Лекция 2 Оценка и способы уменьшения случайных и систематических погрешностей Математическое описание случайных погрешностей

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Наиболее общей характеристикой непрерывной случайной величины Х является плотность распределения ее вероятности, которая определяется как:

,

где dF(x) – вероятность значений случайной величины х в интервале dх.

Кроме этого используется функция распределения вероятностей случайной величины

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от минус бесконечности до некоторого значения, меньшего x₁.

Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F(-∞)=0, а F(+∞)=l. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале между x₁ и x₂, равна:

В практике электрорадиоизмерений чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределениями.

Случайная величина Х распределена нормально, если ее плотность вероятностей имеет вид:

где σ – среднее квадратическое отклонение (CКО), m=M[X] – математическое ожидание.

Математическое ожидание М[Х] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует ее среднее значение. Величина _сл=Х–М[Х] является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

Приведем рисунок, на котором показана дифференциальная функция нормального распределения f(х).

Видим, что с уменьшением  уменьшается рассеяние результатов вокруг X.

Равномерное распределение, показанное на рис. 2, аналитически записывается в виде

Вероятность появления погрешности в интервале х₄–х₃ при этом равна

Примером случайной погрешности, имеющей равномерное распределение, является погрешность отсчета по шкале прибора и погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.

Оценка случайных погрешностей прямых равноточных измерений

Случайные погрешности проявляются при многократных наблюдениях измеряемой величины в одинаковых условиях. Их влияние на результат измерения надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка параметра Q считается состоятельной, если Q(Q₁, Q₂, .... Q_n)→Q_ист, при п→∞, несмещенной, если М[Q]=Q_ист, эффективной, если D[Q]=min. Здесь Q_i–результат i-ro наблюдения, п – число наблюдений.

Способы нахождения оценок конечного ряда наблюдений и показатели их качества зависят от законов распределения. Для нормального распределения, а если поступиться эффективностью оценки, то и для всех симметричных распределений, в качестве оценки математического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают среднее арифметическое ряда наблюдений.

При п→∞, если отсутствует систематическая погрешность, Q→Qист. Разность v_i=Q_i–представляет собой случайную погрешность приi-м наблюдении. Она может быть положительной и отрицательной.

Среднее арифметическое независимо от закона распределения обладает свойствами:

В качестве оценки дисперсии берется дисперсия отклонения результата наблюдения

а в качестве оценки СКО результата наблюдения –

Среднее арифметическое зависит от числа наблюдений и является случайной величиной, которая обладает некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Q_ист. Оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является

Величина называется СКО результата измерений.

Таким образом, взяв за результат измерения , уменьшаем СКО враз по сравнению со случаем, если бы за результат измерения принималось любое одно из n наблюдений.

Измерения с многократными наблюдениями и соответствующая обработка результатов позволяют уменьшить случайную погрешность и оценить ее. Оценки иявляются так называемыми точечными оценками случайной погрешности. Они указывают интервал значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение.

В отличие от точечной при интервальной оценке определяется доверительный интервал _р, в котором с доверительной вероятностью Р находится истинное значение Q_ист

При заданной вероятности Р и вычисленной значениеопределяется законом распределения. В случае нормального распределения и числа измерений n20 выбирается по таблице функций Лапласа.

Если число измерений n<20, то доверительный интервал случайной погрешности при заданных вероятности Р и СКО результата измерения определяется по формуле Стьюдента

,

где – коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от заданной вероятности Р и числа измерений n.

При n20 распределение Стьюдента приближается к нормальному, и вместо , можно использоватьдля нормального распределения. Поскольку при равномерном распределении доверительный интервал слабо зависит от доверительной вероятности, обычно принимают, т.е. для P=1. Таким образом, истинное значение будет находиться внутри интервала: Рассмотрим, какую же доверительную вероятность следует брать? Как правило, принимают Р=0,95. Если же измерения нельзя повторить, то принимают Р=0,99, а в особо ответственных случаях еще выше, когда проводимые измерения связаны с созданием новых эталонов или имеют значение для здоровья людей.

Остановимся на способе исключения из результатов измерения промахов и грубых погрешностей. Если в полученной группе результатов наблюдений одно-два резко отличаются от остальных, то, прежде всего, следует проверить, нет ли описки, ошибки в снятии показаний или других промахов. Если промахи не установлены, то следует проверить, не являются ли они грубыми погрешностями. Эта задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение, к которому относится выборка, можно считать нормальным.

Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону недостоверности результата, их не требуется знать очень точно. Погрешности оценок случайных погрешностей, особенно при малом числе измерений (n10), весьма велики. Поэтому погрешности измерения в окончательной записи принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. При промежуточных выкладках в числовых значениях погрешности необходимо удерживать по три-четыре значащих цифры, чтобы погрешности округления не искажали результат измерения.