6.Выведите и прокомментируйте формулы для расчета периода колебаний: а) пружинного, математического, физического маятников.

7.Выведите формулу:

а) связи между циклической частотой и коэффициентом жесткости пружины; б) для расчета потенциальной энергии пружинного маятника; в) вращающего момента, вращающей силы для динамического маятника; г) для расчета приведенной длины физического маятника, д) адиабатического инварианта.

§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Колебания, при которых электрические величины ( заряды, токи, электрическое поле, магнитное поле ) изменяются периодически, называются электромагнитные колебания. Электромагнитные колебания сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного поля.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используются определенные системы.

Простейшей такой системой является колебательный контур - цепь. состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора, емкостью С, и резистора, сопротивлением R.

+Q	I

-Q

t = 0 , W	эп	= Q2	/ 2C		2	/ 2 , Imax
				t = T / 4 , Wмп= L Q
	а)			б)

-Q I

+Q

t = T / 2 , W	эп	= Q2 / 2C		2	/ 2
			t = 3T / 4 , Wмп= L Q
в)					г)
			Рис. 6.1.

Пусть R ≈ 0 ; тогда колебательный контур – идеализирован. Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис.6.1 а) между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого равна Wэп= Q2 / 2C. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности , он начнёт разряжаться, и в контуре потечёт возрастающий со временем ток I. В ре-

12

зультате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (Wмп= L Q2 / 2 ) – возрастать.

Т.к. R=0, то согласно закону сохранения энергии, полная энергия

	Q	2			2
W =			+	LQ		= const ,	(6.1)
	2C			2

т.к. она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент времени t=T/4, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а следовательно и ток, достигает наибольшего значения (см. рис. 6.1 б). Начиная с этого момента времени ток в контуре будет убывать, следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратиться в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (см. рис. 6.1.в). Далее процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 6.1.г) и система к моменту времени t=Т придёт в первоначальное состояние (рис. 6.1а).

После этого начнётся повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если потерь энергии нет, то в контуре совершаются периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменяются (колеблются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Электрические колебания, возникшие в контуре, сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей. Электрические колебания в простейшем колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями математического маятника (рис. 6.2.а, 6.2.б,6.2.в, 6.2 г), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.

Аналогично с механическими колебаниями:

Wp= kx2 / 2	Wк= mv	2	/2	Wp= kx	2	/ 2	W =mv2/2
							к
а)	б)			в)			г)
				Рис. 6.2.

Потенциальная энергия маятника играет такую же роль как энергия электрического поля конденсатора, а кинетическая энергия маятника - энергия магнитного поля катушки:

х	g
V	Iконд.
Iинерц. маятн	Lкат.
Fтр	Rконтура

Пусть имеется контур состоящий из: L, R, C (рис. 6.3.).

13

Рис. 6.3. Простейший колебательный контур и его схематическое изображение.

По второму правилу Кирхгофа:

IR +Uc

= Esi ,

(6.2)

Uc

= Q

;

c

Es

= −L

dI

,

dt

а

I =

dQ

;

dt

тогда имеем:

R

dQ

+

Q

= −L

d 2Q

(6.3)

dt

C

dt 2

или

d 2Q

+

R dQ

+

Q

= 0

(6.4)

dt 2

L dt

CL

или

R

Q

Q

+Q

+

= 0

(6.5)

L

CL

дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре

В данном контуре колебания являются свободными, так как внешние ЭДС отсутствуют.

Если R = 0 , то имеем уравнение гармонических колебаний:

Q

Q +

= 0

(6.6)

CL

Решением этого уравнения (6.6) является уравнение:

Q = Qmax cos(ω0t +ϕ0 ) ,

(6.7)

где Qmax – амплитуда колебаний заряда, ωо – циклическая частота или собственная частота колебательного контура.

ω0 =	1	,	(6.8)
	LC
тогда
T = 2π = 2π		LC	(6.9)

ω0

Формула (6.9) называется формулой Томпсона. Сила тока в контуре:

14