§31. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора B

Пример 1

Магнитное поле прямого тока.

Рис. 31.1

Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию B поля снаружи и внутри провода. Линии векто-

ра B имеют вид окружностей с центром на оси провода.

	В
r1 = r > 0	~ r1~ r	~	1	~	1
			r		r2
r1 ≤ a
					r
0		a

Рис. 31.2. График зависимости B = f (r)

Модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода.

Для круглого контура – Г1 по теореме о циркуляции B :

B 2πr = μ I				(31.1)
1			0
или
B =	μ0I	,	(r1 ≥ a)	(31.2)
	2πr1
Внутри провода рассмотрим контур Г2 :
B2 2πr2 = μ0I2 ,				(31.3)

но

	I		(31.4)
	πr2
– ток, приходящийся на единицу площади. Тогда

28

I

=

I

πr

2

;

(31.4)

πa2

2

2

или

r2

2

I2

= I

,

(31.6)

a

B

=

μ

0

Ir2

,

2

(31.7)

a

2 2πr

2

2

B

=

μ0 Ir2

, (r2 ≤ a).

(31.8)

2

2πa2

Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция

Bопределяется формулой (31.8), а

внутри – магнитное поле отсутствует.

Пример 2 Магнитное поле соленоида

Соленоид – это цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник. Пусть ток I течет по соленоиду, имеющему n витков на единицу длины ( n = Nl ). Шаг винтовой линии достаточно мал и каждый виток соленоида мож-

но приближенно заменить замкнутым витком. Считаем, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Для бесконечно длинного соленоида (как показывает опыт) магнитное поле снаружи соленоида отсутствует вообще.

Линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, а вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

l

B

Рис. 31.3

В виде замкнутого контура выберем прямоугольник. Циркуляция вектораB по данному контуру равна B·l и контур охватывает ток:

n0 I l = N I ;		(31.9)
по теореме о циркуляции
B l = μ	n I l	(31.10)
0	0

29

B = μ0 N I l l= μ0 n0 I	(31.11)
B = μ0NI l	(31.12)

Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно, (за исключением областей, примыкающих к торцам соленоида, но этим при расчетах часто пренебрегают).

Произведение:

n0I

(31.13)

– называют числом ампер-витков, при n0=2000 (витк/м) и I = 2А магнитное поле соленоида

В = 5·10-3 Тл.

B = μ0 n0 I

(31.14)

[B]=[μ0 n0 I]=1 (Гн/м)·(1/м)·А = 1 В·с·А/А·м2 = 1 Тл 1 Гн = 1В·1с/1А

Пример 3

Поток вектора B через соленоид

Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостьюμ по теореме о циркуляции равна:

B = μ μ0 NI l	(31.15)
Или
B = μ μ0 n0 I , где n0 = N l	(31.16)
Магнитный поток через один виток равен:
Φ1 = BS	(31.17)
Полный магнитный поток соленоида равен:
ψ= Φ1 N = NBS = μ μ0 N 2 I S l	(31.18)
или
ψ= μ μ0 n02 l2 IS l = μ μ0 n02 lIS = μ μ0 n02 IV	(31.19)

где n0 – число витков на единицу длины; V – объем поля внутри соленоида.

Пример 4 Магнитное поле тороида

Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора или достаточно длинный соленоид, свитый в кольцо (рис. 31.4). Из соображений симметрии следует, что си30