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	4	5	6	6	7	250		A1	5	5	6	6	7	110
A2	8	7	6	5	7	300		A2	6	7	6	5	6	130
A3	5	6	7	7	8	350		A3	5	6	7	7	7	140
A4	7	6	6	7	7	300		A4	7	6	6	7	5	150
A5	6	5	6	7	6	250		A5	6	5	6	7	6	160
bj	250	270	280	290	360			bj	100	120	120	180	170
7.7	B1	B2	B3	B4	B5	ai		7.8	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	4	5	6	6	7	200		A1	7	5	6	6	5	300
A2	5	5	6	7	7	220		A2	7	5	6	7	5	320
A3	5	6	6	7	7	240		A3	6	6	6	7	5	340
A4	6	6	7	6	5	260		A4	7	6	7	6	7	360
A5	6	5	6	7	6	280		A5	8	5	6	7	7	380
bj	180	230	250	270	270			bj	280	330	350	370	370
7.9	B1	B2	B3	B4	B5	ai		7.10	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1	3	3	4	4	5	400		A1	3	3	4	4	5	350
A2	4	5	6	7	6	420		A2	4	5	6	2	6	370
A3	4	4	5	5	6	400		A3	4	4	5	5	6	390
A4	7	6	5	6	4	440		A4	2	2	5	3	4	430
A5	4	7	5	6	6	400		A5	4	2	5	6	6	400
bj	340	440	460	430	390			bj	340	380	420	410	390