x = tgt;

dx =

dt

cos2 t

π

π

1

dx

ln(1+ x)

t = arctgx;

dt =

4

ln(1+ tgt)sec

2 t

4

∫

dx

=

1

+ x2

1+ x

2

x1 = 0

t1 =

0

= ∫

sec

2

t

dt = ∫ln(1+ tgt)tdt

0

0

0

x2 = 1

t2 =

π

4

+

π

π

2 sin t

4

Преобразуем сумму: 1+ tgt

= tg

+ tgt =

. Отсюда следует:

4

cost

π

π

π

π

π

4

1

4

π

4

ln2

π

4

π

4

π

∫

ln 2dt

+ ∫ln sin t

+

dt − ∫ln costdt =

t

04

+ ∫ln sin t

+

dt − ∫ln costdt =

ln 2 + I1 − I2

2

4

2

4

8

0

0

0

0

0

Где:

π

1

4

I

=

∫

;

ln sin t + π dt

0

4

t =

π

− z;

dt = −dz

π

4

0

ln cos π

dz =

ln sin

− π − z

dz =

4

π

π

I

2

=

∫

ln costdt =

t

= 0

z

=

= −

∫

− z

∫

1

1

4

4

2

0

= π

π

4

t2

z2

= 0

4

4

π

π

4

= ∫ln sin

4

+ z dz = I1

0

Т.е. мы получим, что интегралы I1 = I2 , а исходный интеграл, поэтому равен: I =

8

ln 2 .

π

Этот пример, как и предыдущий, интересен тем, что неопределенный интеграл ∫

ln(1+ x)

dx

1+ x2

не выражается в элементарных функциях.

Ответ: I =

8

ln 2 .

π

2.3. интегрирование по частям в определенном интеграле

Оно мало чем отличается от соответствующего интегрирования неопределенных интегралов. Если U и V - функции от x , обладающие непрерывными производными, то интегрирование по частям в определенном интеграле проводится по формуле:

b		b
∫U (x) V '(x)dx = U (x) V (x)		ba − ∫V (x) U '(x)dx или в более краткой записи:
a		a
		b		b
		∫udv = u v		ba − ∫vdu	(2.3.1)
		a		a

41

																1
Пример 59. Вычислить интеграл ∫ xarctgxdx .
																0
Решение:
1							u = arctgx;				du =					dx				x2								1	1	x2 dx				1 arctg1−
														1+ x2
∫ x arctgxdx =																			=			arctg x					10 −		∫				=
													2																	2
0							dv	= xdx;		v =		x							2									2	0	1+ x				2
												2
	1	1 x2 + 1−1						1	π	1	1			1		1		dx				π		1 1								1
−		∫0				dx =			4 −		∫0 dx +					∫0					=		−		+ 2 arctgx							0 =
	2			1+ x2				2		2				2			1+ x2					8		2
=	π	−		1 +	1 arctg1−				1 arctg0 = π						−	1		+	π − 0			=	π	−	1
	8			2	2				2		8					2			8				4		2

Ответ: π4 − 12 .

π 2

4

Пример 60. Вычислить интеграл

∫sin

xdx .

0

Решение:

π 2

x = t;

x = t 2

π

dx = 2tdt

u = t; du = dt

4

2

π

∫sin

= 2∫t sin tdt

xdx = x1 = 0

t1 = 0

=

dv = sin tdt;

v = − cost

= 2 − t cost

02

0

= π

2

0

x2

t2 =

π

4

2

=

π

cos

π

+ sint

π

2 −

2

2

02

= 2

Ответ: 2.

e

Пример 61. Вычислить интеграл ∫(x + 2) ln xdx .

0

Решение:

u = ln x;

du =

dx

e

x2

+ 2x

e

x

x

2

e

2

(x +

2) ln xdx =

= ln x

+ 2x

−

dx =

∫

2

∫

x

2

x

0

dv = (x + 2)dx; v =

+ 2x

1

1

.

2

x

2

e

2

2

+ 19

= 1 e2 +

2e −

+ 2x

= e

+

9 = e

2

4

4

4

4

1

Ответ:

e2 + 9

.

4

π
2		=
+ ∫costdt
0

42